Deux completions des nombres rationnels, les nombres diadiques (seulement les diadiques) et les nombres reels . Le theoreme de Hasse-Minkowski donne une relation entre les formes quadratiques dans un corps de nombre et les completions de ce dernier.

Le theoreme de Hasse-Minkowski est un resultat fondamental de la theorie des nombres qui stipule que deux formes quadratiques sur un corps de nombres sont equivalentes si et seulement si elles sont equivalentes localement a tous les endroits , c'est-a-dire equivalentes sur chaque completion du corps (qui peut etre reel , complexe ou p -adique ). Un resultat connexe est qu'un espace quadratique sur un corps de nombres est isotrope si et seulement s'il est isotrope localement partout, ou de maniere equivalente, qu'une forme quadratique sur un corps de nombres represente de maniere non triviale zero si et seulement si cela vaut pour toutes les completions du corps. Le theoreme a ete prouve dans le cas du corps des nombres rationnels par Hermann Minkowski et generalise aux corps de nombres par Helmut Hasse . La meme affirmation vaut encore plus generalement pour tous les corps globaux .

L'importance du theoreme de Hasse-Minkowski reside dans le nouveau paradigme qu'il a presente pour repondre aux questions arithmetiques: afin de determiner si une equation d'un certain type a une solution dans les nombres rationnels, il suffit de tester si elle a des solutions sur des corps complets de nombres reels et p -adiques, ou des considerations analytiques, telles que la methode de Newton et son analogue p -adique, le lemme de Hensel , s'appliquent. Ceci est encapsule dans l'idee d'un principe local-global , qui est l'une des techniques les plus fondamentales de la geometrie arithmetique .

Le theoreme de Hasse-Minkowski reduit le probleme de la classification des formes quadratiques sur un corps de nombres K a equivalence pres sur les corps locaux . Les invariants de base d'une forme quadratique non singuliere sont sa dimension , qui est un entier positif, et son discriminant modulo les carres dans K , qui est un element du groupe multiplicatif K ^* / K ^*2 . De plus, pour toute place v de K , il existe un invariant issu de la completion K _v . Selon le choix de v , cette completion peut etre les nombres reels R , les nombres complexes C , ou un corps de nombres p -adiques, chacun ayant differents types d'invariants.

• Cas de R . Selon la loi d'inertie de Sylvester , la signature (ou, a la place, l'indice d'inertie negatif) est un invariant complet.
• Cas de C . Toutes les formes quadratiques non singulieres de meme dimension sont equivalentes.
• Cas de Q _p et de ses extensions algebriques . Les formes de meme dimension sont classees a equivalence pres par leur invariant de Hasse.

Ces invariants doivent satisfaire certaines conditions de compatibilite : une relation de parite (le signe du discriminant doit correspondre a l'indice d'inertie negatif) et une formule de produit (une relation local-global). Inversement, pour tout ensemble d'invariants satisfaisant ces relations, il existe une forme quadratique sur K avec ces invariants.

References [ modifier | modifier le code ]

• Yoshiyuki Kitaoka , Arithmetic of quadratic forms , vol.  106, Cambridge University Press, coll.  ≪ Cambridge Tracts in Mathematics ≫, 1993 ( ISBN   0-521-40475-4 , zbMATH   0785.11021 )
• Jean-Pierre Serre , A Course in Arithmetic , vol.  7, Springer-Verlag , coll.  ≪  Graduate Texts in Mathematics  ≫, 1973 ( ISBN   0-387-90040-3 , zbMATH   0256.12001 , lire en ligne )

• Arithmetique et theorie des nombres