Esempio di funzionamento del momento angolare
Il
momento angolare
(dal
latino
momentum
: movimento, impulso o, in senso traslato, efficacia, influenza
[1]
), o
momento della quantita di moto
, e una
grandezza fisica
di tipo
vettoriale
che rappresenta la quantita che si conserva se un
sistema fisico
e
invariante
sotto
rotazioni spaziali
. Costituisce l'equivalente per le rotazioni della
quantita di moto
per le traslazioni.
[2]
Piu in generale, nelle formulazioni della meccanica discendenti da un
principio variazionale
il momento angolare e definito, in termini del
teorema di Noether
, come la quantita conservata risultante dall'invarianza dell'
azione
rispetto alle rotazioni tridimensionali. Questa formulazione e piu adatta per estendere il concetto di momento angolare ad altri enti, quali ad esempio il
campo elettromagnetico
.
Il momento angolare e uno
pseudovettore
, non uno scalare come l'
azione
.
[2]
Per questo motivo la sua unita di misura nel
Sistema internazionale
(SI) e espressa in
(kilogrammo per metro quadro su secondo), non in
joule
per
secondo
, anche se le due unita hanno le stesse
dimensioni
fisiche.
[3]
Una grandezza correlata al momento angolare e il
momento angolare specifico
, il quale rappresenta il momento angolare per unita di
massa
, ovvero il momento della
velocita
.
Momento angolare (
) di un punto materiale di massa
. Nell'immagine sono indicati il vettore posizione (
) e la velocita (
)
Nella
meccanica newtoniana
il momento angolare
rispetto ad un polo
di un
punto materiale
e definito come il
prodotto vettoriale
tra il
vettore
che esprime la posizione
del punto rispetto a
e il vettore
quantita di moto
:
[4]
![{\displaystyle \mathbf {L} _{O}=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391c0c0849d42caf2299e7eae699a2e8047cc407)
Il
modulo
di
e quindi definito da:
[5]
![{\displaystyle \|\mathbf {L} _{O}\|=\|\mathbf {r} \|\cdot \|\mathbf {p} \|\sin {\theta }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {b} =m\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f470fff9347ec7a09be9d1928e6fae1a8e560e80)
La direzione di
e perpendicolare al piano definito da
e da
e il verso e quello di un osservatore che vede
ruotare
in senso antiorario. Il vettore
, che rappresenta la distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace
, e detto
braccio
di
.
Se
e
sono tra loro perpendicolari, si ha che
, pertanto il momento angolare e massimo. Il momento angolare e nullo invece se la quantita di moto o il braccio sono
nulli
, oppure se
e parallelo ad
, in tal caso infatti
.
Poiche il prodotto di due variabili coniugate, ad esempio posizione e impulso, deve essere un'azione, questo ci dice che la variabile coniugata al momento angolare deve essere adimensionale: infatti e l'angolo di rotazione attorno al polo.
Si definisce
momento angolare assiale
rispetto a un asse
passante per un punto
la componente ortogonale del momento angolare su un particolare asse
, detto asse centrale:
![{\displaystyle \mathbf {L} _{\hat {z}}:=[(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\cdot {\hat {\mathbf {z} }}]{\hat {\mathbf {n} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0665cf8fe3228a6a28a71aa02d1542efd9ad2129)
dove
e un
versore
, vettore di lunghezza unitaria, che identifica l'asse. Il modulo sara:
![{\displaystyle L_{\hat {n}}=|\mathbf {L} _{O}|\cdot \cos \varphi =|\mathbf {r} |\cdot |\mathbf {p} |\sin \vartheta \cos \varphi =(\mathbf {p} \cdot \mathbf {b} )\cos \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33dfe7519870907bde48b36cfbe33befa8fffbe4)
dove
e l'angolo formato dal vettore momento angolare
con l'asse
. In pratica e la proiezione ortogonale del momento angolare sull'asse
. Per questo il momento angolare assiale e nullo se l'angolo
e massimo quando l'asse
coincide con l'asse di
, in tal caso infatti:
.
Per
sistemi discreti
il momento angolare totale e definito dalla somma dei singoli momenti angolari:
[6]
![{\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {L} _{i}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b56e9847d91a68c7c65cddee7366617e58dd52a)
dove
e il vettore posizione del punto i-esimo rispetto all'origine,
e la sua massa, e
e la sua velocita. Sapendo che la massa totale di tutte le particelle e data da:
![{\displaystyle m=\sum _{i}m_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ef7685652a1606706cc9a4a7e3268b48159d52)
si ha che il centro di massa e definito da:
![{\displaystyle \mathbf {r} _{\text{CM}}={\frac {1}{m}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884a119c4f8b45cce24c6e52656f448de57b2cb3)
ne consegue che la velocita lineare del centro di massa e:
![{\displaystyle \mathbf {v} _{\text{CM}}={\frac {1}{m}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c2b0d81b185510f9bbf9f596861eeb075e1564)
Se si definiscono
il vettore posizione della particella , e
la sua velocita rispetto al centro di massa, si ha:
e
![{\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {v} _{\text{CM}}+\mathbf {v} '_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c759c07f5f695b005732a46dfe0315c23c5a76b7)
si puo vedere che:
e
![{\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} '_{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/896c9dee34d69553f259f861bd40fbf2881780cd)
cosicche il momento angolare totale rispetto all'origine e:
![{\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\left(\mathbf {r} _{\text{CM}}\times m\mathbf {v} _{\text{CM}}\right)+\sum _{i}(\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {v} '_{i})=\mathbf {L} _{CM}+\mathbf {L} '_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666cf283f27573894c17edf90f1b29a84c0fc60f)
Il primo termine e semplicemente il momento angolare del centro di massa. E il medesimo momento angolare che si otterrebbe se ci fosse una sola particella di massa
, posta nel centro di massa, che si muove con velocita
. Il secondo termine e il momento angolare delle particelle relativamente al proprio centro di massa.
[7]
Nei
sistemi continui
si estende in modo naturale la definizione introducendo la
densita
e il
campo di velocita
:
![{\displaystyle \mathbf {L} =\int _{V}\rho \,\mathbf {r} \times \mathbf {v} \ \mathrm {d} V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86cada788a8cfb1e91afb655933c91335bd394d)
Se le particelle formano un
corpo rigido
, il termine che descrive il loro momento angolare rispetto al centro di massa puo essere ulteriormente semplificato. In questo caso, infatti, e possibile legare la sua espressione alla descrizione del moto rotatorio, ovvero alla
velocita angolare
e alla
velocita areolare
. Se la componente rotatoria e l'unica presente, ovvero nel caso in cui il corpo rigido si muova di
moto circolare
, e pari al prodotto del
tensore di inerzia
e della velocita angolare:
![{\displaystyle \mathbf {L} ={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}{\boldsymbol {\omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7055666c08032c11764b48b3cb18c713b6af3ef2)
oppure, analogamente, come il doppio del prodotto tra la massa totale e la velocita areolare:
![{\displaystyle \mathbf {L} =2m{\dot {\mathbf {A} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f76616b777f0b51edb05f3a5daa6d6c7ac1560)
Lo stesso risultato si ottiene se al sistema di punti materiali discreti esaminato sopra si sostituisce una distribuzione continua di massa.
Relazione tra forza (
),
momento meccanico
(
), quantita di moto (
) e momento angolare (
) in un sistema rotante.
Per quanto riguarda la dinamica dei sistemi di punti materiali, il momento angolare e una caratteristica fondamentale del moto.
[8]
Infatti se un punto materiale
si muove con quantita di moto:
, il momento angolare del punto rispetto a un polo
e dato da:
![{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} (t)\times \mathbf {p} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a2fe3bac6e5c881e3bfb7a8b46618a57b4ff5b)
se il polo
e in moto con velocita
, allora il momento angolare varia nel tempo:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0994ac6dbde7ada0d01cc186b285e167914496)
dove:
rappresenta la velocita relativa del punto
rispetto alla velocita di
![{\displaystyle O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc)
per il
secondo principio della dinamica
rappresenta la forza totale risultante.
Allora da questa relazione si ricava la
seconda equazione cardinale della dinamica
:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{O})\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {v} \times \mathbf {p} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} +\mathbf {M} _{O}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4339c9ff2f14027da295e0f0893a319aef3e51e)
essendo
e
paralleli, il loro prodotto vettoriale e nullo, dunque si ottiene:
![{\displaystyle \mathbf {M} _{O}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84631ea4f6d159c56749d6320ac34acfd15bc48)
dove
e il
momento meccanico
. Nel caso di un
corpo rigido
rotante, si puo osservare che
rappresenta la
velocita tangenziale
del corpo rotante, pertanto si ha che:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95f920d5a08144f37d3d20ad709275d26b953ba)
Nei casi in cui:
- il polo sia fermo
- il polo coincida con il centro di massa
- il polo si muova parallelamente alla traiettoria del centro di massa
allora ci si riconduce alla piu familiare:
[9]
![{\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ee30e5e38ee67c63e159b07306b02fc014423c)
Il momento di una forza e definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del punto di applicazione della forza, e la forza stessa. Il suo modulo risulta quindi uguale al modulo della forza per il braccio. Si puo dimostrare che se il polo e immobile, la derivata rispetto al tempo del momento angolare e uguale al momento delle forze applicate, cosicche se quest'ultimo momento e nullo allora il momento angolare si conserva.
[8]
Il momento angolare e importante in tutti i moti dipendenti da variazioni che riguardano variabili angolari, inoltre resta fondamentale perche nei
sistemi isolati
, cioe non soggetti a momenti di forze esterne, vale la
legge di conservazione del momento angolare
.
[10]
Viene definito
impulso angolare
la variazione del momento angolare di un corpo che viene sottoposto ad un urto con un altro corpo. In altre parole e il momento angolare effettivamente trasmesso al momento dell'urto. Il momento angolare iniziale e finale, utili per calcolare l'impulso angolare, consistono nei momenti della quantita di moto finale e della quantita di moto iniziale.
[11]
Dunque per calcolare l'impulso angolare in genere si usa misurare massa e velocita del corpo prima del contatto e trarre i dati iniziali e ripetere l'operazione dopo il contatto. Sfruttando la seconda equazione cardinale della dinamica di Eulero e la legge della cinematica di un moto circolare uniforme si ha che:
![{\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ee30e5e38ee67c63e159b07306b02fc014423c)
Integrando rispetto al tempo entrambi i membri si ottiene l'impulso angolare:
![{\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {M} \,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb3ec791e1b9d03b66c53c86afcdb8b71884e8a)
Nello studio dei moti in campi di forze centrali, la conservazione del momento angolare e fondamentale, poiche e legata alla costanza della
velocita areolare
. Esempi di questo tipo si riscontrano in meccanica newtoniana, ad esempio nello studio del moto del
pendolo
, e in
meccanica celeste
, dove il
momento angolare orbitale
, definito come il prodotto vettoriale tra la
posizione
e la
quantita di moto
del corpo orbitante al tempo di riferimento, riveste un ruolo chiave per le
leggi di Keplero
e lo studio dei moti dei pianeti, infatti il
momento angolare orbitale specifico
rappresenta una
costante vettoriale
di moto di un'orbita, cioe si conserva nel tempo.
[12]
- ^
[1]
Vocabolario Treccani
- ^
a
b
Parodi Ostili Mochi, 2006
, p. 359
.
- ^
Mazzoldi Nigro Voci, 2010
, p.85
.
- ^
Mazzoldi Nigro Voci, 2010
, p.83
.
- ^
Rosati, 1990
, p.207
.
- ^
Mazzoldi Nigro Voci, 2010
, p.141
.
- ^
Mazzoldi Nigro Voci, 2010
, p.142
.
- ^
a
b
Rosati, 1990
, p.222
.
- ^
Rosati, 1990
, p.205
.
- ^
Rosati, 1990
, p. 223
.
- ^
Bruno Finzi
,
Meccanica Razionale ? Volume 2 ? Dinamica (terza edizione)
, Zanichelli - Bologna, 1995.
p.390
- ^
Mazzoldi Nigro Voci, 2010
, p.362
.
- Sergio Rosati,
Fisica Generale
, Milano, Casa Editrice Ambrosiana, 1990,
ISBN
88-408-0368-8
.
- Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci,
Fisica - Volume I (seconda edizione)
, Napoli, EdiSES, 2010,
ISBN
88-7959-137-1
.
- Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori,
L'Evoluzione della Fisica-Volume 1
, Paravia, 2006,
ISBN
978-88-395-1609-1
.
- David Halliday, Robert Resnick,
Fundamentals of Physics
, John Wiley & Sons, 1960-2007, pp. Chapter 10.