Matemati?ka konstanta ${\displaystyle e}$, jo? nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta, je baza prirodnog logaritma i jedan je od najzna?ajnijih brojeva u suvremenoj matematici, pored neutralnih elemenata za zbrajanje i mno?enje, 0 i 1, imaginarne jedinice i i broja pi . Osim ?to je iracionalan (dakle, realan), ovaj broj je jo? i transcendentan . Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:

${\displaystyle e}$ ? 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...

Konstanta ${\displaystyle e}$ se mo?e definirati kao:

1. Limes niza brojeva

   ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

2. Suma beskona?nog niza:

   ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots }$

   gdje je n !, n faktorijel .

3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljede?u jednad?bu :

   ${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}\,dx={1}}$

   istovjetnost između ova tri slu?aja dokazanа .

4. Ovaj broj se sre?e i kao dio Eulerovog identitetа :

   ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \cdot \pi }=-1}$

Veza s polinomima [ uredi | uredi kod ]

• Ako je ${\displaystyle P(x)}$ polinom stupnja ${\displaystyle n}$, onda vrijedi ${\displaystyle \int P(x)e^{x}\,dx=[P'(x)-P''(x)+...\pm P^{(n)}(x)]e^{x}.}$ jer je ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P^{(n+1)}(x)=0}$.

Motivacija [ uredi | uredi kod ]

Kod linearnih funkcija oblika ${\displaystyle y=ax+b}$ prirast vrijednosti funkcije po prirastu ulazne vrijednosti je konstantan i iznosi ${\displaystyle a,}$ tj. ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=a.}$

Kod polinomnih funkcija, tj. funkcija oblika ${\displaystyle y=a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+1}$ rast se mijenja, tj. postoji funkcija koja opisuje promjenu vrijednosti (ili nagiba tangente u svakoj to?ki krivulje) prvobitne funkcije. Ta nova funkcija naziva se derivacija .

Kod transcedentih (nealgebarskih - prelaze granice 4 osnovne ra?unske operacije) funkcija nagib je osobito va?an, rast je eksponencijalan . Primjerice, kod funkcije ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$ lako se mo?e ra?unalnim programom ustvrditi da je graf njene derivacije vrlo sli?an, ali uvijek (za sve elemente iz njene domene) ne?to ni?i. Njena derivacija je pribli?no jednaka ${\displaystyle f'(x)=0.693\cdot 2^{x}.}$ Ipak, za (i jedino za) jedini?an prirast ulazne vrijednosti rast izlazne je to?no jednak ${\displaystyle 2^{x}.}$ To se lako doka?e: ${\displaystyle {\frac {2^{x+1}-2^{x}}{1}}=2^{x}\iff 2^{x+1}=2\cdot 2^{x}=2^{x+1}}$ (to je jedina funkcija za koju to vrijedi).

Sada se name?e pitanje: postoji li eksponencijalna funkcija ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$ za koju vrijedi da za beskona?no mali prirast ${\displaystyle dx}$ je prirast ${\displaystyle dy}$ to?no jednak ${\displaystyle a^{x}.}$ Odgovor na ovo pitanje nije te?ko na?i. Neka je ${\displaystyle dx=h\rightarrow 0.}$

Pitamo se za koji ${\displaystyle a}$ je ${\displaystyle {\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=a^{x}.}$ Ra?unamo: ${\displaystyle a^{x+h}-a^{x}=h\cdot a^{x}\iff a^{x+h}=a^{x}(h+1),}$ odakle je ${\displaystyle a^{h}=h+1,}$ pa dobivamo poznati limes ${\displaystyle a=(1+h)^{\frac {1}{h}}.}$ Dokazuje se da je taj limes (kada ${\displaystyle h\rightarrow 0}$) jednak ${\displaystyle 2.718281...}$ i nazivamo ga Eulerovim brojem i ozna?avamo s ${\displaystyle e.}$

Povezanost s kompleksnim brojevima [ uredi | uredi kod ]

Gornji limes mo?e se zapisati i kao ${\displaystyle e=(1+{\frac {1}{n}})^{n}),n\rightarrow \infty .}$ Poznato je da vrijedi ${\displaystyle e^{x}=(1+{\frac {x}{n}})^{n},n\rightarrow \infty .}$

Definicija imaginarnog eksponenta. Neka je ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ Definiramo ${\displaystyle e^{xi}=(1+{\frac {xi}{n}})^{n},\rightarrow \infty .}$ S druga?ijim prikazom ${\displaystyle e^{x}}$ dobiva se poznata Eulerova formula ${\displaystyle e^{xi}=\cos {x}+i\sin {x}.}$ Ovdje ?emo na "originalnoj" definiji broja ${\displaystyle e}$ pikazati za?to formula vrijedi.

Mno?enje kompleksnih brojeva ${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)}$ svodi se na mno?enje njihovih modula i zbrajanja priklonih kutova pa ako stavimo ${\displaystyle (u+vi)^{n},u,v\in \mathbb {R} }$ vidimo da dobivamo spiralu.

Objasnit ?emo Eulerov identitet, kada je ${\displaystyle x=\pi .}$ Vratimo se na limes ${\displaystyle e^{\pi \cdot i}=(1+{\frac {\pi }{n}}i)^{n}.}$ O?ito se radi o kompleksnom broju ${\displaystyle 1+{\frac {\pi }{n}}i}$ kojeg uzastopno mno?imo sa samim sobom, ba? kao u pro?lom primjeru. Kako ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,}$ vidimo da se na? broj vertikalnk pribli?ava apscisi. Ako primotrimo luk jedini?ne kru?nice sa sredi?tem u ishodi?tu omeđen apscisom i pravcem ${\displaystyle y={\frac {\pi }{n}}}$ vidimo da je uvijek kra?i od "visine" na?eg kompleksnog broja. No, ${\displaystyle n}$ se pove?ava pa se razlika smanjuje, tj. prikloni kut postaje ${\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}$ radijana te se magnituda pribli?ava broju ${\displaystyle 1.}$ Dakle, ${\displaystyle (1+{\frac {\pi }{n}})^{n},n\rightarrow \infty }$ svodi se na potenciranje magnitude (koja te?i u ${\displaystyle 1}$) i n-terostrukog zbrajanja kutova (koji pribli?no iznose ${\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}$ radijana) ?to nas po kru?noj putanji ( ${\displaystyle r\rightarrow 1}$) dovodi u to?ku ${\displaystyle (-1,0).}$ To dokazuje, prema mnogima najljep?u "formulu" u matematici, ${\displaystyle e^{\pi \cdot i}=-1.}$

Nedovr?eni ?lanak E (matemati?ka konstanta) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije .