La
moltiplicazione
e una delle quattro operazioni fondamentali dell'
aritmetica
. E un modo rapido per rappresentare la
somma
di
numeri
uguali. Il risultato di una moltiplicazione e chiamato
prodotto
, mentre i due numeri moltiplicati sono detti
fattori
se considerati insieme, e rispettivamente
moltiplicando
e
moltiplicatore
se presi individualmente. E spesso indicata dal
simbolo "per" a croce
×
, oppure dal
punto a mezza altezza matematico
?
, o in ambito informatico dall'
asterisco
*
.
Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque moltiplicato per due volte" ed entrambe si leggono
cinque
per
due
:
Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, e possibile anche semplicemente giustapporli, come in:
anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'e rischio di equivoco si puo omettere il
per
, come nella prima (
due zeta
), altrimenti verra detto, come nella seconda (
due per, aperta parentesi, zeta piu due, chiusa parentesi
o
due per, tra parentesi, zeta piu due
) o infine
due che moltiplica zeta piu due
.
Nei
linguaggi di programmazione
e nelle
calcolatrici
, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco (*)
, grazie ad una consuetudine nata dal linguaggio di programmazione
FORTRAN
[
senza fonte
]
.
Dati due numeri interi positivi
e
, detto il primo "moltiplicando" ed il secondo "moltiplicatore", la definizione di moltiplicazione non e altro che:
ovvero "addizionare il numero
per
volte".
[1]
[2]
Usando una formula piu ristretta, con il simbolo di
sommatoria
:
Quindi, per esempio:
- 2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
- 5 × 2 = 5 + 5 = 10
- 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
- m
× 6 =
m
+
m
+
m
+
m
+
m
+
m
Data la
proprieta commutativa
della moltiplicazione (vedi
piu in basso
), talvolta
[3]
si da la seguente definizione (equivalente) di moltiplicazione:
A partire dalla definizione, si puo dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprieta:
- Proprieta commutativa
- Non ha importanza l'ordine con cui vengono moltiplicati due numeri. Infatti, per ogni coppia di numeri
x
e
y
,
- E importante sottolineare che questa proprieta vale solo per i numeri (
interi
,
razionali
,
reali
,
complessi
), ma non vale sempre, ad esempio non vale quando si moltiplicano tra loro
matrici
e
quaternioni
.
- Proprieta associativa
- Per ogni terna di numeri
x
,
y
e
z
,
- cioe non ha importanza l'ordine con cui vengono eseguite le operazioni se queste coinvolgono solo le moltiplicazioni.
- Proprieta distributiva
rispetto all'addizione
- Si puo "distribuire" la moltiplicazione ai vari addendi di una somma:
- Elemento neutro
- Ogni numero moltiplicato per
1
e pari a se stesso:
- Il numero 1 e detto anche
elemento neutro
per la moltiplicazione.
- Elemento zero
- La moltiplicazione di qualsiasi numero per zero ha zero come risultato:
- per un qualunque
x
.
- Questa definizione e coerente con la proprieta distributiva, infatti:
Per la moltiplicazione nel campo dei numeri razionali (v. sotto) vale anche
- Esistenza dell'
inverso
- Qualsiasi numero x, ad eccezione dello zero, ha un inverso rispetto alla moltiplicazione,
, cioe un numero definito in modo tale che:
Nel libro
Arithmetices principia, nova methodo exposita
,
Giuseppe Peano
propose un
sistema assiomatico
per i
numeri naturali
; due di questi assiomi riguardano la moltiplicazione:
Qui
b'
rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di
b
. Con gli altri nove assiomi di Peano, e possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprieta distributiva e associativa. I due assiomi elencati forniscono una definizione ricorsiva della moltiplicazione.
Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale
dove con ? x si intende l'inverso additivo di x :
Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di
.
Lo schema che ne deriva e detto
regola dei segni
:
- Il prodotto di due numeri positivi e un numero positivo:
- ovvero "
piu per piu fa piu
".
- Il prodotto di un numero negativo per un numero positivo, o viceversa, e un numero negativo:
- ovvero "
piu per meno fa meno
".
- Il prodotto di due numeri negativi e un numero positivo:
- ovvero "
meno per meno fa piu
".
[4]
Quest'ultima regola pratica ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare
m
euro l'anno; tra
n
anni avremo
mn
euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora
n
anni fa (cioe "tra meno
n
anni") avevamo
mn
euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo
m
euro l'anno (cioe guadagnassimo "meno
m
euro"), tra
n
anni ne avremo
mn
in meno, ma
n
anni fa ne avevamo
mn
in piu
di quanti ne abbiamo ora.
La definizione di moltiplicazione si puo infine estendere ai
numeri razionali
, ai
numeri reali
, e ai
numeri complessi
.
Per i numeri razionali abbiamo che
- ,
verificando che la definizione e indipendente dai rappresentanti scelti.
Per i numeri reali, una definizione di moltiplicazione si puo ottenere prendendo il modello di numero reale come
sezione di Dedekind
: dati due numeri reali positivi, rappresentati come sezioni in campo razionale, moltiplicando (con opportuni accorgimenti) i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro si ottiene ancora una sezione, che rappresenta il prodotto dei due numeri. La definizione si puo poi estendere a tutti i numeri reali seguendo la regola dei segni indicata nella sezione precedente.
Per i numeri complessi, infine, si ha:
- Metodi manuali:
- per moltiplicare due numeri con carta e penna, l'approccio piu comune fa uso della
tavola pitagorica
, e di un
algoritmo
che ottiene il prodotto finale come somma di tanti prodotti di moltiplicazioni piu semplici. Il tempo impiegato tramite questo metodo cresce con l'aumentare delle cifre dei numeri da moltiplicare; se si vuole risparmiare tempo, ed e sufficiente un risultato approssimato, si possono usare l'
algoritmo di prostaferesi
, o meglio ancora quello dei
logaritmi
.
- il supporto strumentale piu antico e l'
abaco
che permette di ottenere risultati esatti. Risale al
XV secolo
il
regolo calcolatore
che da risultati approssimati (ma e molto piu rapido). Nel
XX secolo
, piu per sfizio accademico che per reale necessita pratica, e stato progettato un
regolo prostaferico
- nel
1962
il matematico russo Anatoly Karatsuba definisce il primo algoritmo per la moltiplicazione con complessita meno che quadratica; nel
1963
un altro russo, Andrei Toom, pone le basi per l'
algoritmo di Toom-Cook
, con complessita ancora inferiore.
- Metodi meccanici:
- Metodi elettronici:
- Le moderne calcolatrici tascabili racchiudono la logica degli algoritmi in un microchip.
- Una panoramica dei modi per implementare informaticamente la moltiplicazione e disponibile su
questa pagina
.
- ^
Moltiplicazione
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Treccani.it ? Enciclopedie on line
, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- ^
Moltiplicazione
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,
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.
- ^
In special modo nella letteratura anglosassone dove 2 x 5 si legge: "two times five"
- ^
Helmut Seiffert,
3
, in
LE BASI DELLA MATEMATICA MODERNA numeri e insiemi
, Arnoldo Mondadori, Marzo 1976, pp. 85-89.
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