Ez a szocikk nem tunteti fel a fuggetlen forrasokat , amelyeket felhasznaltak a keszitese soran. Emiatt nem tudjuk kozvetlenul ellen?rizni, hogy a szocikkben szerepl? allitasok helytalloak-e. Segits megbizhato forrasokat talalni az allitasokhoz! Lasd meg: A Wikipedia nem az els? kozles helye .

A gombi geometria a geometria egy agazata, ami a gombfeluletet irja le. Felfoghato nemeuklideszi geometriakent is.

Tekintsunk egy egysegsugaru, ${\displaystyle O}$ kozeppontu ${\displaystyle G}$ gombot . (Elegend? az egysegsugaru gombokkel foglalkoznunk, hiszen barmely ket gomb hasonlo.) A gombok sikmetszetei korok, melyek kozul azok a legnagyobbak, melyek sikja atmegy a gomb kozeppontjan. A maximalis sugaru korok a gombon a f?korok . Tehat az euklideszi geometriaban megjelen? egyenesek szerepet a gombi geometriaban a f?korok veszik at. Gombi szakasz oknak nevezzuk a gomb ${\displaystyle \pi }$-nel nem hosszabb f?koriveit. Gombi egyenes eknek nevezzuk a gomb f?koreit. Ha ${\displaystyle A}$ es ${\displaystyle B}$ a gomb ket nem atellenes pontja, akkor az ${\displaystyle AOB}$ sik kimetsz a gombb?l egy f?kort. Ennek az ${\displaystyle A}$ es ${\displaystyle B}$ koze es? rovidebb ive a ket pontot osszekot? egyetlen gombi szakasz. Ha ${\displaystyle A}$ es ${\displaystyle B}$ atellenes pontok, akkor vegtelen sok ${\displaystyle \pi }$ hosszusagu gombi szakasz koti ossze ?ket.

Az ${\displaystyle A}$ es ${\displaystyle B}$ pontok gombi tavolsag a, melyet ${\displaystyle d(A,B)}$-vel jelolunk, az ?ket osszekot? gombi szakasz(ok) hossza.

Az abran lathato f?korok sikjainak hajlasszoge, a korok erint?inek hajlasszoge.

A gombfelulet ket pontjatol egyenl? tavolsagra lev? pontok a ket pont f?korivenek felez? mer?leges f?koren helyezkednek el.

Gombketszog:

A gombketszog felulete: ${\displaystyle F=2r^{2}\alpha }$.

Gombharomszog [ szerkesztes ]

Ha az ${\displaystyle A,B,C}$ pontok nincsenek egy f?koron, akkor kozuluk semelyik kett? sem atellenes, igy paronkent egyertelm?en meghataroznak egy-egy gombi szakaszt. A harom gombi szakasz a gombot ket reszre vagja. A ket resz kozul a kisebbiket nevezzuk az ${\displaystyle ABC}$ gombharomszognek. Az ${\displaystyle ABC}$ gombharomszog csucsai az ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ pontok, oldalszakaszai az ${\displaystyle A,B,C}$ pontokat paronkent osszekot? gombi szakaszok. Az oldalak hosszait a szokasos modon jeloljuk: ${\displaystyle a=d(B,C)}$, ${\displaystyle b=d(A,C)}$ es ${\displaystyle c=d(A,B)}$. Az ${\displaystyle ABC}$ gombharomszog szogeit definialhatjuk az altalanos szabaly szerint: legyen BAC szog = ${\displaystyle \alpha }$ az ${\displaystyle AB}$ es ${\displaystyle AC}$ f?korivek ${\displaystyle A}$-beli erint? felegyeneseinek szoge. Ez persze egyenl? az ${\displaystyle OA}$ egyenes altal hatarolt, ${\displaystyle B}$-t, illetve ${\displaystyle C}$-t tartalmazo felsikok altal bezart szoggel. Hasonloan adhatjuk meg az ABC szog = ${\displaystyle \beta }$ es BCA szog = ${\displaystyle \gamma }$ szogeket. Az ${\displaystyle ABC}$ euklideszi haromszog ${\displaystyle A}$ csucsnal lev? szoge altalaban kulonbozik az ${\displaystyle ABC}$ gombharomszog ${\displaystyle \alpha }$ szoget?l.

Tulajdonsagai: Ha ket szog egyenl?, akkor a szemkozti oldalak is egyenl?ek, egyebkent a nagyobb oldallal szemben nagyobb szog van. Barmely ket oldal osszege nagyobb a harmadik oldal hosszanal, a gombi geometriaban az oldal az ivhossznak megfelel? (csakugy, mint az euklideszi sikban). Felulet: ${\displaystyle F=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )\ r^{2}}$. Gombi felesleg: ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma -\pi }$.

A gombi geometriaban is hasonloan ervenyesek a trigonometriai azonossagok: a szinusz -, koszinusz-tetel , illetve a Pitagorasz-tetel .

Gombi szinusz-tetel [ szerkesztes ]

${\displaystyle \sin \ a\ :\ \sin \ b\ :\ \sin \ c=\sin \ \alpha \ :\sin \ \beta \ :\sin \ \gamma }$

Bizonyitas1.: Legyen az ${\displaystyle A}$ pont mer?leges vetulete az ${\displaystyle OBC}$ sikra ${\displaystyle D}$, es legyen ${\displaystyle D}$ vetulete az ${\displaystyle OB}$, illetve ${\displaystyle OC}$ egyenesekre ${\displaystyle E}$ es ${\displaystyle F}$. Ekkor nyilvan ${\displaystyle AE\perp OB}$-re es ${\displaystyle AF\perp OC}$-re. Viszont ${\displaystyle AED}$ szog = ${\displaystyle \beta }$ es ${\displaystyle AFD}$ szog = ${\displaystyle \gamma }$, tehat ${\displaystyle \sin \ \beta }$ = ${\displaystyle {\frac {AD}{AE}}}$ es ${\displaystyle \sin \ \gamma }$ = ${\displaystyle {\frac {AD}{AF}}}$, ezert ${\displaystyle \sin \ \beta \ :\ \sin \ \gamma }$ = ${\displaystyle AF\ :\ AE}$. Azonban ${\displaystyle AOB}$ szog = ${\displaystyle c}$, igy ${\displaystyle AE=\sin \ c}$. Hasonloan ${\displaystyle AF=\sin \ b}$, tehat ${\displaystyle \sin \ \beta \ :\ \sin \ \gamma =\sin \ c\ :\ \sin \ b}$.

Bizonyitas2.: ${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}})\ {\vec {b}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})|=\sin \ c\ \sin \ a\ \sin(\pi -\beta )}$

masreszt: ${\displaystyle ({\vec {c}}\times {\vec {a}})\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}})\ {\vec {a}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}=|({\vec {c}}\times {\vec {a}})\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})|=\sin \ b\ \sin \ c\ \sin(\pi -\alpha )}$

${\displaystyle \longrightarrow \sin \ c\ \sin \ a\ \sin \ \beta =\sin \ b\ \sin \ c\ \sin \ \alpha }$

${\displaystyle {\frac {\sin \ a}{\sin \ b}}={\frac {\sin \ \alpha }{\sin \ \beta }}}$

Gombi koszinusz-tetel oldalakra [ szerkesztes ]

${\displaystyle \cos c=\cos \ a\ \cos \ b+\sin \ a\ \sin \ b\ \cos \ \gamma }$

Bizonyitas: ${\displaystyle ({\vec {b}}\times {\vec {c}})({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\vec {b}}({\vec {c}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}}))={\vec {b}}(({\vec {a}}{\vec {c}}){\vec {c}}-({\vec {c}}{\vec {c}}){\vec {a}})=({\vec {a}}{\vec {c}})({\vec {b}}{\vec {c}})-({\vec {c}}{\vec {c}})({\vec {a}}{\vec {b}})=\cos \ {\vec {b}}\ \cos \ {\vec {a}}-\cos \ {\vec {c}}}$ masreszt: ${\displaystyle ({\vec {b}}\times {\vec {c}})({\vec {c}}\times {\vec {a}})=\sin \ {\vec {a}}\ \sin \ {\vec {b}}\ \cos(\pi -\gamma )}$

${\displaystyle \longrightarrow \cos \ {\vec {b}}\ \cos \ {\vec {a}}-\cos \ {\vec {c}}=-\sin \ {\vec {a}}\ \sin \ {\vec {b}}\ \cos \ \gamma }$ ${\displaystyle \cos c=\cos \ a\ \cos \ b+\sin \ a\ \sin \ b\ \cos \ \gamma }$

Gombi koszinusz-tetel szogekre [ szerkesztes ]

${\displaystyle \cos \ \gamma =-\cos \ \alpha \ \cos \ \beta +\sin \ \alpha \ \sin \ \beta \ \cos \ c}$

Bizonyitas: oldalakra vonatkozo koszinusz-tetelt alkalmazzuk a polar gombharomszogre

${\displaystyle \cos c^{*}=\cos \ a^{*}\ \cos \ b^{*}+\sin \ a^{*}\ \sin \ b^{*}\ \cos \ \gamma ^{*}}$

${\displaystyle c^{*}=\pi -\gamma }$

${\displaystyle a^{*}=\pi -\alpha }$

${\displaystyle b^{*}=\pi -\beta }$

${\displaystyle -\cos \ \gamma =\cos \ \alpha \ \cos \ \beta +\sin \ \alpha \ \sin \ \beta \ (-\cos \ c)}$

${\displaystyle \cos \ \gamma =-\cos \ \alpha \ \cos \ \beta +\sin \ \alpha \ \sin \ \beta \ \cos \ c}$

Gombi Pitagorasz-tetel [ szerkesztes ]

${\displaystyle cos\ c=cos\ a\ cos\ b}$

specialis esete az oldalakra vonatkozo koszinusz-tetelnek, ahol ${\displaystyle \gamma =90^{o}}$

Polar gombharomszog [ szerkesztes ]

Valasszuk az ${\displaystyle A^{*}}$ pontot a gombon ugy, hogy az ${\displaystyle OA^{*}}$ vektor az ${\displaystyle OBC}$ siknak azon egysegnormalisa legyen, mely a siknak az ${\displaystyle A}$-t nem tartalmazo felterebe mutat. Hasonloan definialjuk ${\displaystyle B^{*}}$-ot es ${\displaystyle C^{*}}$-ot. Az ${\displaystyle A^{*}B^{*}C^{*}}$ gombharomszog az ${\displaystyle ABC}$ gombharomszog polaris gombharomszog e. A polaris gombharomszog oldalait es szogeit a szokasos modon az ${\displaystyle a^{*}}$, ${\displaystyle b^{*}}$, ${\displaystyle c^{*}}$ es ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ , ${\displaystyle \beta ^{*}}$, ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ bet?kkel jeloljuk.

gombharomszog oldalai:

${\displaystyle a=(b,c)}$szog = ${\displaystyle \arccos({\vec {b}}{\vec {c}})}$

${\displaystyle b=(c,a)}$szog = ${\displaystyle \arccos({\vec {c}}{\vec {a}})}$

${\displaystyle c=(a,b)}$szog = ${\displaystyle \arccos({\vec {a}}{\vec {b}})}$

szogekkel valo osszefuggesek:

${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {b}}\times {\vec {c}})}$ szog = ${\displaystyle \pi -\beta }$

${\displaystyle ({\vec {b}}\times {\vec {c}},{\vec {c}}\times {\vec {a}})}$ szog = ${\displaystyle \pi -\gamma }$

${\displaystyle ({\vec {c}}\times {\vec {a}},{\vec {a}}\times {\vec {b}})}$ szog = ${\displaystyle \pi -\alpha }$

polar gombharomszog vektorai:

${\displaystyle {\vec {c}}^{*}=({\vec {a}}\times {\vec {b}})^{\circ }}$

${\displaystyle {\vec {b}}^{*}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})^{\circ }}$

${\displaystyle {\vec {a}}^{*}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})^{\circ }}$

polar gombharomszog oldalainak hossza:

${\displaystyle {\vec {a}}^{*}=({\vec {c}}^{*},{\vec {b}}^{*})}$ szog = ${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {c}}\times {\vec {a}})}$szog = ${\displaystyle \pi -\alpha }$

${\displaystyle {\vec {b}}^{*}=({\vec {a}}^{*},{\vec {c}}^{*})}$ szog = ${\displaystyle ({\vec {b}}\times {\vec {c}},{\vec {a}}\times {\vec {b}})}$szog = ${\displaystyle \pi -\beta }$

${\displaystyle {\vec {c}}^{*}=({\vec {b}}^{*},{\vec {a}}^{*})}$ szog = ${\displaystyle ({\vec {c}}\times {\vec {a}},{\vec {b}}\times {\vec {c}})}$szog = ${\displaystyle \pi -\gamma }$

polar gombharomszog polar gombharomszoge:

megegyezik az eredeti polar gombharomszoggel

${\displaystyle {\vec {c}}^{**}=({\vec {a}}^{*}\times {\vec {b}}^{*})^{\circ }}$

${\displaystyle {\vec {b}}^{**}=({\vec {c}}^{*}\times {\vec {a}}^{*})^{\circ }}$

${\displaystyle {\vec {a}}^{**}=({\vec {b}}^{*}\times {\vec {c}}^{*})^{\circ }}$

${\displaystyle {\vec {b}}^{**}\uparrow \uparrow {\vec {c}}^{*}\times {\vec {a}}^{*}\uparrow \uparrow ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=(({\vec {a}}\times {\vec {b}})\ {\vec {c}})\ {\vec {b}}-(({\vec {a}}\times {\vec {b}})\ {\vec {b}})\ {\vec {c}}=({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}})\ {\vec {b}}}$