Ez a szocikk nem tunteti fel a fuggetlen forrasokat , amelyeket felhasznaltak a keszitese soran. Emiatt nem tudjuk kozvetlenul ellen?rizni, hogy a szocikkben szerepl? allitasok helytalloak-e. Segits megbizhato forrasokat talalni az allitasokhoz! Lasd meg: A Wikipedia nem az els? kozles helye .

Matematika
A matematika alapjai
Halmazelmelet  · Naiv halmazelmelet Axiomatikus halmazelmelet  · Matematikai logika
Algebra
Elemi algebra  · Linearis algebra  · Polinomok Absztrakt algebra  · Csoportelmelet  · Gy?r?elmelet  · Testelmelet Matrixok  · Univerzalis algebra
Analizis
Valos analizis  · Komplex analizis  · Vektoranalizis Differencialegyenletek  · Funkcionalanalizis Mertekelmelet
Geometria
Euklideszi geometria  · Nemeuklideszi geometria Affin geometria  · Projektiv geometria Differencialgeometria  · Algebrai geometria Topologia
Szamelmelet
Algebrai szamelmelet  · Analitikus szamelmelet
Diszkret matematika
Kombinatorika  · Grafelmelet  · Jatekelmelet Algoritmusok  · Formalis nyelvek Informacioelmelet
Alkalmazott matematika
Numerikus analizis  · Valoszin?segszamitas Statisztika  · Kaoszelmelet  · Matematikai fizika Matematikai biologia  · Gazdasagi matematika Kriptografia
Altalanos
Matematikusok  · Matematikatortenet Matematikafilozofia  · Portal
Sablon:Matematika m v sz

Az axiomatikus halmazelmelet a matematika halmazelmelet nev? resztudomanyanak axiomatikus-deduktiv modon torten? kifejtese. Megkulonboztetjuk korai el?djet?l az ?intuitiv” vagy naiv halmazelmelett?l , mely Cantor nevehez f?z?dik es mely a keletkezesenek idejen meg nem ismert logikai problemak fellepese miatt ellentmondasosnak bizonyult.

Minden axiomatikus halmazelmelet feltetelez egy formalis nyelvet , melyek kifejezeseivel irjuk le az elmelet (ti. az adott halmazelmelet) kijelenteseit. Egy matematikai elmelet formalizalhatosaga (majd axiomatizalhatosaga) azert fontos, hogy magat az elmeletet es a benne megfogalmazott kijelenteseket szinten matematikai vizsgalatok ( matematikai logikai vizsgalatok) targyava tehessuk. Ezek a vizsgalatok dontik el peldaul azt, hogy az elmelet ellentmondasmentes-e, negacioteljes-e, illetve axiomai fuggetlenek-e egymastol. Ett?l fuggetlenul az elterjedtebb formalis-axiomatikus elmeletek lenyegeben ugyanazokat a kijelenteseket szandekoznak formalizalni, igy tulajdonkeppen beszelhetunk egy egyseges ?nyelvfuggetlen” axiomatikus halmazelmelet r?l. Azok a lenyeges kulonbsegek amiben az egyes formalizaciok elternek, az ?informalis” elmeletben is megjelennek, azaz, hogy mik az axiomak. Masreszt a mindennapi matematikai gyakorlat is ezt az ?informalis” halmazelmeletet hasznalja, leszamitva a kifejezetten formalis nyelvi vizsgalatokat vegz? matematikai logikat.

Alapfogalmak [ szerkesztes ]

Az ∈ szimbolum [ szerkesztes ]

Tulajdonkeppen tobb formalis-axiomatikus halmazelmelet letezik, melyek nagyreszt els?rend? nyelven kifejtett formalis logikai rendszerek. Kozos jellemz?juk, hogy mindegyik tartalmazza a

'… eleme …-nak'

(formalisan 'x ∈ y') ketvaltozos relaciot (vagy maskent ketbemenet? predikatumot ) es az erre vonatkozo jellegzetes halmazelmeleti axiomakat.

Halmaz [ szerkesztes ]

Egyes elmeletekben az ' ∈ ' relacion kivul szerepel a

'… halmaz '

predikatum mint alapfogalom, vagy mint valamilyen modon definialt tulajdonsag.

{ | } objektumok [ szerkesztes ]

Minden halmazelmeletben kozponti jelent?seg?ek az { x | P(x) } alaku kifejezesek (itt P(x) predikatumot jelol) melyeknek szandekolt jelentese: "azon x -ek osszessege, melyekre P(x) teljesul". Az els?rend? nyelvekre epul? halmazelmeletekben azonban csak latszolagosan szerepel az elmelet nyelveben. Valojaban ezeket az kifejezeseket a formalis nyelvben az ' ∈ ' jel mindket oldalarol ki lehet (es ki is szokas) kuszobolni, peldaul:

${\displaystyle a\in \{x\mid P(x)\}\Longleftrightarrow P(a)}$

Ontologiai osztalyozas [ szerkesztes ]

A halmazelmeletnek szamos variansat dolgoztak ki. Erdemes ?ket olyan szempontbol tekinteni, hogy formalis nyelvuk milyen entitasok letezeset feltetelezi targyalasi univerzumukban.

• Zermelo-Fraenkel halmazelmelet ( ZF ) ez a halmazelmelet leggyakrabban alkalmazott axiomatizalt elmelete. A ZFC elmeletet (azaz a kivalasztasi axiomaval b?vitett ZF elmeletet) sztenderd halmazelmelet nek is nevezik. Ontologiajaban kizarolag halmazok szerepelnek, azaz nem kell kulon bevezetni a '… halmaz' predikatumot, mert minden valtozoja automatikusan halmazvaltozonak min?sul. ZF lenyegeben csak halmazokrol tud allitast tenni. Egy tovabbi tagja ennek az ontologiai osztalynak a Kripke-Platek halmazelmelet ( KP ).
• Neumann?Bernays?Godel-halmazelmelet ( NBG ) ebben a halmazelmeletben definialnak egy ${\displaystyle \,Set(x)\,}$ predikatumot, a kovetkez?keppen:

${\displaystyle Set(x)\iff (\exists y)(x\in y)}$

ez jatssza a '… halmaz' predikatum szerepet. Ennek megfelel?en leteznek olyan elemek a targyalasi univerzumban, melyek nem halmazok. Ezek a valodi osztalyok . Ezek segitsegevel jol lathatova valnak azok a jelensegek, melyek a naiv halmazelmelet ellentmondasossagahoz vezettek. NBG ontologiaja tehat nemikepp gazdagabb mint ZF -e, mert tobbfele dologrol kepes allitast tenni. Mindazonaltal meg kell jegyeznunk, hogy NBG b?vebb volta csak latszolagos, valojaban a ket elmelet ekvikonzisztens.

• Bourbaki halmazelmelet ? A Bourbaki halmazelmelet erdekessege, hogy nem a hagyomanyos els?rend? nyelvre alapul, hanem egy ketdimenzios, grafikus elemeket is tartalmazo formalis rendszerre (mely azonban lenyegeben megfelel egy els?rend? nyelvnek). Tovabbi furcsasag, hogy a nyelveben a Hilbert-fele epszilon szimbolum segitsegevel megfogalmazhatok hatarozatlan deskripciok , melyek reven barmilyen tulajdonsagu dolognak lehet kepezni a nevet. A Bourbaki halmazelmelet ontologiaja tehat annyiban osszetettebb, amennyiben a deskripciok elmeletenek problemai megjelennek benne.
• Atomos Kripke-Platek halmazelmelet ( KPU ) illetve Ruzsa-fele halmazelmelet ? Ezekben a halmazelmeletekben az osztalyokon kivul olyan entitasok is megjelennek, melyek halmaznak lehetnek ugyan elemei, de maguk nem halmazok. Az ilyen objektumokat individuumnak, atomoknak, ?selemeknek vagy ?sobjektumoknak nevezzuk (idegen szoval atoms vagy urelements). Letuk a logikai szemantika szempontjabol fontos.

A tobbi halmazelmelet lenyegeben ezeknek a rendszereknek (f?leg a ZFC -nek) b?vitesevel, vagy valamely axiomajuk modositasaval jonnek letre.

A halmazelmelet axiomai [ szerkesztes ]

Felsoroljuk a sztenderd halmazelmelet (azaz a ZFC rendszer) axiomait, ugyanis a tobbi halmazelmelet axiomarendszeret ezzel erdemes osszevetni.

S0 A letezes axiomaja [ szerkesztes ]

Letezik halmaz.

Ez az axioma lenyegeben szuksegtelen, peldaul azert mert kes?bb a vegtelensegi axioma deklaralja egy halmaz letezeset. Gyakran ugy is fogalmaznak, hogy letezik az ures halmaz .

S1 Meghatarozottsagi axioma vagy az extenzionalitas axiomaja [ szerkesztes ]

Ha ket halmaznak ugyanazok az elemei, akkor a ket halmaz egyenl?.

S2 Paraxioma [ szerkesztes ]

Ha A es B halmaz, akkor letezik az a halmaz melynek A es B az elemei es nincs mas eleme (jelben: {A,B}).

S3 Unio axioma [ szerkesztes ]

Minden halmazrendszernek van uniohalmaza .

S4 Hatvanyhalmaz axioma [ szerkesztes ]

Minden halmaznak letezik hatvanyhalmaza .

S5 Reszhalmaz axioma vagy elkulonitesi axioma [ szerkesztes ]

Ha T valamilyen (a halmazelmelet terminusaival megfogalmazhato) tulajdonsag es A halmaz, akkor letezik az a halmaz, mely pontosan az A halmaz T tulajdonsagu elemeib?l all

(jelben: {x ∈ A | T(x) } ).

Lenyegeben ez egy axiomasema .

S6 Vegtelensegi axioma [ szerkesztes ]

Letezik monoton halmaz .

Monoton halmazon itt olyan M halmazrendszert kell erteni, melyre teljesul, hogy:

• ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {M}}}$ es
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}\,}$ minden ${\displaystyle H\,}$ elemevel egyutt a ${\displaystyle H\cup \{H\}}$ halmaz is eleme ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-nek.

itt ∪ az unio jele.

S7 (C) Kivalasztasi axioma [ szerkesztes ]

Nemures halmazok nemures rendszerenek Descartes-szorzata nem ures.

Azaz ha H olyan halmazrendszer , mely nem ures es egyik tagja sem ures, akkor letezik olyan ( halmazelmeleti ) fuggveny, mely H -n ertelmezett es H minden egyes X tagjahoz egy X -beli elemet rendel.

S8 A potlas axiomaja vagy a helyettesites axiomaja [ szerkesztes ]

Ha P(x,y) ketvaltozos predikatum mely a halmazelmelet terminusaival megfogalmazhato es egyertelm? az y valtozojaban, tovabba H halmaz, akkor { y | 'x ∈ H es P(x,y)' } halmaz.

Azaz, legyen P fuggvenyszer? abban az ertelemben, hogy minden egyes x -hez egyetlen y letezik, mellyel P(x,y) fennall, ekkor tekinthetjuk azt a (nem halmazelmeleti!) 'f(x)=y' fuggvenyt, mely minden x -hez azt az egyetlen y -t rendeli, melyre P(x,y) teljesul. A potlas axiomaja azt mondja, hogy ekkor minden H halmaz f altali f(H) kepe szinten halmaz.

S9 A regularitas axiomaja vagy a fundaltsag axiomaja [ szerkesztes ]

Egy nemures halmaznak mindig van olyan eleme, mellyel mar nincs kozos resze.

Megjegyezzuk, hogy ennek az axiomanak kovetkezmenye, hogy minden H halmaz eseten cafolhato az H ∈ H kijelentes, azaz minden H halmaz eseten H nem lehet eleme H -nak. Erdekesseg, hogy ha nem tennenk fel ezt az axiomat, akkor letezhetne vegtelen leszallo lanc az ∈ relaciora vonatkozoan, peldaul:

… ∈ H ∈ H ∈ H ∈ …

Tovabbi informaciok [ szerkesztes ]

• A Planetmath Set theory szocikke Archivalva 2006. junius 24-i datummal a Wayback Machine -ben