Teoria da probabilidade
Axiomas de probabilidade
Espazo de probabilidade Espazo mostral Suceso primario suceso Variabel aleatoria Medida de probabilidade
Suceso complementar Sucesos mutuamente exclusivos Probabilidade conxunta Probabilidade marxinal Probabilidade condicional
Independencia Independencia condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes numeros Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de arbore
v c e

A probabilidade e a rama das matematicas que achega descricions numericas da facilidade de que ocorra un suceso , ou como de posible e que unha proposicion sexa verdadeira. A probabilidade dun suceso e un numero entre 0 e 1, onde, falando rapido, 0 indica a imposibilidade do suceso e 1 indica a certeza. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Cando maior e a probabilidade dun suceso, e maior a facilidade de que ocorra.

A teoria da probabilidade usase cumpridamente en areas como a estatistica , a fisica , a matematica , a ciencia e mais a filosofia para tirar conclusions sobre a probabilidade de sucesos potenciais e a mecanica subxacente de sistemas complexos.

Etimoloxia [ editar | editar a fonte ]

A palabra probabilidade deriva do latin probabilitas , que tamen pode significar "probidade", medida da autoridade dunha testemuna nun caso legal en Europa, as veces relacionada coa nobreza da testemuna. Nun sentido difire moito do significado moderno de probabilidade , que e unha medida do peso da evidencia empirica. ^{[ 4 ]}

Interpretacions [ editar | editar a fonte ]

Cando se trata de experimentos aleatorios e ben definidos nun contexto puramente teorico (como lanzar unha moeda perfecta), as probabilidades podense describir numericamente polo numero de resultados desexados dividido entre o numero total de todos os resultados. Por exemplo, tirar unha moeda duas veces devolvera "duas caras", "cara-cruz", "cruz-cara" e "cruz-cruz". A probabilidade de obter un resultado de "duas caras" e 1 de cada 4 resultados ou, numericamente, ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$, 0.25 ou 25 %. Non obstante, cando se trata de aplicacions practicas, hai duas grandes categorias de interpretacions da probabilidade en competencia, con partidarios que opinan de xeito diferente sobre a natureza fundamental da probabilidade:

• Os obxectivistas asignan numeros para describir algun estado de cousas obxectivo ou fisico. A version mais popular da probabilidade obxectiva e a probabilidade frecuentista, que afirma que a probabilidade dun suceso aleatorio denota a frecuencia relativa de aparicion do resultado dun experimento cando se repite indefinidamente. Esta interpretacion considera a probabilidade como a frecuencia relativa "a longo prazo" dos resultados. ^{[ 5 ]} Unha modificacion disto e a probabilidade de propension, que interpreta a probabilidade como a tendencia dalgun experimento a producir un determinado resultado, ainda que se faga so unha vez.
• Os subxectivistas asignan numeros por probabilidade subxectiva, e dicir, como un grao de crenza. ^{[ 6 ]} O grao de crenza interpretouse como "o prezo ao que se compraria ou venderia unha aposta que paga 1 unidade de beneficio se ${\displaystyle E}$, 0 se non ${\displaystyle E}$". ^{[ 7 ]} A version mais popular da probabilidade subxectiva e a probabilidade bayesiana , que inclue conecemento experto asi como datos experimentais para producir probabilidades. O conecemento experto esta representado por algunha distribucion de probabilidades a priori (subxectiva). Estes datos estan incorporados a unha funcion de probabilidade . O produto da funcion a priori e da funcion de verosimilitude , cando se normaliza, da lugar a unha probabilidade posterior que incorpora toda a informacion conecida ata a data. ^{[ 8 ]} Polo teorema de concordancia de Aumann , axentes bayesianos con crenzas a priori similares acabaran con crenzas posteriores similares. Non obstante, crenzas previas suficientemente diferentes poden levar a conclusions diferentes, independentemente da cantidade de informacion que compartan os axentes. ^{[ 9 ]}

Historia [ editar | editar a fonte ]

O estudo da probabilidade xorde do desexo do ser humano por conecer con certeza os sucesos que aconteceran no futuro. Por iso a traves da historia desenvolveu diferentes enfoques para ter un concepto da probabilidade e determinar os seus valores.

A idea de probabilidade esta intimamente ligada a idea do azar e axudanos a comprender as nosas probabilidades de ganar un xogo de azar ou analizar as enquisas . Pierre Simon Laplace afirmou: "E notable que unha ciencia que comezou con consideracions sobre os xogos de azar chegase a ser o obxecto mais importante do conecemento humano". Comprender e estudar o azar e indispensable porque a probabilidade e un soporte necesario para tomar decisions en calquera ambito. ^{[ 10 ]}

As primeiras formas conecidas de probabilidade e estatistica desenvolveronas os matematicos do proximo oriente estudando criptografia entre os seculos VIII e XIII. Al-Khalil (717?786) escribiu o Libro das mensaxes criptograficas , que conten os primeiros usos de permutacions e combinacions para listar todas as palabras arabes con e sen vogais. Al-Kindi (801?873) empregou por primeira vez a inferencia estatistica nos seus traballos sobre criptoanalise e analise de frecuencias . Unha importante contribucion de Ibn Adlan (1187?1268) foi o tamnao da mostra para empregar a analise de frecuencias. ^{[ 11 ]}

A parte dalgunhas consideracions elementais feitas por Girolamo Cardano no seculo XVI, a doutrina do calculo de probabilidades data da correspondencia entre Pierre de Fermat e Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) deulle o tratamento cientifico conecido mais temperan ao concepto. ^{[ 12 ]} e Ars Conjectandi (postumo, 1713) de Jakob Bernoulli e Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron o tema como unha pola das matematicas . ^{[ 13 ]} . ^{[ 14 ]}

A teoria dos erros pode considerarse que comezou con Opera Miscellanea (postumo, 1722) de Roger Cotes , mais unha memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicou por primeira vez a teoria para a discusion de erros de observacion. A reimpresion (1757) desta memoria expon os axiomas de que os erros positivos e negativos son igualmente probables, e que hai certos limites asignables dentro dos cales se supon que caen todos os erros; discutense os erros continuos e dase unha curva da probabilidade.

Pierre Simon Laplace (1774) fixo o primeiro intento para deducir unha regra para a combinacion de observacions a partir dos principios da teoria das probabilidades. Representou a lei da probabilidade de erro cunha curva ${\displaystyle y=\phi (x)}$, sendo ${\displaystyle x}$ calquera erro e ${\displaystyle y}$ a sua probabilidade, e expuxo tres propiedades desta curva:

1. e simetrica respecto ao eixe ${\displaystyle Y}$;
2. o eixe ${\displaystyle X}$ e unha asintota , sendo a probabilidade do erro ${\displaystyle \infty }$ igual a 0;
3. a superficie encerrada e 1, facendo certa a existencia dun erro.

Deduciu tamen unha formula para a media de tres observacion e obtivo en 1781 unha formula para a lei de facilidade de erro, termo debido a Lagrange (1774), mais esta formula levaba a ecuacions inmanexables. Daniel Bernoulli (1778) introduciu o principio do maximo produto das probabilidades dun sistema de erros concorrentes.

O metodo de minimos cadrados debese a Adrien-Marie Legendre (1805), ^{[ 15 ]} que o introduciu en Nouvelles methodes pour la determination des orbites des cometes ( Novos metodos para a determinacion das orbitas dos cometas ). Ignorando a contribucion de Legendre, un escritor irlandes-estadounidense, Robert Adrain , editor de "The Analyst" (1808), deduciu a lei de facilidade de erro,

${\displaystyle \phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}}}$

sendo ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle h}$ constantes que dependen da precision da observacion. Expuxo duas demostracions, sendo a segunda esencialmente a mesma de John Herschel (1850). Gauss expuxo a primeira demostracion que parece que se coneceu en Europa (a terceira despois da de Adrain) en 1809. Demostracions adicionais foron expostas por aplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) e Morgan Crofton (1870). Outras personaxes que contribuiron foron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) e Giovanni Schiaparelli (1875). A formula de Peters (1856) para ${\displaystyle r}$, o erro probable dunha unica observacion tamen e moi conecida.

No seculo XIX, os autores da teoria xeral incluian a Laplace , Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, e Karl Pearson . Augustus De Morgan e George Boole melloraron a exposicion da teoria.

En 1906, Andrei Markov introduciu ^{[ 16 ]} o concepto de cadeas de Markov , que tiveron un importante papel na teoria de procesos estocasticos e as suas aplicacions. En 1930, Kolmogorov desenvolveu a base axiomatica da probabilidade empregando a teoria da medida . ^{[ 17 ]} Na parte xeometrica foron influentes os colaboradores de The Educational Times (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson e Artemas Martin ). ^{[ 18 ]}

Teoria [ editar | editar a fonte ]

A probabilidade constitue un importante parametro na determinacion das diversas casualidades obtidas tras unha serie de eventos esperados dentro dun rango estatistico. Existen diversas formas como metodo abstracto, como a teoria Dempster-Shafer e a teoria da relatividade numerica .

A probabilidade dun suceso denotase coa letra p e expresase en termos dunha fraccion, polo que o valor de p cae entre 0 e 1. Por outra banda, a probabilidade de que un suceso "non ocorra" equivale a 1 menos o valor de p e denotase habitualmente coa letra q

${\displaystyle P(Q)=1-P(E)}$

Os metodos mais usuais para calcular as probabilidades son a regra da adicion, a regra do produto e a distribucion binomial .

Regra da adicion [ editar | editar a fonte ]

A regra da adicion establece que a probabilidade de que ocorra un suceso en particular e igual a suma das probabilidades individuais se os sucesos son mutuamente excluines, e dicir, non poden ocorrer ao mesmo tempo.

Por un lado, se ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$, e dicir que son mutuamente excluintes, enton: ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$

Por outra banda, se ${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing }$, e dicir que non son mutuamente excluintes, enton: ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$ sendo ${\displaystyle P(A)=}$ probabilidade de que ocorra o suceso ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle P(B)=}$ probabilidade de que ocorra o suceso ${\displaystyle B}$, e ${\displaystyle P(A\cap B)=}$ probabilidade de que ocorran de xeito simultaneo os sucesos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$.

Outra forma de velo e expresar a probabilidade de sucesos mutuamente non excluintes mediante o sumatorio das probabilidades dun suceso determinado en funcion doutros sucesos:

${\displaystyle P(x)=\sum _{y}{P(x,y)}=\sum _{y}{P(y)P(x|y)}}$

Regra do produto [ editar | editar a fonte ]

A regra do produto establece que a probabilidade de que ocorran dous ou mais sucesos estatisticamente independentes e igual ao produto das suas probabilidades individuais: ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}$ se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ son independentes. ^{[ 19 ]} ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B|A)}$ se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ non son independentes.

Regra de Laplace [ editar | editar a fonte ]

A regra de Laplace establece que no caso de que os experimentos dean lugar a sucesos equiprobables, e dicir, que todos tenan a mesma probabilidade, a probabilidade de que ocorra un suceso ${\displaystyle A}$ calculase: ${\displaystyle P(A)={\frac {\text{Nº de casos favorables}}{\text{ Nº de resultados posibles}}}}$

Probabilidade condicionada [ editar | editar a fonte ]

A probabilidade condicionada e a probabilidade dun suceso A , se ocorreu certo suceso B . Escribese ${\displaystyle P(A\mid B)}$, ^{[ 20 ]} e lese "probabilidade de A , dado B ". Definese como ^{[ 21 ]}

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.\,}$

Se ${\displaystyle P(B)=0}$ enton ${\displaystyle P(A\mid B)}$ esta formalmente indefinida pola expresion. Neste caso, ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ son independentes, xa que ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)=0}$.

Por exemplo, nunha bolsa con 2 bolas vermellas e 2 bolas azuis (4 bolas en total), a probabilidade de coller unha bola vermella e ${\displaystyle 1/2}$; non obstante, ao tomar unha segunda bola, a probabilidade de que sexa vermella ou azul depende da bola extraida previamente. Por exemplo, se se colleu unha bola vermella, a probabilidade de extraer unha segunda bola vermella seria ${\displaystyle 1/3}$, xa que so hai 1 bola vermella e 2 azuis. En cambio, se se extraeu unha bola azul, a probabilidade de coller unha vermella sera ${\displaystyle 2/3}$.

Distribucion binomial [ editar | editar a fonte ]

Nunha serie de experimentos repetidos de xeito independente un numero de veces n , e nos que so hai duas posibilidades de resultado (exito/fracaso), a distribucion da variable X que conta o numero de exitos segue unha distribucion binomial . A probabilidade de que ocorran m exitos nun experimento repetido n veces e: ${\displaystyle P(x=m)={n \choose m}p^{m}(1-p)^{n-m}}$ onde ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$ e o numero total de combinacions posibles de m elementos nun conxunto de n elementos.

Resumo de probabilidades [ editar | editar a fonte ]

Suceso	Probabilidade
A	${\displaystyle P(A)\in [0,1]\,}$
non A	${\displaystyle P(A^{\complement })=1-P(A)\,}$
A ou B	${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{se A e B son mutuamente excluintes}}\\\end{aligned}}}$
A e B	${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\\P(A\cap B)&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{se A e B son independentes}}\\\end{aligned}}}$
A dado B	${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}\,}$

Aplicacions [ editar | editar a fonte ]

A teoria da probabilidade aplicase na vida cotia na avaliacion e modelizacion de riscos . A industria e os mercados de seguros utilizan a ciencia actuarial para determinar o prezo e tomar decisions comerciais. Os gobernos aplican metodos probabilisticos na regulacion ambiental (onde se lles chama "analise de vias de dispersion"), na analise de dereitos e na regulacion financeira. Con frecuencia miden o benestar usando metodos que son estocasticos por natureza, e escollen que proxectos emprender baseandose en analises estatisticos do seu probable efecto na poboacion como un conxunto. Non e correcto dicir que a estatistica esta incluida no propio modelo, xa que as analises de risco adoitan ser para unha unica vez e polo tanto requiren mais modelos de probabilidade fundamentais. Unha lei de numeros pequenos tende a aplicarse a todas aquelas escollas e percepcions do efecto destas escollas, o que fai da medidas probabilisticas un tema politico.

Un exemplo do uso da teoria da probabilidade no comercio dos mercados de materias primas e o efecto da probabilidade percibida de calquera conflito xeneralizado en Oriente Medio sobre os prezos do petroleo , que tenen efectos repentinos na economia no seu conxunto. Unha avaliacion dun comerciante de produtos basicos de que unha e probable pode enviar os prezos deses produtos basicos cara a arriba ou cara a abaixo, e leva a outros comerciantes a esa opinion. En consecuencia, as probabilidades non son avaliadas de xeito independente nin necesariamente racional. A teoria das finanzas comportamentais xurdiu para describir o efecto deste pensamento grupal nos prezos, na politica e na paz e nos conflitos. ^{[ 22 ]}

Ademais da avaliacion financeira, a probabilidade podese empregar para analizar tendencias en bioloxia (por exemplo, propagacion da doenzas) asi como en ecoloxia (por exemplo, os cadros bioloxicos de Punnett). Do mesmo xeito en que ocorre coas finanzas, a avaliacion de riscos pode usarse como ferramenta estatistica para calcular a probabilidade de que ocorran eventos indesexables e pode axudar na implementacion de protocolos para evitar atoparse con ditas circunstancias. A probabilidade usase para desenar xogos de azar para que os casinos poidan obter un beneficio garantido, mais ofrecen pagos aos xogadores que son o suficientemente frecuentes como para fomentar o xogo continuado. ^{[ 23 ]}

Outra aplicacion significativa da teoria das probabilidades na vida cotia e a fiabilidade . Moitos produtos de consumo, como automobiles e electronica de consumo, utilizan a teoria da fiabilidade no deseno de produtos para reducir a probabilidade de fallo. A probabilidade de fallo pode influir nas decisions do fabricante sobre a garantia dun produto. ^{[ 24 ]}

O modelo de linguaxe cache e outros modelos estatisticos da linguaxe que se usan no procesamento de linguaxe natural tamen son exemplos de aplicacions da teoria das probabilidades.

Relacion coa aleatoriedade e probabilidade en mecanica cuantica [ editar | editar a fonte ]

Nun universo determinista , baseado en conceptos newtonianos , non haberia probabilidade se se conecesen todas as condicions ( demo de Laplace ), ainda que hai situacions nas que a sensibilidade as condicions iniciais supera a nosa capacidade para medilas, e dicir, conecelas. No caso dunha ruleta , se se conece a forza da man e o periodo desa forza, o numero en que se detera a pelota seria unha certeza (ainda que, como cuestion practica, isto probablemente so seria certo cunha ruleta que non estivese exactamente nivelada, como revelou o " casino newtoniano " de Thomas A. Bass). Isto tamen asume o conecemento da inercia e do rozamento da roda, o peso, a suavidade e a redondez da bola, as variacions na velocidade da man durante o xiro e asi sucesivamente. Unha descricion probabilistica pode ser mais util que a mecanica newtoniana para analizar o patron de resultados repetidos dunha ruleta. Os fisicos enfrontanse a mesma situacion na teoria cinetica dos gases , onde o sistema, ainda que e determinista en principio, e tan complexo (co numero de moleculas normalmente de orde de magnitude da constante de Avogadro 6,02×10 ²³ ) que so unha descricion estatistica das suas propiedades e factible.

A teoria da probabilidade e necesaria para describir os fenomenos cuanticos. ^{[ 25 ]} Un descubrimento revolucionario da fisica de principios do seculo XX foi o caracter aleatorio de todos os procesos fisicos que se producen a escalas subatomicas e que se rexen polas leis da mecanica cuantica . A funcion de onda obxectiva evoluciona de xeito determinista mais, segundo a interpretacion de Copenhaguen , trata de probabilidades de observacion, explicandose o resultado por un colapso da funcion de onda cando se fai unha observacion. Non obstante, a perda de determinismo co fin do instrumentalismo non atopou a aprobacion universal. Albert Einstein comentou famosamente nunha carta a Max Born : "Estou convencido de que Deus non xoga aos dados". ^{[ 26 ]} Como Einstein, Erwin Schrodinger , que descubriu a funcion de onda, cria que a mecanica cuantica e unha aproximacion estatistica dunha realidade determinista subxacente. ^{[ 27 ]} Nalgunhas interpretacions modernas da mecanica estatistica da medida, invocase a descoherencia cuantica para dar conta da aparicion de resultados experimentais subxectivamente probabilisticos.

Notas [ editar | editar a fonte ]

Vexase tamen [ editar | editar a fonte ]

Wikimedia Commons ten mais contidos multimedia na categoria:   Probabilidade

Bibliografia [ editar | editar a fonte ]

• Kallenberg, O. (2005) Probabilistic Symmetries and Invariance Principles . Springer-Verlag, Nova York. 510 pp.  ISBN 0-387-25115-4
• Kallenberg, O. (2002) Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. 650 pp.  ISBN 0-387-95313-2
• Olofsson, Peter (2005) Probability, Statistics, and Stochastic Processes , Wiley-Interscience. 504 pp ISBN 0-471-67969-0 .

Ligazons externas [ editar | editar a fonte ]

• Historia da probabilidade (en castelan )