I
ikkje-evklidsk geometri
gjeld ikkje
Euklids
femte
aksiom
, det sakalla
parallellaksiomet
(vel ein a godta parallellaksiomet far ein
euklidsk geometri
). Nemninga blir brukt generelt om
geometri
som byggjer pa andre aksiom enn den euklidske.
Meir spesielt brukast nemninga om dei geometriane kor parallellaksiomet i den euklidske geometrien er erstatta med eit anna aksiom (som ikkje star i strid med dei øvrige euklidske aksiom). Av desse ikkje-euklidske geometriane finst det to typar; den
hyperbolske geometrien
, der det gjennom kvart punkt utanfor ei rett linje kan trekkjast uendeleg mange parallellar til den gjevne linja, og den
elliptiske geometri
, der det ikkje finst nokon parallell i det heile. Førstnemnde geometritype stammar fra
Carl Friedrich Gauss
,
Janos Bolyai
og
Nikolaj Lobatsjevskij
fra første tredjedel av
1800-talet
. Den andre typen vart konstruert av
Bernhard Riemann
noko seinare.
Skilnadene mellom desse geometritypane kan og skildrast pa ein annan mate: sja pa dei to linjene i eit plan som begge star
vinkelrett
pa ei tredje linje. I euklidsk og hyperbolsk geometri er da dei to linjene parallelle. I euklidsk geometri blir likevel dei to linjene verande i ein fast
avstand
, medan i hyperbolsk geometri ≪bøyer dei av≫ fra kvarandre med aukande avstand i takt med at avstanden fra
skjeringspunktet
med den felles
vinkelrette
linja aukar. I elliptisk geometri ≪bøyer≫ linjene mot kvarandre, og til slutt skjer dei kvarandre; saleis eksisterer ingen parallelle linjer i elliptisk geometri.
I den euklidske geometrien (av og til kalla
parabolsk geometri
) finst det alltid ein, og berre ein, parallell. Dei ikkje-euklidske geometriane representerer ein viktig milepale i
matematikkhistorie
, idet dei illustrerer at det finst logisk konsistente geometriske system som tilsynelatande star i strid med dei geometriske førestillingane vi far gjennom sanseerfaringar.
Medan euklidsk geometri (fatt namnet sitt etter han
greske
matematikaren
Euklid) inkluderer nokre av dei eldste kjende matematiske teorema, sa drygde det fram til 1800-talet da den ikkje-euklidske legitimiteten til geometrien vart allment akseptert. Debatten som til slutt leia fram til oppdaginga av ikkje-euklidske geometriar byrja nesten sa snart Euklids verk
Elementa
var klart. I
Elementa
freistar Euklid a etablere eit fullstendig
logisk
grunnlag for matematikken kjent ved hans ære. Arbeida hans byrja med eit avgrensa mengd førehandstruer (kalla
aksiom
og
postulat
) og han freista a bevise alle andre resultat (
teoremer
) i arbeida sine. Det mest velkjende postulatet blir ofte kalla
Euklids femte postulatet
, eller berre ≪
parallellpostulatet
≫, som i hans originalformulering er:
≪
|
Om ei rett linje skjer to rette linjer pa ein slik mate at dei indre vinklane pa same side til saman er mindre enn to rette vinklar, sa møtst dei rette linjene, om dei blir forlenga i det
uendelege
, pa den sida der vinklane er mindre enn ein dei to rette vinklane.
|
≫
|
?Euklid av Alexandria
|
Enklare formuleringar av dette postulatet har vorte skrive (sja artikkelen om
parallellpostulat
for nokre døme pa
ekvivalente
pastandar). Uansett korleis det blir formulert, vert det femte postulatet alltid rekna for a vere meir komplisert enn Euklids øvrige postulat (som t.d. inkluderer ≪Mellom to valfrie punkt kan ein trekkje ei rett linje≫).
I fleire hundrear var geometrikarar uroa over den spesielle kompleksiteten til det femte postulatet, og dei trudde at det kunne bevisast som eit teorem ut av dei øvrige fire. Mange freista a finne eit
bevis gjennom sjølvmotseeing
, blant andre
italienaren
Giovanni Gerolamo Saccheri
. I eit verk med tittelen
Euclides ab Omnio Naevo Vindicatus
(
Euklid frigjort fra alle bristar
), publisert i
1733
, forkasta han raskt elliptisk geometri som eit høve (nokre andre av Euklids aksiom ma modifiserast for at elliptisk geometri skal fungere) og sette i gang a bevise mange resultat i hyperbolsk geometri. Til slutt nadde han eit punkt der han trudde at resultata hans viste motseiingar i systemet, og dermed beviste at hyperbolsk geometri er ulogisk. Argumentasjonen hans om motseiing bygde mest truleg pa euklidske førehandstruer, og difor fanst ikkje nokre motseiingar i hans eige verk.
Om lag hundre ar seinare, i
1829
, publiserte den
russiske
matematikaren
Nikolaj Lobatjevskij
ei avhandling om hyperbolsk geometri. Difor blir hyperbolsk geometri nokre gonger kalla Lobatjevskijsk geometri. Rundt same tidspunkt skreiv og
ungararen
Janos Bolyai
ei avhandling om hyperbolsk geometri. Denne vart publisert i
1832
som eit frittstaande tillegg til eit av verka til faren hans. Den store matematikaren
Carl Friedrich Gauss
las tillegget og avslørte for Bolyai at han sjølv hadde utarbeidd same resultat einkvan gong tidlegare. Den grunnleggjande skilnaden mellom desse og tidlegare arbeid, som Saccheri sitt, er at dei var dei første som offentleg hadde papekt at euklidsk geometri ikkje var den endelege geometrien, og heller ikkje var den unike moglege geometriske strukturen for universet. Likevel gjenstod enno høvet for at aksiomet for hyperbolsk geometri var logisk sjølvmotseiande.
Det trengde enno meir arbeid far a etablere elliptisk geometri.
Bernhard Riemann
grunnla under ei kjend forelesning i
1854
feltet
riemanngeometri
, som spesielt diskuterte ideane som no blir kalla
mangfald
,
riemannmetrikk
og
bøying
. Han konstruerte ein uendeleg familie av ikkje-euklidske geometriar gjennom a gje ein formel for ein familie av riemannmetrikkar pa einingskula (mengda av punkt som har ein avstand til
origo
mindre enn 1) i euklidske rom. Iblant blir delar av oppdagingane hans oversett, men konstruksjonane hans viser at arbeida hans var langtgaande, teorema hans er gjeldande for alle geometriar.
Euklidsk geometri
blir modellert
gjennom omgrepet vart om eit ≪flatt
plan
≫. Den enklaste modellen for elliptisk geometri er ein sfære, der linjer er ≪
storsirklar
≫ (som
ekvator
eller
meridianar
pa ein
globus
). Sjølv etter Lobatjevskijs, Gauss og Bolyais arbeid gjenstod spurnaden: eksisterer det ein slik modell for hyperbolsk geometri? Dette spørsmalet vart svart pa av
Eugenio Beltrami
i
1864
. Han beviste at eit ei overflate kalla
pseudosfære
har den passande
krumninga
for a modellere hyperbolsk geometri. Arbeida hans bygde direkte pa Riemanns. Tydinga av Beltramis arbeid ligg i at han viste at hyperbolsk geometri er logisk motseiingsfri dersom euklidsk geometri er det.
Utviklinga av ikkje-euklidsk geometri viste seg a vere særs viktig for
fysikken
pa
1900-talet
.
Albert Einstein
sin
relativitetsteori
skildrar rommet som allment flatt (dvs. euklidsk), men krumma (dvs. ikkje-euklidsk) i regionar nærare
materie
. Denne typen av geometri, der krumminga blir endra fra punkt til punkt, blir kalla
pseudo-euklidsk geometri
.