A geometriai rendszerek ? geometriak ? az alapozasban megfogalmazott premisszakban
[1]
kulonboznek. Az
euklideszi geometria
axiomarendszeret?l
elter? alapokra epitett rendszereket kozos neven
nemeuklideszi geometriaknak
nevezzuk. Eleinte csak az els?kent felfedezett
Bolyai
?
Lobacsevszkij
-fele geometriat illettek az elnevezessel, de kes?bb ujabb geometriakat is talaltak.
Az euklideszi parhuzamossag
[
szerkesztes
]
Eukleidesz
az
Elemek
I. konyveben definialja az egyenesek parhuzamossagat:
- 23. definicio:
Ket egyenes parhuzamos, ha azok egy sikban fekszenek es mindket iranyban meghosszabbitva nem metszik egymast
.
Az evezredes problemat okozo 5. posztulatum pedig kimondja, hogy
- Ha egy egyenes ugy metsz ket egyenest, hogy az egyik oldalan keletkez? bels? szogek osszege kisebb ket derekszognel, akkor e ket egyenes a metsz?nek ezen oldalan meghosszabbitva metszi egymast
.
A nemeuklideszi parhuzamossag
[
szerkesztes
]
Bolyai
es
Lobacsevszkij
a parhuzamost egy kuls? pont korul forgatott szel?k hatarhelyzetekent definialjak. Az
egyenesen kivul fekv?
pont korul forgatott egyenesek kozul az a
parhuzamos az
-mel, amelyik
elpattan t?le
. Mas fogalmazasban a forgatott egyenesek kozul a parhuzamos az
els? nem metsz?
.
Bolyai
ezt a parhuzamost
aszimptotikus parhuzamosnak
, vagy egyszer?bben
aszimptotanak
nevezte.
[2]
Mivel a forgatott egyenes egyre tavolabb metszi az
egyenest, kiserlettel nem lehet eldonteni, hogy mikor, az
szog milyen ertekenel kovetkezik be ez az elpattanas. A ket kutato ezt a szoget a
parhuzamossag szogenek
nevezte. Mindketten eljutottak annak felismereseig, hogy a parhuzamossagi szog a
pont es az
egyenes kozotti tavolsaggal osszefuggesben van:
. Kettejuk munkaja kozott csupan annyi a lenyeges kulonbseg, hogy
Lobacsevszkij
a definiciot kovet?en szetvalasztja a ket lehetseges esetet es az euklideszit?l elter?
hiperbolikus geometria
teteleit, mig
Bolyai
a ket esetet egyutt kezelve a ketfele geometria kozos reszet, az
abszolut geometria
teteleit dolgozta ki. Az az eredmeny is kozismert, hogy a haromszogek szogeinek osszege is aszerint egyenl? vagy kisebb ket derekszognel, hogy a sikja euklideszi vagy hiperbolikus.
A hiperbolikus elnevezest a parhuzamos egyenes es a
hiperbola
rokonitasa magyarazza. E geometriaban a parhuzamosok kozotti tavolsag csokken, aszimptotikusan kozelednek egymashoz. Ugyancsak fontos kulonbseget jelent, hogy a balra forgatott egyenes altal meghatarozott parhuzamos nem azonos a jobbra forgatottal. Ez ellentmond az idezett I.23. definicionak.
Egy harmadik parhuzamossag
[
szerkesztes
]
Az
5. posztulatum
elhagyasaval kapott maradek axiomakbol kovetkezik (bizonyithato), hogy a parhuzamossag szoge nem lehet
derekszognel
nagyobb, s ennek kovetkezmenye, hogy a haromszogek szogeinek osszege sem lehet ket derekszognel nagyobb. A paralellakkal foglalkozo
Gerolamo Saccheri
(1667?1733) es
Johann Heinrich Lambert
(1728?1777) eljutottak egy olyan felismeresig, hogy ezt a lehet?seget sem szabad elvetni. Meg kell vizsgalni olyan geometriai rendszerek lehet?seget is, amelyekben a szogosszeg nagyobb
-nel. Mivel ez a maradek axiomaknak ellentmond, tovabbi axioma(ka)t kell megvaltoztatni, elhagyni vagy masokkal helyettesiteni.
Georg Friedrich Bernhard Riemann
(1826?1866) ket ilyen valtoztatas lehet?seget mutatta meg, s ezzel ket ujabb nemeuklideszi rendszert konstrualt:
- 1.
Egyszeres elliptikus geometria
:
- 1/a. Az egyenes nem valasztja el egymastol a ket felsik pontjait.
- 1/b. Ket egyenesnek mindig van egy kozos pontja.
- 2.
Ketszeres elliptikus geometria
:
- 2/0. Az egyenes elvalasztja a ket felsik pontjait.
- 2/b. Ket egyenesnek pontosan ket kozos pontja van.
Az elliptikus geometria az euklideszi gombfeluleten ervenyes
szferikus geometriaval
rokon.
A hiperbolikus geometria a
pszeudoszfera
feluleti geometriajaval modellezhet?.
A harom geometria osszevetese
[
szerkesztes
]
Felix Klein
t?l (1849?1925) szarmazik a haromfele geometria es a kupszeletek nomenklaturajanak osszekapcsolasa, mely ez utobbiak idealis pontjainak szama es az egyeneshez kuls? pontbol huzhato parhuzamosok szama kozotti analogiara utal.
Ennek nyoman hasznaljuk ezeket a jelz?ket az
Eukleidesz
(parabolikus), a
Bolyai
-
Lobacsevszkij
(hiperbolikus) es a
Riemann
(elliptikus) nevehez kapcsolt geometriak megkulonboztetesere.
Az alabbiakban a harom rendszerben ervenyes nehany trigonometriai osszefuggesb?l lathato a kulonbseg, de a rokonsag is:
- 1. A sikharomszogek
szinusztetele
:
- 1.a. Euklideszi:
.
- 1.b. Hiperbolikus:
.
- 1.c. Elliptikus:
.
- 2. A sikharomszogek
koszinusztetele
:
- 2.a. Euklideszi:
.
- 2.b. Hiperbolikus:
.
- 2.c. Elliptikus:
.
(Az elliptikus tetelek a gombharomszogtan ismert osszefuggesei.)
Meg tobb geometria
[
szerkesztes
]
Arthur Cayley
(1821-1895) korabbi kutatasaira tamaszkodva
Felix Klein
hivta fel a figyelmet arra, hogy a harom
geometria
az
egyenesen
harom elter? metrikat hasznal: (A. abra)
- A parabolikus (euklideszi) metrika a szakaszok hosszat az egyseghez (
) viszonyitott aranyukkal meri:
.
- Az elliptikus metrika a kuls?
pontbol indulo egyenesek szogevel meri a szakaszt:
.
- A hiperbolikus metrika az
es
alappontokkal alkotott
kett?sviszonyt
hasznalja:
.
A pontsor analogiajara definialhato a sugarsorok metrikaja, a szogmeres (B. abra):
- Parabolikus metrika:
. (A csucsot elkerul? egyenesen lev? metszet)
- Elliptikus metrika:
. (A "kozonseges" szogmertek)
- Hiperbolikus metrika:
.
A sikban a lehetseges geometriak ugy adodnak, hogy valasztunk egy szakasz?metrikat es egy szog?metrikat, tehat 3´3 = 9 sikbeli geometriai rendszert konstrualhatunk. (A terben ezekhez meg a lapszogek metrikajat kell csatolnunk, s ezzel 3´3´3 = 27-fele geometriai rendszert valaszthatunk.) A kovetkez? tablazat mutatja a lehetseges sikgeometriakat:
Ezeknek a sikgeometriaknak a "letezeset" modellek segitsegevel lehet igazolni. Ezekben a modellekben az egyenesek es/vagy a pontok szerepet mas alakzatok veszik at. A veges modellek hasznalata vezetett a
veges geometriak
megalkotasahoz.
- ↑
<A definiciok, axiomak, posztulatumok kozos megnevezese>
- ↑
<A torteneti h?seghez tartozik, hogy Lobacsevszkij es Bolyai szemlelete kozott a lenyeget nem erint? elteres van: Lobacsevszkij a kuls? ponton atmen? egyenesek ket osztalyat ? a metsz?ket es a nem-metsz?ket ? elvalaszto ket egyenest nevezi parhuzamosnak, mig Bolyai a kuls? pontbol indulo felegyenesekr?l es ezek forgatasarol beszel.>
Kapcsolodo szocikkek
[
szerkesztes
]
- Hajos Gyorgy
: Bevezetes a geometriaba - Tankonyvkiado, Budapest, 1960.
- Bonola, Roberto: A nemeuklideszi geometria tortenete ? (inedita)
[1]
- Reinhardt,F.-Soeder,H.: SH atlasz-Matematika, Springer-Verlag, Budapest-Berlin, 1993.
- Euklidesz: Elemek (Mayer Gyula ford.), Gondolat, 1983.
http://mek.oszk.hu/00800/00857
- Bolyai Janos
: Appendix, a ter tudomanya (Akademiai Kiado, 1973)
- Lobacsevszkij, N.I.: Geometriai vizsgalatok …(
Akademiai Kiado
, 1951)
- Einstein, Albert: A specialis es altalanos relativitas elmelete (Gondolat, 1963)
- Ribnyikov, K.A.: A matematika tortenete (Tankonyvkiado, 1968)
- Kerekjarto Bela: A geometria alapjairol (Akademiai Kiado, 19??)
- Jaglom, I.M.: Galilei relativitasi elve es egy nemeuklideszi geometria (Gondolat,1985)
- Kerekjarto Bela: A geometria alapjairol (Akademiai Kiado, 19??)
- Karteszi Ferenc: Bevezetes a veges geometriakba (Akademiai Kiado, 1972)