Este artigo conten varias ligazons externas e/ou bibliografia ao fin da paxina, mais poucas ou ningunha referencia no corpo do texto. Por favor, mellora o artigo introducindo notas ao pe , citando as fontes . Podes ver exemplos de como se fai nestes artigos .

A mecanica estatistica e a parte da fisica que trata de determina-lo comportamento termodinamico de sistemas macroscopicos , a partir de consideracions microscopicas (e dicir, a escalas proximas ou inferiores o atomo) de tipo estatistico .

Historia [ editar | editar a fonte ]

Podese dicir que a mecanica estatistica naceu dos traballos de James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann . Dos estudos sobre as particulas constituintes dos gases ( atomos e moleculas ) e dos niveis de enerxia resultou unha gran cantidade de informacions sobre as magnitudes macroscopicas baseadas soamente nas magnitudes microscopicas medias.

Caracteristicas [ editar | editar a fonte ]

A mecanica estatistica estuda os comportamento de sistemas con elevado numero de entidades constituintes a partir do comportamento destas entidades. Os constituintes poden ser atomos, moleculas, ions , entre outros. E unha teoria reducionista , en oposicion a holistica termodinamica , que ten factura fenomenoloxica .

A mecanica estatistica inclue ferramentas matematicas para tratar con grandes poboacions no campo da mecanica, ou que concirne o movemento das particulas ou obxectos suxeitos a forzas. Subministra unha base para relacionar as propiedades microscopicas dos atomos e moleculas individuais as correspondentes macroscopicas dos materiais, as que poden ser observadas na vida diaria, explicando a termodinamica como un resultado natural da estatistica e a mecanica ( mecanica clasica e mecanica cuantica ). En particular, pode ser usada para calcular as propiedades termodinamicas dos materiais a partir dos datos espectroscopicos das moleculas individuais. En combinacion coa mecanica cuantica, resulta de grande utilidade na analise do comportamento de sistemas macroscopicos.

O estudo de tales sistemas en toda a sua complexidade e pouco practico ou mesmo inviabel. Para superar esa dificultade o que se fai e esbozar un conxunto de simplificacions e atribuir unha serie de vinculos matematicos, como a hipotese ergodica . Alen diso, a mecanica estatistica dividese en areas: mecanica estatistica cuantica , mecanica estatistica de equilibrio , mecanica estatistica do non-equilibrio etc.

Por exemplo, para predicir o comportamento dun gas , a mecanica clasica esixiria calcular a traxectoria exacta de cada unha das particulas que o componen. A mecanica estatistica ignora os comportamentos individuais das particulas, preocupandose so por promedios : desta forma, podemos calcula-la presion , temperatura , volume etc. dun gas a partir do noso conecemento xenerico das moleculas que o componen.

Entropia microscopica, o factor de Boltzmann e a funcion de particion [ editar | editar a fonte ]

O nucleo da mecanica estatistica e a funcion de particion (ver Derivacion da funcion de particion ):

Q = Σ exp ( -E _i / kT) = Σ e ^{-E _i / kT} ( exp e e ^... denota a funcion exponencial )

i i

onde k e a constante de Boltzmann , T e a temperatura e E _i reflicte cada posible estado enerxetico do sistema. A funcion de particion subministra unha medida do numero total de estados enerxeticos disponibles polo sistema a temperatura dada. De forma semellante,

e ^{-E _i / kT}

danos unha medida do numero de estados enerxeticos dunha enerxia particular que estan proximos a ser ocupados a unha temperatura dada.

Dividindo a segunda ecuacion pola primeira, obtemo-la probabilidade de atopa-lo sistema nun estado enerxetico particular -E _i :

p _i = e ^{-E _i /kT} / Q

Esta probabilidade pode ser usada para atopa-lo valor medio que corresponde o valor macroscopico dunha propiedade, J , o que depende do estado enerxetico do sistema segundo a relacion:

<J> = Σ p _i J _i = Σ J _i e ^{-E _i /kT} / Q

i i

onde <J> e o valor medio da propiedade J . Esta ecuacion pode ser aplicada a enerxia interna, U , e a presion, P :

U = Σ E _i e ^{-E _i /kT} / Q

i

P = Σ P _i e ^{-E _i /kT} / Q

i

De forma derivada, estas ecuacions poden ser combinadas con conecidas relacions termodinamicas entre U e P para chegar a expresions para P en funcion de tan so temperatura, volume e a funcion de particion. Relacions semellantes poden ser derivadas para outras propiedades termodinamicas, segundo amosa a continuacion.

Con frecuencia e util considera-la enerxia dunha molecula dada para ser distribuida entre un certo numero de modos. Por exemplo, a enerxia de traslacion indica que porcion de enerxia esta asociada co movemento do centro de masas da molecula. A enerxia de configuracion indica a porcion de enerxia asociada coas diversas forzas atractivas e repulsivas entre moleculas nun sistema. Os outros modos son considerados internos de cada molecula. Isto inclue os modos de rotacion , vibracion , electronico e nuclear . Se facemos asuncion de que cada modo e independente, a enerxia total pode ser expresada como suma de cada unha das componentes:

E = E _t + E _c + E _n + E _e + E _r + E _v

Onde os subindices t, c, n, e, r, e v corresponden respectivamente os modos de translacion, configuracion, nuclear, electronico, rotational e vibratoria. A relacion nesta ecuacion pode ser substituida na primeira ecuacion para dar::

Q = Σ e ^{(-E _ti - E _ci - E _ni - E _ei - E _ri - E _vi )/kT}

= Σ e ^{-E _ti /kT} ·Σ e ^{-E _ci /kT} ·Σ e ^{-E _ni /kT} ·Σ e ^{-E _ei /kT} ·Σ e ^{-E _ri /kT} ·Σ e ^{-E _vi /kT} .

= Q _t ·Q _c ·Q _n ·Q _e ·Q _r ·Q _v

Tal funcion de particion pode ser definida para cada modo. De ai podense obter expresions sinxelas que relacionan os diversos modos coas propiedades macroscopicas, tales como frecuencias caracteristicas de rotacion e vibracion.

Expresions para as diferentes funcions de particion moleculares amosanse na seguinte taboa.

Estas ecuacions poden ser combinadas coas da primeira taboa para determina-la contribucion dunha enerxia en particular a unha propiedade termodinamica determinada. Por exemplo, a presion rotacional pode ser determinada nesta forma. A presion total pode ser atopada sumando as contribuciones da presion para todos os modos individuais, ie:

P = P _t + P _c + P _n + P _e + P _r + P _v

No corazon da mecanica estatistica atopase a definicion de Boltzmann da entropia dun sistema fisico:

A entropia dun estado macroscopico e proporcional o logaritmo do numero dos estados microscopicos asociados.

A constante de proporcionalidade de Boltzmann denotase con k . Ver conxunto microcanonico .

Desta definicion podese deducir que, se un sistema esta en contacto cun bano de calor , a probabilidade de ter un microestado de enerxia E e proporcional a

${\displaystyle \exp \left({\frac {-E}{kT}}\right)}$

onde a temperatura T xorde do feito de que o sistema esta en equilibrio co bano de calor (ver conxunto canonico ). Esta cantidade chamase factor de Boltzmann . As probabilidades dos diversos microestados sumanse, e o factor normalizacion e a funcion de particion :

${\displaystyle Z=\sum _{i}\exp \left({\frac {-E_{i}}{kT}}\right)}$

onde ${\displaystyle E_{i}}$ e a enerxia do microestado i-esimo do sistema. A funcion de particion e unha medida do numero de estados accesibles o sistema a unha temperatura dada. Ver derivacion da funcion de particion para ver como xorde o factor de Boltzmann e a forma da funcion de particion dos principios fundamentais.

Para rematar, a probabilidade de atopar un sistema cun estado particular de enerxia E _i (a temperatura T ) e

${\displaystyle p_{i}={\frac {\exp(-E_{i}/kT)}{Z}}}$

Colectividades (Ensembles) [ editar | editar a fonte ]

• Colectividade microcanonica: E un conxunto de replicas de microsistemas identicamente preparados, no que cada unha ten os mesmos valores de masa(m), volume(V) e enerxia (E), mais cada unha pode evolucionar diferentemente a traves do espazo de configuracions.
• Colectividade canonica: E un conxunto de replicas dun sistema, identicamente preparadas, no que cada unha ten valores definidos de masa(m), volume(V) e temperatura(T), mais non necesariamente a mesma enerxia, no que difire dunha colectividade microcanonica.
• Colectividade gran-canonica.

Vexase tamen [ editar | editar a fonte ]

Bibliografia [ editar | editar a fonte ]

• Salinas, Silvio R. A (1999). Fisica estatistica . Editora da Universidade de San Paulo . ISBN 85-314-0386-3 .  
• Huang, Kerson (1990). Statistical mechanics . Wiley, John & Sons . ISBN 0-471-81518-7 .  
• Reichl, L. E (1998). A modern course in statistical physics . Wiley, John & Sons . ISBN 0-471-59520-9 .  

Outros artigos [ editar | editar a fonte ]

• Problema de moitos corpos
• Termodinamica
• Estatistica cuantica
• Principio da equiparticion da enerxia