Unha curva e unha lina continua, que cambia paulatinamente de direccion. Exemplos de curvas pechadas son a elipse ou a circunferencia , e de curvas abertas a parabola , a hiperbole ou a catenaria . A recta seria o caso limite dun circulo de raio de curvatura infinito. Todas as curvas tenen dimension igual a 1.

Definicions [ editar | editar a fonte ]

Curva elemental [ editar | editar a fonte ]

Un conxunto ${\displaystyle \gamma }$ de puntos do espazo chamase curva elemental se e a imaxe obtida no espazo por unha aplicacion continua dun segmento aberto de recta. ^{[ 1 ]}

Sendo ${\displaystyle \gamma }$ unha curva elemental e sendo ${\displaystyle a<t<b}$ o segmento aberto no que esta definida a aplicacion ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},f_{3})}$ que determina a curva, ao sistema de igualdades

${\displaystyle x=f_{1}(t),y=f_{2}(t),z=f_{3}(t)}$

chamanselle ecuacions parametricas da curva ${\displaystyle \gamma }$. ^{[ 1 ]}

Curva plana [ editar | editar a fonte ]

Unha curva plana e aquela que reside nun so plano e pode ser aberta ou pechada. A representacion grafica dunha funcion real dunha variable real e unha curva plana.

Curva diferenciable [ editar | editar a fonte ]

Unha curva e diferenzable cando a funcion ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [a,b]\subset \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}}$ e diferenciable . Se ademais a funcion anterior e inxectiva no intervalo ${\displaystyle (a,b)\,}$ enton a curva admite un vector tanxente unico en cada punto i e rectificable , o que significa que a sua lonxitude de arco esta ben definida i e posible calcular a sua lonxitude. A curva ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}}$ :

${\displaystyle \mathbf {x} (t)={\begin{cases}(t,t\sin \left({\frac {1}{t}}\right))&t>0\\(0,0)&t=0\end{cases}}}$

e continua pero non diferenciable, polo que a sua lonxitude entre o punto (0,0) e calquera outro punto da mesma non pode calcularse.

Curva pechada [ editar | editar a fonte ]

Unha curva diferenciable es pechada cando ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ cando ${\displaystyle \mathbf {x} (a)=\mathbf {x} (b)}$. Se ademais, a funcion ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e inxectiva no intervalo ${\displaystyle (a,b)\,}$ enton dise que a curva e unha curva pechada simple. Unha curva pechada simple e homeomorfa ao circulo ${\displaystyle S^{1}}$, e dicir, ten a mesma topoloxia dun anel. A curva ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$ dada por:

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=(a\cos(2\pi t),b\sin(2\pi t))}$

e unha curva diferenciable pechada, que resulta ser unha elipse de semieixos a e b .

Curva suave [ editar | editar a fonte ]

Chamase curva suave a curva que non posue puntos angulosos, coma por exemplo o circulo , a elipse ou a parabola .

Formalmente, dada unha curva C representada pola ecuacion parametrica :

${\displaystyle {\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}}$

nun intervalo I calquera, e suave se as suas derivadas son continuas no intervalo I e non son simultaneamente nulas, excepto posiblemente nos puntos terminais do intervalo.

Notas [ editar | editar a fonte ]

Vexase tamen [ editar | editar a fonte ]

Wikimedia Commons ten mais contidos multimedia na categoria:   Curvas

Este artigo sobre matematicas e, polo de agora, so un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuir a que a Galipedia mellore e medre .   Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamen podes contribuir.