Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de
abstracte algebra
, een deelgebied van de
wiskunde
, is de
klassenveldtheorie
(Belgische term) of
klassenlichamentheorie
(Nederlandse term) een belangrijk onderdeel van de
algebraische getaltheorie
.
De klassenveldtheorie houdt zich bezig met de beschrijving van
abelse uitbreidingen
van
globale-
en
lokale velden
. Het label "klassenveld" verwijst naar een
velduitbreiding
(Vlaamse term) of lichaamsuitbreiding (Nederlandse term), die voldoet aan een technische eigenschap die historisch is gerelateerd aan
ideaalklassengroep
. Een van de belangrijkste
stellingen
is dat klassenvelden identiek zijn aan abelse uitbreidingen.
Drie thema's, die aan het einde van de 19de eeuw in de
getaltheorie
speelden, hebben tot de klassenveldtheorie geleid:
- relaties tussen abelse uitbreidingen en ideaal klassengroepen,
- dichtheidsstellingen voor
priemgetallen
(en
L-functies
)
- reciprociteitswetten.
Deze drie thema's zijn vervolgens verder uitgewerkt, aan elkaar gekoppeld en concreet gemaakt in de werken van onder andere
Leopold Kronecker
,
Heinrich Weber
,
David Hilbert
,
Teiji Takagi
,
Emil Artin
,
Helmut Hasse
en
Claude Chevalley
.
De meeste van de centrale resultaten in de klassenveldtheorie werden in de periode tussen 1900 en 1950
bewezen
. De theorie ontleent zijn naam aan enkele vroege ideeen,
vermoedens
en resultaten zoals die over het
Hilbert-klassenveld
, die zo rond 1930 in de klassenveldtheorie waren verwerkt.
De
ideaalklassengroep
(een fundamenteel
object
van studie binnen een
enkelvoudig
getallenlichaam
K
, zoals een
kwadratisch veld
), wordt ook gezien als een
Galoisgroep
van een velduitbreiding
L
/
K
; een structuur gebouwd
bovenop
K
en een structuur, waar mogelijk irrationele getallen bij betrokken zijn die verdergaan dan
vierkantswortels
.
- (
en
)
Emil Artin
,
John Tate
, Class field theory,
ISBN 978-0-201-51011-9
, 1990,
Addison-Wesley
,
Redwood City
,
Californie
- (
en
)
Jurgen Neukirch
, Class Field Theory,
Springer-Verlag
,
Berlijn
,
New York
,
ISBN 978-3-540-15251-4
, 1986
- (
en
)
Keith Conrad
History of class field theory