Dependentia
distributionis
frequentiarum
duobus
characteribus
in
statistica
est
proprietas
qua valores unius
characteris
illos alterius inflectunt.
Singillatim dicitur
distributio frequentiarum dupla
distributio cui inscribuntur frequentiae elementorum binis valoribus duorum characterum, tamquam:
Tabella haec
tabella duplici ingressu
vel
tabella contingentiae
dicitur.
Itaque licet dependentiam mentiri, exempli gratia, ut investigemus
?
mulieribusne
stipendium minus persolvatur quam viris ("ergo stipendiine
?
magnitudo
a
sexu
dependat"), vel generane quaedam alumnorum maius examinationibus proficiant alteris, vel quandocumque suspicemur valorem unius characteris ab altero dependere.
Distributio dupla fere binis his elementis describitur:
ubi
signum valorem characteris X designat atque
characteris Y. Binis tamen quibusque valoribus adhibere potest
frequentia coniuncta
, quae numerum elementorum designat valoribus characterum
.
Exempli gratia ita potest tabella contingentiae fieri:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Exemplum graphi dispersionis.
Exemplum graphi bullarum.
Hae depingi possunt
grapho dispersionis
vel
graho bullarum
, hoc aptiore distributioni frequentiarum. Grapho dispersionis depinguntur omnia elementa singulo
puncto
coordinatis
(nec indecet duobus punctis esse easdem coordinatas); grapho bullarum depinguntur bini valores
circulo cuius magnitudo frequentiae coniunctae
proportionalis
est, coordinataeque valoribus aequales sunt.
Appellatur
distributio marginalis
characteris X, distributione frequentiarum dupla, distributio simplex elementorum secundum hoc character. Itaque a tabella duplici ingressu deducitur, valores versuum aut columnarum summando.
Exempli gratia, tabella summi huius subcapituli in distributiones has marginales dissolvitur:
Frequentiae stipendiorum
|
|
|
|
Frequentia
|
10+15=25
|
20+24=44
|
5+4=9
|
Frequentiae sexuum
|
Frequentia
|
|
10+20+5=45
|
|
15+24+4=43
|
Praecipue distributio marginalis characteris X littera
designatur, eiusque frequentiae signis
aut
.
Characteris
distributio conditionata valori
characteris
dicitur distributio secundum character
elementorum cuius valor est
charactere
. Itaque e tabella contingentiae educitur versibus aut columnis quibusdam eligendis, fereque
signo designatur.
Exempli gratia, haec sunt distributiones conditionatae stipendiorum ipsius tabellae prioris singulis sexibus:
Stipendia virorum (distributio conditionata valori
)
|
|
|
|
Frequentia
|
10
|
20
|
5
|
Stipendia mulierum (distributio conditionata valori
)
|
|
|
|
Frequentia
|
15
|
24
|
4
|
Charactera
atque
distributionis frequentiarum duplae
statistice independentia
dicuntur si subdicta aequatio vera habetur cunctis frequentiis coniunctis:
Potest enim demonstrari tabella contingentiae tres has sententias una veras aut falsas esse
(aequivalere):
;
;
.
Indipendentia enim
quaeque distributio conditionata aequalis est marginali.
Nisi una earum sententiarum vera est, omnes igitur tres falsae sunt, haberi dicitur
dependentia statistica.
Ad dependentiam distributionis duplae mentiendam, fere oportet eius tabellam contingentiae conferre et illam tabellam contingentiae, quae haberetur characteribus duobus ipsis independentibus.
Itaque definimus frequentias
tabellae independentiae:
Exempli gratia haec est tabella independentiae ipsius distributionis paragraphi prioris:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex his frequentiis etiam licet definire
contingentias:
Itaque possumus nunc indicem dependentiae characterum definire per
medietatem quadraticam
ponderatam
contingentiarum ad secundam potentiam dignatarum numeris
ponderibus:
Hic index cum tabella contingentiae longius a tabella independentiae differat, magis augetur, nullusque est independentia.
Alter index priori conexus est:
Primum dicendum est, indicem supradictum valorem suum maximum attingere cum tabella contingentiae sit
tabella dependentiae perfectae.
Singillatim, si plus est valorum characteri X quam characteri Y, dicitur
tabella dependentiae perfectae characteris Y a charactere X
tabella contingentiae cui (si columnae ad character Y pertinent) omni columnae solae frequentiae nullae sint omni versu excepto uno. Exempli gratia:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si numerus valorum duorum characterum adaequat, potest haberi dependentia perfecta characteris X ab Y versaque vice.
Valorem tamen maximum
, si
, adipiscitur index
cum tabella contingentiae sit tabella dependentiae perfectae characteris Y a charactere X, ubi
littera numerum valorum characteris Y designat, atque
valorum characteris X.
Ab hac definitione itaque potest definiri
index Cramerianus
:
Qui inter
comprehenditur.
Primum ad secundam dignemus indicem dependentiae potentiam:
Cum uno sit fractio
minor, scribi potest:
quod scimus
. Valet igitur:
; quae duo membra modo adaequant, si
, quod sola dependentia perfecta characteris Y a charactere X evenit.
Item a
disaequatione
supradicta videmus valere
, et eisdem computationibus edici potest
membraque adaequare sola dependentia perfecta characteris X a charactere Y.
E quo duobus deducitur:
Notandum est facilius computari ita medietas
arithmetica
distributionum conditionatarum marginaliumque:
Itaque ab his potest definiri
dependentia media
. Singillatim character Y dicitur medie dependere a charactere X medietatibus arithmeticis distributionum conditionatarum characteris Y inter se differentibus.
Ad hanc mentiendam, oportet scire medietatem distributionis marginalis esse medietatem ponderatam medietatum distributionum conditionatarum:
Itaque dependentiam mediam sumus mensuri
deviantia medietatum conditionatarum
:
Index supradictus invenitur in
decompositio deviantiae totalis
distributionis marginalis, in
deviantiam explicitam
ac
deviantiam residuam
:
Ab hac definiri potest
corrationalitas correlationis
:
quae inter
comprehenditur.
Patet:
Medietatesque conditionatas cum addiderimus subtraxerimusque in differentiam illam, id fit:
Et binomio quadrato evoluto sic membrum expanditur:
Ubi postremum membrum nullum. Multiplicatio enim est differentiarum inter elementa medietatesque:
Computationibus peractis videmus:
quod erat demonstrandum.