四十二億九千四百九十六万七千二百九十五角形

正四十二億九千四百九十六万七千二百九十五角形
種類	正多角形
? ? 頂点	4294967295
シュレ?フリ記?	{4294967295}
コクセタ??形
??性群	二面?群 (D 4294967295 ), order 2×4294967295
?角 ( 度 )	?179.999 999 916°
??多角形	Self
要素	凸? 、円? 、等? 、等角、等軸

四十二億九千四百九十六万七千二百九十五角形 （4,294,967,295かくけい、よんじゅうにおくきゅうせんよんひゃくきゅうじゅうろくまんななせんにひゃくきゅうじゅうごかっけい）は、多角形の一つで、 4,294,967,295 本の ? と4,294,967,295個の頂点を持つ ?形である。 ?角の和は773,094,112,740°、 ?角線の本?は9,223,372,026,117,357,570本である。

正4,294,967,295角形は定規とコンパスで作?できることが知られている。正 n 角形が定規とコンパスで作?できるのは、 n が2の冪と相異なるフェルマ?素? の積、すなわち

n = 2 ^mF _aF _b…F _c（F _a , F _b , … ,F _c は全て異なるフェルマ?素?、 m は非負整?）

の形であること場合のみであることが知られている。フェルマ?素?は 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 の5つのみが?見されており、より大きなフェルマ?素?が存在するかは分かっていないが、もしフェルマ?素?がこの5つだけであるならば、4,294,967,295 = 3×5×17×257×65537は作?可能な正奇?角形のうちで?の個?が最大のものということになる。

以下、正4294967295角形について記述する。

性質 [ 編集 ]

正4294967295角形の形?は、 ? の?が非常に多いためほとんど ?円と見分けが付かない。正4294967295角形の中心角と外角の大きさは

${\frac {360^{\circ }}{4294967295}}\approx 8.389\times 10^{-8\ \circ }\approx 0.0003''$

である。半? 1 の円に?接する正4294967295角形の面積は、

${\frac {4294967295}{2}}\sin {\frac {2\pi }{4294967295}}\approx 3.141592653589793237$

で、円の面積である円周率に極めて近く、小?第17位まで一致する。一?の長さは

$2\sin {\frac {\pi }{4294967295}}\approx 1.462918\times 10^{-9}$

である。例えば、半?1000 キロメ?トルの円に?接する正4294967295角形の一?の長さは1.5 ミリメ?トル弱しかない。さらに、地球を半?6378キロメ?トル（地球半? ?照）の?球と見なして、その大円（例えば赤道）に?接する正4294967295角形を考えたとしても、その一?の長さは1 センチメ?トルに?たない。

作?可能性 [ 編集 ]

「定規とコンパスによる作?#作?可能な正多角形」も?照

4294967295 は

$2^{2^{5}}-1$

の形で表され、その素因?分解は

$3\times 5\times 17\times 257\times 65537$

と、知られているフェルマ?素? 全ての積である。カ?ル?フリ?ドリヒ?ガウスが明らかにしたところによると、正 n 角形が作?可能であるための必要十分?件は、 n が 2の冪と相異なるフェルマ?素?の積、すなわち

$n=2^{m}F_{a}F_{b}\cdots F_{c}\quad (F_{a},F_{b},\cdots ,F_{c}$ は相異なるフェルマ?素?、 $m$ は非負整?)

の形で表されることである。ゆえに、65537 より大きなフェルマ?素?が存在しないという予想がもし正しければ、正4294967295角形は作?可能な正奇?角形のうちで?の個?が最大のもの、ということになる。

正4294967295角形がコンパスと定規で作?可能であることは、 1の原始4294967295?根（のひとつ）

$\cos {\frac {2\pi }{4294967295}}+i\sin {\frac {2\pi }{4294967295}}\approx (1-1.07006\times 10^{-18})+1.462918\times 10^{-9}i$

の?部と?部が共に、有理? から始めて四則および平方根を取る操作を有限回組み合わせて表現できることを意味する。

正4294967295角形を?際に作?する手順は膨大なものになるが、理論的には以下のように考えればよい。例えば、正3角形と正5角形の作?ができれば、正15角形が作?できる。?際、円周を3等分することも5等分することもできれば、15等分することもできる。同?に、正15角形と正17角形の作?ができれば、正255角形の作?ができる。以下同?。よって、正多角形の作?は正素?角形の作?に?着され、正素?角形の作?が本質的に難しい部分である。

?連項目 [ 編集 ]

正三角形 - 五角形 - 十五角形 - 十七角形 - 五十一角形 - 八十五角形 - 二百五十五角形 - 二百五十七角形