Isoterme
di un
gas ideale
L'
equazione di stato dei gas perfetti
(o ideali), nota anche come
legge dei gas perfetti
, descrive le condizioni fisiche di un "
gas perfetto
" o di un gas "ideale", correlandone le
funzioni di stato
. Venne formulata nel
1834
da
Emile Clapeyron
. La sua forma piu semplice ed elegante e:
![{\displaystyle pV=nRT}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c364f7f0b47178cfd35c3bbaf6dcb22a98cf44)
dove le variabili sono in ordine: la
pressione
, il
volume
, la
quantita di sostanza
, la
costante dei gas
e la
temperatura assoluta
del gas perfetto.
L'equazione di stato dei gas perfetti descrive bene il comportamento dei gas reali per pressioni non troppo elevate e per temperature non troppo vicine alla temperatura di liquefazione del gas. Una migliore descrizione del comportamento dei gas reali e dato dall'
equazione di stato di Van der Waals
.
L'equazione di stato dei gas perfetti e stata inizialmente formulata come sintesi dalle leggi empiriche di
Avogadro
,
Boyle
,
Charles
e
Gay-Lussac
.
Trascurando in un primo momento la
legge di Avogadro
, si consideri un volume di gas
in
condizioni standard
ad uno stato iniziale caratterizzato da:
![{\displaystyle {\begin{aligned}p_{0}&=1\ \mathrm {atm} \\t_{0}&=0\ \mathrm {^{\circ }C} \,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6ad119b10d1b57e908d386b4d0e0e2b021427f)
Si consideri una
trasformazione isobara
(a pressione costante) applicata a questo volume di gas. Il volume alla fine della trasformazione sara, secondo la
legge di Charles
:
![{\displaystyle V=V_{0}(1+\alpha t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2d84e0f6d4f2b5d919897348fb53c191e848c2)
Il parametro
e detto
coefficiente di dilatazione termica
e ha le dimensioni dell'inverso della temperatura perche il prodotto
e adimensionale. La temperatura
e espressa in
gradi Celsius
(°C).
Se poi si fa andare il volume cosi ottenuto incontro ad una
trasformazione isoterma
otterremo, secondo la
legge di Boyle-Mariotte
:
![{\displaystyle p_{0}V=pV\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743d8cca22f166c06c8c2710ce15b3517ba17428)
ovvero:
![{\displaystyle {\begin{aligned}pV&=p_{0}V\\pV&=p_{0}V_{0}\,(1+\alpha t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8b360b0fe7393c1e21a340218ceb24191d549a)
Quindi la legge in questa prima forma si esprime:
![{\displaystyle pV=MRT}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deae3640effc7ebf696f03d4002ce279beeeb6f5)
dove
e una costante caratteristica del tipo di gas, cioe il prodotto di pressione, volume e del reciproco della
temperatura assoluta
e costante nelle varie trasformazioni fisiche a cui il
gas perfetto
venga sottoposto. Ha le dimensioni di energia per unita di massa e di temperatura.
Questa formulazione, che non sfrutta la legge di Avogadro collega direttamente la densita alla pressione e alla temperatura, ma dipende implicitamente dal gas scelto, ed e necessario calcolare prima la costante caratteristica del gas in esame. Quindi e ancora utile da un punto di vista tecnico quando si devono ripetere calcoli con lo stesso gas, non quando si devono confrontare gas a diversa massa molecolare media.
La relazione che meglio descrive il comportamento di una sostanza in fase gassosa e:
, dove
e il
volume molare
e
e il
fattore di comprimibilita
, che esprime lo scostamento del comportamento ideale da quello reale.
Siccome la massa
del gas e legata alla sua
quantita di sostanza
dalla
massa molecolare
media del gas
:
![{\displaystyle m=Mn}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416edcbe5962b795764587d5941f9573d8312aaa)
o sul piano locale:
,
dove la massa molecolare media si puo calcolare come
media ponderata
sulla composizione molecolare
(in at%):
![{\displaystyle M=\sum _{i}x_{i}M_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4a96a659884d6f807f047aae0c35b2a0c548b8)
allora ridefinendo una costante molare dei gas (per unita di quantita di sostanza anziche per unita di massa):
![{\displaystyle R_{0}=MR}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0047c2d2960d70e0ccd89f4ed02c90c424e7ad5c)
si puo rienunciare la relazione ottenuta come:
![{\displaystyle pV=nR_{0}T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c959d54b031efeff33ab071c8e735527e35817)
Per esempio per l'aria (qui si considera per semplicita l'aria tecnica costituita da due componenti: 79 at% azoto e 21 at% ossigeno), la massa molecolare vale:
.
Quindi se la costante di gas ideale dell'aria vale
,
si puo prevedere una costante molare per l'aria pari a
.
In realta Avogadro confrontando vari gas scopri che la costante molare non dipende piu neanche dal tipo di gas considerato (percio viene chiamata
costante universale dei gas
): arrivo cioe empiricamente alla
legge di Avogadro
.
Quindi la equazione di stato dei gas ideali si riscrive tenendo conto della legge di Avogadro come
[1]
:
![{\displaystyle pV=nR_{0}T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c959d54b031efeff33ab071c8e735527e35817)
o in forma locale, dividendo per il volume:
![{\displaystyle p=n_{m}R_{0}T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c504d02dc68a870fb8106bce4ebc1f239970f0)
in cui
e il valore della pressione del gas;
e il volume occupato dal gas;
e la
densita molare
del gas;
e la
costante universale dei gas
, il cui valore varia in funzione delle unita di misura adottate per esprimere le altre grandezze nell'equazione;
e la temperatura assoluta del gas, espressa in
kelvin
.
[2]
Il valore della costante universale nel
Sistema internazionale
e:
![{\displaystyle R_{0}=8{,}314\,462\,618...\ \mathrm {J \over {mol\cdot K}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670c43ff9c73c325af60157350c4b15763440b37)
a volte nei calcoli, specialmente in chimica, si utilizza il valore (approssimato) di:
![{\displaystyle R_{0}=0{,}0821\ \mathrm {{L\cdot atm} \over {mol\cdot K}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aadbeed4172b90c77a4e1f478ccf70d5c055067)
Infine se
e la densita molare (mol/m
3
), moltiplicando e dividendo per il
numero di Avogadro
:
![{\displaystyle p=n_{n}{\frac {R_{0}}{N_{A}}}T\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5190d4568851d1966d165108a4a4c19d32273f37)
si ottiene la
densita numerica
(in molecole/m
3
). In questo modo emerge una nuova costante dimensionale, detta
costante di Boltzmann
:
![{\displaystyle p=n_{n}k_{B}T\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf9f86a94d74f314e4c92c729a7983c659fe850)
In questo modo nelle unita elementari si e gia passati da due costanti dimensionali ad una sola.
Il valore esatto e:
[3]
![{\displaystyle k_{\mathrm {B} }=1{,}380\,649\times 10^{-23}\mathrm {\ J\,K^{-1}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313fc27f2a15cb3ff14eaea0b06ddffb597d7eeb)