Matematika
A matematika alapjai
Halmazelmelet  · Naiv halmazelmelet Axiomatikus halmazelmelet  · Matematikai logika
Algebra
Elemi algebra  · Linearis algebra  · Polinomok Absztrakt algebra  · Csoportelmelet  · Gy?r?elmelet  · Testelmelet Matrixok  · Univerzalis algebra
Analizis
Valos analizis  · Komplex analizis  · Vektoranalizis Differencialegyenletek  · Funkcionalanalizis Mertekelmelet
Geometria
Euklideszi geometria  · Nemeuklideszi geometria Affin geometria  · Projektiv geometria Differencialgeometria  · Algebrai geometria Topologia
Szamelmelet
Algebrai szamelmelet  · Analitikus szamelmelet
Diszkret matematika
Kombinatorika  · Grafelmelet  · Jatekelmelet Algoritmusok  · Formalis nyelvek Informacioelmelet
Alkalmazott matematika
Numerikus analizis  · Valoszin?segszamitas Statisztika  · Kaoszelmelet  · Matematikai fizika Matematikai biologia  · Gazdasagi matematika Kriptografia
Altalanos
Matematikusok  · Matematikatortenet Matematikafilozofia  · Portal
Sablon:Matematika m v sz

A differencialgeometria a matematika azon aga, amely a differencialszamitas , az integralszamitas es a linearis algebra modszereinek segitsegevel tanulmanyozza a geometria problemait. A sik- es tergorbek elmelete , es a feluletek a haromdimenzios euklideszi terben alkottak a 18. es 19. szazad soran az alapot a differencialgeometria fejl?desere.

A kes? 19. szazadtol a differencialgeometria egy, a differencialhato sokasagokon talalhato geometriai strukturakkal inkabb altalanossagban foglalkozo terulette n?tte ki magat. A differencialgeometria szoros kapcsolatban all a differencialtopologiaval es a differencialegyenletek elmeletenek geometriai aspektusaival. A feluletek differencialgeometriaja ezen teruletre jellemz? sok kulcsfontossagu gondolatot es technikat foglal magaban.

Fejl?desenek tortenete [ szerkesztes ]

A differencialgeometria a gorbek es felszinek matematikai elemzesenek eredmenyekent es azzal kapcsolatban adodott es fejl?dott. ^[1] A gorbek es feluletek matematikai elemzese a szamtanban felbukkant egyes bosszanto es megvalaszolatlan kerdesek megvalaszolasara fejl?dott ki, mint a komplex alakzatok es gorbek, sorozatok es analitikai fuggvenyek kozti osszefuggesek okai, Ezek a megvalaszolatlan kerdesek nagyobb, rejtett osszefuggeseket jeleztek.

Amikor a gorbek, a gorbek altal bezart feluletek es a gorbeken lev? pontok kvantitativnak, es altalaban matematikai formakkal kapcsolatosnak talaltattak, a gorbek es feluletek termeszetenek hivatalos tanulmanyozasa 1795-ben Monge ertekezesevel, es kulonosen Gauss Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores -ban megjelent "Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas" cim? cikkevel ^[2] 1827-ben sajat jogu tudomanyterulette valt.

Agai [ szerkesztes ]

Riemann-geometria [ szerkesztes ]

B?vebben: Riemann-geometria

A Riemann-geometria a Riemann-sokasagokat tanulmanyozza, a Riemann-metrikaval rendelkez? sima sokasagokat . Ez egy elkepzeles a tavolsag kifejezesere egy, a tangens terben minden ponton meghatarozott sima pozitiv definit szimmetrikus bilinearis alak segitsegevel. A Riemann-geometria altalanositja az Euklideszi geometriat olyan terekre, amelyek nem szuksegszer?en laposak, bar minden pontban infinitezimalisan, azaz a kozelites els? rangjaban hasonlitanak az Euklideszi terekre . A hosszusagon alapulo kulonboz? elkepzelesek, mint a gorbek ivhossza , a sik regiok terulete es a teridomok terfogata mind rendelkeznek hasonlatosakkal a Riemann-geometriaban. Egy tobbvaltozos szamitasbol szarmazo fuggveny iranymenti derivaltjanak elkepzelese a Riemann-geometriaban egy tenzor kovarians derivaltjanak az elkepzeleseve b?vul. Az analizis sok elkepzelese es technikaja, valamint a differencialegyenletek altalanositasra kerult a Riemann-sokasagok keretein belul.

Egy Riemann-sokasagok kozotti tavolsag-meg?rz? diffeomorfizmust izometrianak hivunk. Ez az elkepzeles meghatarozhato helyileg is, azaz pontok kicsi szomszedossagara. Barmely ket szabalyos gorbe lokalisan izometrikus. Azonban Carl Friedrich Gauss Theorema egregium -a megmutatta, hogy feluletek eseten egy lokalis izometria lete a metrikaikra er?s kompatibilitasi felteteleket kenyszerit ra: a Gauss-gorbuleteknek a megfelel? pontokon ugyanazoknak kell lenniuk. Magasabb dimenziokban a Riemann-gorbulet tenzor egy fontos pontonkenti, Riemann-sokasaghoz tarsult invarians, amely azt meri, milyen kozel van ahhoz, hogy lapos legyen. A Riemann-sokasagok egy fontos osztalya a Riemann szimmetrikus terek , amelyek gorbuletet nem feltetlenul allando. Ezek a legkozelebbi hasonlatossagok a "hagyomanyos" sikhoz es terhez az Euklideszi es nemeuklideszi geometriaban .

Pszeudo-Riemann-geometria [ szerkesztes ]

A pszeudo-Riemann-geometria altalanositja a Riemann-geometriat arra az esetre, amelyben a metrika tenzornak nem kell pozitiv-definitnek lennie. Az egyik kulonos esete ennek egy Lorentz-sokasag , amely Einstein gravitaciorol szolo altalanos relativitaselmeletenek az alapja.

Finsler-geometria [ szerkesztes ]

A Finsler-geometria vizsgalatanak f? targya a Finsler-sokasag . Ez egy Finsler-metrikaval , azaz egy minden egyes tangens teren meghatarozott Banach-normaval rendelkez? differencialsokasag. A Riemann-sokasagok a sokkal altalanosabb Finsler-sokasagok kulonos esetei. A Finsler-struktura egy M sokasagon egy F fuggveny : T M → [0,∞) ugy, hogy:

1. F ( x , my ) = |m|F ( x , y ) minden x , y -ra a T M -ben,
2. F vegtelensegig differencialhato T M -ben ? {0},
3. Az F ² vertikalis Hessianja pozitiv definit.

Szimplektikus geometria [ szerkesztes ]

B?vebben: Szimplektikus geometria

A szimplektikus geometria a szimplektikus sokasagok vizsgalata. Egy majdnem szimplektikus sokasag egy minden egyes tangens teren siman valtozo nem degeneralt ferden szimmetrikus bilinearis alakkal , azaz egy szimplektikus alaknak hivott ω nem degeneralt 2-es alakkal felszerelt differencialhato sokasag. A szimplektikus sokasag egy majdnem szimplektikus sokasag, amelyre a ω szimplektikus alak zart: d ω = 0.

A ket szimplektikus sokasag kozti diffeomorfizmust , amely meg?rzi a szimplektikus format, szimplektomorfizmusnak hivjuk. A nem degeneralt ferden szimmetrikus bilinearis alak csak a paros dimenzios vektorterekben letezhet, igy a szimplektikus sokasagoknak is szuksegszer?en paros dimenziojuk van. A 2-es dimenzioban a szimplektikus sokasag csak egy terulet alakkal felruhazott felulet , es a szimplektomorfizmus egy terulet-meg?rz? diffeomorfizmus. Egy mechanikai rendszer fazistere egy szimplektikus sokasag, es mar hallgatolagosan megjelentek Joseph Louis Lagrange az analitikus mechanikarol szolo m?veben, es kes?bb Carl Gustav Jacobi es William Rowan Hamilton klasszikus mechanikai megfogalmazasaiban .

Ellentetben a Riemann-geometriaval, ahol a gorbulet szolgaltatja a Riemann-sokasagok egy helyi invariansat, a Darboux-tetel azt allitja, hogy az osszes szimplektikus sokasag lokalisan izomorf. Egy szimplektikus sokasag egyeduli invariansai termeszetukben globalisak, es a szimplektikus geometriaban a topologiai szempontok jatszanak kituntetett szerepet. A szimplektikus topologiaban az els? eredmeny valoszin?leg a Poincare-Birkhoff-tetel , amelyet Henri Poincare sejtett meg, es kes?bb G.D. Birkhoff bizonyitotta 1912-ben. Azt allitja, hogy ha egy annulus egy terulet-meg?rz? terkepe mindegyik hatarolo osszetev?t az ellenkez? iranyba csavarja, akkor a terkepnek van legalabb ket rogzitett pontja. ^[3]

Kontakt geometria [ szerkesztes ]

B?vebben: Kontakt geometria

A kontakt geometria a paratlan dimenziok bizonyos sokasagaival foglalkozik. Hasonlatos a szimplektikus geometriahoz, es mint ez utobbi, a klasszikus matematika kerdeseib?l ered. Egy kontakt struktura egy (2n + 1) ? dimenzios M sokasagon egy H sima hipersik mez?vel van megadva a tangens nyalabban , ami a lehet? legkevesbe van tarsitva egy differencialhato fuggveny szinthalmazaval az M -en (a szakmai kifejezes a "teljesen nem integralhato tangens hipersik eloszlas"). Minden egyes p pont kornyezeteben egy hipersik eloszlast egy sehol el nem t?n? ${\displaystyle \alpha }$ 1-alak hataroz meg, ami egy sehol el nem t?n? fuggvennyel valo szorzasig egyedi:

${\displaystyle H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.}$

Egy helyi 1-alak M -en egy kontakt alak , ha a H -hoz tartozo kuls? derivaltjanak megkotese egy nem degeneralt kettes-alak, es igy a H _p -n minden egyes pontban egy szimplektikus strukturat keletkeztet. Ha a H eloszlas egy globalis egyes alaku ${\displaystyle \alpha }$-val meghatarozhato, akkor ez az alak akkor es csak akkor kontakt, ha a csucsdimenzios alak

${\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}}$

egy terfogatalak az M -en, azaz sehol el nem t?nik. A Darboux-tetel egy kontakt analogiaja szerint: minden kontakt struktura egy paratlan dimenzios sokasagon helyileg izomorf, es egy bizonyos helyi normal alakba hozhato a koordinata-rendszer megfelel? valasztasaval.

Komplex es Kahler-geometria [ szerkesztes ]

A komplex differencialgeometria a komplex sokasagok vizsgalata. A majdnem komplex sokasag egy (1, 1) tipusu tenzorral felruhazott valodi ${\displaystyle M}$ sokasag, azaz egy ( majdnem komplex strukturanak hivott) vektornyalab endomorfizmus

${\displaystyle J:TM\rightarrow TM}$, ugy, hogy ${\displaystyle J^{2}=-1.\,}$

Ebb?l a meghatarozasbol kovetkezik, hogy egy majdnem komplex sokasag paros dimenzioju.

Egy majdnem komplex sokasagot akkor hivunk komplex -nek, ha ${\displaystyle N_{J}=0}$, ahol ${\displaystyle N_{J}}$ egy ${\displaystyle J}$-hez kapcsolodo (2, 1) tipusu tenzor, amit Nijenhuis-tenzornak hivnak (vagy neha torzio -nak). Egy majdnem komplex sokasag akkor es csak akkor komplex, ha megenged egy holomorf koordinata atlaszt . A majdnem Hermit-fele struktura egy majdnem komplex J strukturaval van megadva, a g Riemann-fele metrikaval egyutt, amely kielegiti a

${\displaystyle g(JX,JY)=g(X,Y)\,}$

kompatibilitasi feltetelt.

Egy majdnem Hermit-fele struktura termeszetszer?leg egy differencial kettes-alakot hataroz meg

${\displaystyle \omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y)\,}$.

A kovetkez? ket feltetel egyenertek?:

1. ${\displaystyle N_{J}=0{\mbox{ ; }}d\omega =0\,}$
2. ${\displaystyle \nabla J=0\,}$

ahol ${\displaystyle \nabla }$ a ${\displaystyle g}$ Levi-Civita konnexioja . Ebben az esetben a ${\displaystyle (J,g)}$-t egy Kahler-strukturanak hivjuk, es a Kahler-sokasag es Kahler-strukturaval felruhazott sokasag. Kulonosen a Kahler-sokasag egyszerre komplex es szimplektikus sokasag . A Kahler-sokasagok nagy osztalya (a Hodge-sokasagok osztalya) az osszes sima komplex vetitesi sokfeleseggel van megadva.

CR-geometria [ szerkesztes ]

A CR-geometria a komplex sokasagokban lev? tartomanyhatarok intrinsic geometriajanak a tanulmanyozasa.

Differencialtopologia [ szerkesztes ]

A differencialtopologia a metrika vagy szimplektikus alak nelkuli (globalis) geometriai invariansok tanulmanyozasa.

A differencialtopologia olyan termeszetes m?veletekkel kezd?dik, mint a termeszetes vektornyalabok Lie-derivaltja es az alakok de Rahm-differencialja . A Lie-algebroidok mellett a Courant-algebroidok is kezdenek fontos szerepet jatszani.

Nyalabok es konnexiok [ szerkesztes ]

A vektornyalabok , a principalis nyalabok es a konnexiok apparatusa rendkivul fontos szerepet jatszik a modern differencialgeometriaban. Egy sima sokasag mindig rendelkezik egy termeszetes vektornyalabbal, a tangensnyalabbal . Pongyolan fogalmazva, ez a struktura onmagaban csak a sokasag analizisenek a kifejtesere elegend?, mig a mertanhoz ezen kivul meg szukseg van valami modra a tangensterek viszonyitasahoz kulonboz? pontokban, azaz egy parhuzamos transzport fogalmara. Egy fontos peldat szolgaltatnak az affin konnexiok . Egy felulet eseten az R ³ -ben, a tangensterek kulonboz? pontokban a kornyez? Euklideszi-ter altal keletkeztetett termeszetes utankenti parhuzamossag felhasznalasaval azonosithatok, amely ter metrika- es parhuzamossagdefinicioi jol ismertek. A Riemmann-geometriaban a Levi-Civita-konnexio szolgal hasonlo celt. (A Levi-Civita-konnexio az utankenti parhuzamossagot egy, a sokasagon megadott tetsz?leges Riemann-metrikaval kapcsolatban hatarozza meg.) Altalanosabban, a differencialgeometria tudosai a tereket egy vektornyalab es egy olyan, tetsz?leges affin konnexio segitsegevel szemlelik, ami egy metrikaval kapcsolatban nincs meghatarozva. A fizikaban a sokasag lehet a terid? kontinuum , es a nyalabok es konnexiok a kulonboz? fizikai mez?kkel kapcsolatosak.

Intrinsic kontra extrinsic [ szerkesztes ]

A 18. szazad elejet?l egeszen a kozepeig a differencialgeometriat extrinsic nez?pontbol vizsgaltak: a gorbeket es felszineket egy magasabb dimenzioju Euklideszi-terben fekv?nek tekintettek (peldaul egy feluletet egy harom dimenzios kornyez? terben ). A legegyszer?bb eredmenyek a gorbek differencialgeometriajaban es a feluletek differencialgeometriajaban talalhatok. Riemann munkassagaval kezd?d?en kifejl?dott az intrinsic nez?pont, amiben nem beszelhetunk a mertani targybol valo "kifele" elmozdulasrol, mert ennek egy szabadon allo modon valo megadasa feltetelezett. Az alapvet? eredmeny itt Gauss theorema egregium -ja, azzal a hatassal, hogy a Gauss-gorbulet egy intrinsic invarians.

Az intrinsic nez?pont sokkal rugalmasabb. Peldaul hasznos a relativitaselmeletben, ahol a terid? termeszetszer?leg nem vehet? extrinsic-nek (mi lenne a "kulseje"?). Azonban ara van a technikai komplexitas teren: a gorbulet intrinsic meghatarozasai es konnexioi vizualisan kevesbe intuitivva valnak.

Ezen ket nez?pont kibekithet? egymassal, azaz az extrinsic geometria az intrinsic tovabbi strukturajanak tekinthet?. (Ld. a Nash beagyazasi tetelt .) A geometriai szamtan formalizmusaban egy sokasag mind extrinsic, mind intrinsic geometriaja jellemezhet? egy alak-operatornak nevezett egyszer? duplavektor-ertek? egyes alakkal. ^[4]

Alkalmazasai [ szerkesztes ]

Itt talalhato nehany pelda, hogyan alkalmazhato a differencialgeometria a tudomany es matematika mas teruletein.

• A fizikaban negy felhasznalast emlitunk meg:
  • A differencialgeometria az a nyelv, amelyen Einstein altalanos relativitaselmelete kifejezesre kerult. Az elmelet szerint a vilagegyetem egy al-Riemann metrikaval rendelkez? sima sokasag, amely metrika leirja a terid? gorbuletet . Ennek a gorbuletnek a megertese lenyeges a m?holdak Fold koruli palyara helyezesehez. A differencialgeometria szinten nelkulozhetetlen a gravitacios lencse es a fekete lyuk vizsgalatanal.
  • A differencialalakok hasznalatosak az elektromagnesseg tanulmanyozasaban.
  • A differencialgeometrianak megvannak az alkalmazasai mind a Lagrange-i mechanika , mind a Hamilton-i mechanika teruleten. Kulonosen a szimplektikus sokasag hasznalhato fel a Hamilton rendszer vizsgalatanal.
  • A Riemann-i geometriat es a kontakt geometriat hasznaltak a geometrotermodinamika formalizmusanak a megalkotasanal, ami a termodinamika klasszikus egyensulyaban talalt alkalmazast.
• A kemiaban es a biofizikaban a kulonboz? nyomas alatti sejtmembran-strukturak modellezesekor.
• A kozgazdasagtanban a differencialgeometrianak az okonometria teruleten vannak alkalmazasai. ^[5]
• A mertani modellezes (ideertve a szamitogepes grafikat ) es a szamitogeppel segitett geometriai tervezes a differencialgeometriabol szarmazo gondolatokbol merit.
• A mernoki tudomanyokban a differencialgeometria a digitalis jelfeldolgozas teruleten felmerul? problemak megoldasaban alkalmazhato. ^[6]
• Az iranyitastechnikaban a differencialgeometria a nemlinearis vezerl?k, kulonosen a geometriai vezerles elemzesere hasznalhato ^[7]
• A valoszin?segszamitasban , a statisztikaban es az informacioelmeletben a kulonboz? strukturak Riemann-sokasagkent interpretalhatok, ami az informacios geometria teruletet hozza letre, f?leg a Fisher informacios metrikan keresztul.
• A strukturalis geologiaban a differencialgeometriat a geologiai strukturak elemzesere es leirasara hasznaljak.
• A szamitogepes latasban a differencialgeometriat az alakzatok elemzeseben hasznaljak. ^[8]
• A kepfeldolgozasban a differencialgeometriat a nem lapos felszinek adatainak feldolgozasanal es elemzesenel hasznaljak. ^[9]
• Grigorij Perelman , a Ricci-aramlas technikait felhasznalo megoldasa a Poincare-sejtes eseten megmutatta a differencialgeometriai megkozelites erejet a topologia kerdeseiben, es kiemelte fontos szerepet analitikai modszereiben.
• A vezeteknelkuli kommunikacioban Grassmanni sokasagokat hasznalunk a tobbantennas rendszerekben a nyalabformalashoz . ^[10]

Irodalom [ szerkesztes ]

• Wolfgang Kuhnel. Differential Geometry: Curves ? Surfaces ? Manifolds , 2nd (2002). ISBN 0-8218-3988-8  
• Theodore Frankel. The geometry of physics: an introduction , 2nd (2004). ISBN 0-521-53927-7  
• Spivak, Michael. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) , 3rd (1999)  
• do Carmo, Manfredo . Differential Geometry of Curves and Surfaces (1976). ISBN 0-13-212589-7   A differencialgeometria tenzoranalizis nelkuli klasszikus geometriai megkozelitese.
• Kreyszig, Erwin. Differential Geometry (1991). ISBN 0-486-66721-9   A differencialgeometria egy jo, klasszikus geometriai megkozelitese a tenzoreszkoztarral egyutt.
• do Carmo, Manfredo Perdigao. Riemannian Geometry (1994)  
• McCleary, John. Geometry from a Differentiable Viewpoint (1994)  
• Bloch, Ethan D.. A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry (1996)  
• Gray, Alfred. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica , 2nd (1998)  
• Burke, William L.. Applied Differential Geometry (1985)  
• ter Haar Romeny, Bart M.. Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis (2003). ISBN 1-4020-1507-0  

Forditas [ szerkesztes ]

Ez a szocikk reszben vagy egeszben a Differential geometry cim? angol Wikipedia-szocikk ezen valtozatanak forditasan alapul. Az eredeti cikk szerkeszt?it annak laptortenete sorolja fel. Ez a jelzes csupan a megfogalmazas eredetet es a szerz?i jogokat jelzi, nem szolgal a cikkben szerepl? informaciok forrasmegjelolesekent.

Jegyzetek [ szerkesztes ]

Tovabbi informaciok [ szerkesztes ]

• Brian Conrad Differencialgeometria el?adasvazlatok ? Stanford Egyetem (angolul)
• Michael Murray online differencialgeometria kurzusa, 1996 Archivalva 2013. augusztus 1-i datummal a Wayback Machine -ben (angolul)
• Richard S. Palais (2003): Egy modern kurzus a gorbekr?l es feluleletekr?l PDF (angolul)
• Richard Palais 3DXM feluletek gy?jtemenye
• Csikos Balazs jegyzetei a differencialgeometriabol Archivalva 2009. junius 5-i datummal a Wayback Machine -ben
• N. J. Hicks, Jegyzetek a differencialgeometriabol, Van Nostrand. PDF
• MIT OpenCourseWare (2008 ?sze): Differencialgeometria (angolul)