Le systeme binaire (du latin bin?r?us , ≪ double ≫) est le systeme de numeration utilisant la base 2 . On nomme couramment bit (de l' anglais binary digit , soit ≪ chiffre binaire ≫) les chiffres de la numeration binaire positionnelle. Un bit peut prendre deux valeurs, notees par convention 0 et 1 .

Le systeme binaire est utile pour representer le fonctionnement de l' electronique numerique utilisee dans les ordinateurs . Il est donc utilise par les langages de programmation de bas niveau .

Definition [ modifier | modifier le code ]

Le systeme binaire le plus courant est la base deux mathematique , permettant de representer des nombres a l'aide de la numeration de position avec seulement deux chiffres : le 0 et le 1.

Dans ce type de codage, chaque nombre est represente de facon unique par une suite ordonnee de chiffres . Et chaque position m represente une puissance ( m ? 1) de la base . Si l'on se limite dans un premier temps aux nombres entiers positifs, en base dix ces puissances sont : un (1), dix (represente par 10), cent (dix fois dix, represente par 100), mille (dix fois cent, represente par 1000), dix mille, etc. En base deux, ces puissances sont : un (1), deux (represente lui aussi par 10), quatre (deux fois deux, represente par 100), huit (deux fois quatre, represente par 1000), seize (deux fois huit, represente par 10000), etc.

On voit que la signification des representations 10, 100, 1000, etc. depend de la base utilisee : 10 est toujours egal a la base, c'est-a-dire dix en base dix, mais deux en base deux.

En base dix, on utilise dix chiffres, de zero a neuf ; en base n , on utilise n chiffres, de zero a n ? 1 ; donc en base deux on utilise les deux chiffres ≪ 0 ≫ et ≪ 1 ≫.

Un nombre qui s'exprime en base B par les quatre chiffres 1101 s'analyse :

${\displaystyle 1\times B^{3}+1\times B^{2}+0\times B^{1}+1\times B^{0}}$, qui donne :

1101 en base B = 10 :	${\displaystyle 1\times 10^{3}}$	${\displaystyle +1\times 10^{2}}$	${\displaystyle +0\times 10^{1}}$	${\displaystyle +1\times 10^{0}}$	${\displaystyle =1101}$
1101 en base B = 8 :	${\displaystyle 1\times 8^{3}}$	${\displaystyle +1\times 8^{2}}$	${\displaystyle +0\times 8^{1}}$	${\displaystyle +1\times 8^{0}}$	${\displaystyle =577}$
1101 en base B = 2 :	${\displaystyle 1\times 2^{3}}$	${\displaystyle +1\times 2^{2}}$	${\displaystyle +0\times 2^{1}}$	${\displaystyle +1\times 2^{0}}$	${\displaystyle =13}$

Enumeration des premiers nombres [ modifier | modifier le code ]

Les premiers nombres, et chiffres de la base de numeration 10, s'ecrivent :

decimal	binaire	commentaire
0	0	zero
1	1	un = base puissance zero (valable pour toutes les bases, donc deux et dix)
2	10	deux = deux puissance un (un zero derriere le 1)
3	11
4	100	quatre = deux puissance deux (deux zeros derriere le 1)
5	101
6	110
7	111
8	1000	huit = deux puissance trois (trois zeros derriere le 1)
9	1001

On donne a chaque bit une puissance de deux , comme cette suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Pour obtenir le nombre 7, on additionne les trois premiers bits ; pour obtenir 6, on additionne seulement le bit de poids 4 et le bit de poids 2.

Operations [ modifier | modifier le code ]

Les techniques des quatre operations de base ( addition , soustraction , multiplication et division ) restent exactement les memes qu'en notation decimale ; elles sont juste simplifiees de facon drastique parce qu'il n'y a que les deux chiffres 0 et 1. Pour la multiplication par exemple, quelle que soit la base, la multiplication par 10 (c’est-a-dire par la base elle-meme) ^{[ 1 ]} se fait en ajoutant un zero a droite.

Seules changent d'une part la forme de la suite de chiffres qui exprime le resultat (elle ne compte que des zeros et un), d'autre part la signification de cette suite (10 signifie ≪ deux ≫ et non ≪ dix ≫, 100 signifie ≪ quatre ≫ et non ≪ cent ≫, etc.).

Addition et soustraction [ modifier | modifier le code ]

On passe d'un nombre binaire au suivant en ajoutant 1, comme en decimal, sans oublier les retenues et en utilisant la table ordinaire (mais reduite a sa plus simple expression) :

 0 + 0 = 0    0 + 1 = 1                  1 + 0 = 1   1 + 1 = 0 avec 1 retenue
 0 - 0 = 0    0 - 1 = 1 avec 1 retenue   1 - 0 = 1   1 - 1 = 0

On constate que l'addition de deux bits A et B donne A XOR B avec une retenue valant A ET B.

Ainsi :

   11
+   1
 ____
  100

Detail :

1 + 1 = 10           => on pose 0 et on retient 1
1 + 1(retenue) = 10  => on pose 0 et on retient 1
0 + 1(retenue) = 1   => on pose 1 devant 00

Multiplication et division [ modifier | modifier le code ]

Multiplier par deux se fait en decalant chaque chiffre d'un cran a gauche et en inserant un zero a la fin.
Par exemple, deux fois onze :

 1011 onze
////  decalage et insertion de 0
10110 vingt-deux

La division entiere par deux se fait en decalant chaque chiffre d'un cran a droite, le chiffre de droite etant le reste supprime.
Par exemple onze divise par deux :

1011 onze
\\\  decalage et suppression du chiffre a droite
 101 cinq reste un

Theorie informatique [ modifier | modifier le code ]

L'arithmetique binaire (plus simplement le calcul binaire) est utilisee par les systemes electroniques les plus courants (calculatrices, ordinateurs, etc.) car les deux chiffres 0 et 1 s'y traduisent par la tension ou le passage d'un courant. Par exemple, le 0 peut etre represente par l'etat bas (tension ou courant nul) et 1 par l'etat haut ^{[ref. necessaire]} (tension qui existe, courant qui passe).

Representation des entiers negatifs [ modifier | modifier le code ]

Pour completer la representation des entiers, il faut pouvoir ecrire des entiers negatifs . Deux representations existent, le complement a un et le complement a deux .

Verifications requises [ modifier | modifier le code ]

Avant de coder avec tout complement, il est necessaire de verifier le bon nombre de bits est utilises pour encoder le nombre en tant que nombre binaire signe.

Le nombre de bits est suffisant si et seulement s'il verifie l'equation ou n correspond au nombre de bits et N au nombre a encoder.

${\displaystyle -2^{n-1}\leq N\leq 2^{n-1}-1}$

${\displaystyle 2^{n-1}-1}$ correspond au nombre de caracteres possibles (1 est soustrait a 2n puisque l'on compte a partir de 0) tout en reservant un bit pour le signe.

Complement a un [ modifier | modifier le code ]

Ce codage consiste a inverser la valeur de chaque bit.
Par exemple pour obtenir ?7 :

0111 sept
1000 moins sept

Un defaut de ce systeme est que zero a deux representations : 0000 et 1111 (≪ +0 ≫ et ≪ ?0 ≫). Il n'est pas utilise par les ordinateurs courants, mais l'etait par des ordinateurs anciens comme le Control Data 6600 . Les deux representations du zero compliquent les circuits de test.

Complement a deux [ modifier | modifier le code ]

Le complement a deux consiste a realiser un complement a un, puis d'ajouter 1.
Par exemple pour obtenir ?7 :

0111 sept
1000 complement a un
1001 complement a deux en ajoutant 1

Ce codage a l'avantage de ne pas necessiter de differenciation speciale des nombres positifs et negatifs, et evite en particulier le probleme de double representation du zero.

Voici une addition de ?7 et +9 realisee en complement a deux sur 4 bits :

-7        1001 
+9        1001
__        ____
 2    (1) 0010 (on ≪ ignore ≫ la retenue)

Avec n bits, ce systeme permet de representer les nombres entre ?2 ^{n ?1} et 2 ^{n ?1} ? 1.

Entre les bases 2, 8 et 16 [ modifier | modifier le code ]

Du binaire vers octal ou hexadecimal [ modifier | modifier le code ]

Les bases 8 (octale) et 16 (hexadecimale) sont des bases puissances de la base 2. Ces deux bases sont couramment employees en informatique pour des raisons pratiques : les nombres ecrits dans ces bases sont humainement plus ≪ manipulables ≫ car d'ecriture plus courte et celle-ci est facilement obtenue par regroupement de chiffres de l'ecriture du nombre en base 2.

• Octal : base 8 = 2 ³ . Il suffit de parcourir le nombre binaire de la droite vers la gauche en regroupant les chiffres binaires 3 par 3 : chaque paquet de 3 (le dernier devant etre parfois complete par des 0 a gauche) est l'ecriture binaire d'un chiffre en base 8 (0 ₈ = 000, 1 ₈ = 001, 2 ₈ = 010, 3 ₈ = 011, 4 ₈ = 100, 5 ₈ = 101, 6 ₈ = 110, 7 ₈ = 111).
  • 10101101110 ₂ va s'ecrire 10 101 101 110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en un chiffre octal, on obtient le nombre octal 2556 ₈ .
• Hexadecimal : base 16 = 2 ⁴ . Il suffit de parcourir le nombre binaire de la droite vers la gauche en regroupant les chiffres binaires 4 par 4 : chaque paquet de 4 bits est la representation binaire d'un chiffre en base 16. En base 16, il faut 16 symboles et conventionnellement, on utilise les 10 chiffres decimaux suivis des 6 premiers caracteres de l'alphabet selon la regle suivante: A ₁₆ = 10 ₁₀ = 1010 ₂ , B ₁₆ = 11 ₁₀ = 1011 ₂ , C ₁₆ = 12 ₁₀ = 1100 ₂ , D ₁₆ = 13 ₁₀ = 1101 ₂ , E ₁₆ = 14 ₁₀ = 1110 ₂ et F ₁₆ = 15 ₁₀ = 1111 ₂ .
  • 10101101110 ₂ va s'ecrire 101 0110 1110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en decimal on obtient : 5, 6, 14 c'est-a-dire 56E ₁₆ .

On pourrait facilement etendre ce principe a toutes les bases qui sont puissances de 2.

Vers le binaire [ modifier | modifier le code ]

Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire en utilisant un nombre de chiffres correspondant a la puissance de la base : 16 = 2 ⁴ , 8 = 2 ³ , donc 4 chiffres pour l'hexadecimal et 3 pour l'octal :

• 1A2F ₁₆ va s'ecrire 1 ⇒ 0001, A ⇒ 1010, 2 ⇒ 0010, F ⇒ 1111, soit 0001 1010 0010 1111 ₂ .
• 156 ₈ va s'ecrire 1 ⇒ 001, 5 ⇒ 101, 6 ⇒ 110, soit 001 101 110 ₂ .

Table des valeurs des groupements de chiffres binaires [ modifier | modifier le code ]

Binaire Decimal Octal Hexadecimal 0000 0 0 0 0001 1 1 1 0010 2 2 2 0011 3 3 3 0100 4 4 4 0101 5 5 5 0110 6 6 6 0111 7 7 7

Binaire Decimal Octal Hexadecimal 1000 8 10 8 1001 9 11 9 1010 10 12 A 1011 11 13 B 1100 12 14 C 1101 13 15 D 1110 14 16 E 1111 15 17 F

Code de Gray ou binaire reflechi [ modifier | modifier le code ]

Le code de Gray, egalement appele binaire reflechi, permet de ne faire changer qu'un seul bit a la fois quand un nombre est incremente ou decremente d'une unite. Le nom du code vient de l'ingenieur americain Frank Gray , qui deposa un brevet sur ce code en 1947 ^{[ 2 ]} .

Pour calculer directement le code de Gray d'un entier a partir de celui de son predecesseur on peut proceder ainsi :

• lorsqu'il y a un nombre pair de 1 on inverse le dernier bit ;
• lorsqu'il y a un nombre impair de 1 on inverse le bit directement a gauche du 1 le plus a droite.

Decimal code binaire (DCB, ou BCD pour binary coded decimal ) [ modifier | modifier le code ]

Afin de concilier la logique binaire de l'ordinateur avec la logique humaine, on peut convertir en binaire, plutot que les nombres eux-memes, chacun des chiffres qui les composent en notation decimale positionnelle. Chacun de ces chiffres est alors code sur 4 bits :

1994 =  0001    1001   1001   0100
      1×1000 + 9×100 + 9×10 + 4×1

Avec n bits (n multiple de 4), il est possible de representer les nombres entre 0 et 10 ^n/4 -1. Soit approximativement entre 0 et 1.778 ⁿ -1. Le DCB est un code redondant, en effet certaines combinaisons ne sont pas utilisees (comme 1111 par exemple).

Cette representation evite par construction tous les problemes genants de cumul d'arrondi qui interviendraient lors de la manipulation de grands nombres depassant la taille des circuits en arithmetique entiere et obligent a recourir au flottant. Il est cependant possible de manipuler des nombres a precision arbitraire en utilisant un codage plus efficace que le DCB.

Il existe des variantes du codage DCB :

• le code Aiken ou 0, 1, 2, 3, 4 sont codes comme en DCB et 5, 6, 7, 8, 9 sont codes de 1011 a 1111 ; ce code permet d'obtenir le complement a 9 en permutant les 1 et les 0 ;
• le codage binaire excedant 3, qui consiste a representer le chiffre a coder + 3.

Applications [ modifier | modifier le code ]

Theorie de l'information [ modifier | modifier le code ]

En theorie de l'information , l' entropie d'une source d'information est exprimee en bits . La theorie elle-meme est indifferente a la representation des grandeurs qu'elle utilise.

Logique [ modifier | modifier le code ]

La logique classique est une logique bivalente : une proposition est soit vraie, soit fausse. Il est donc possible de representer la verite d'une proposition par un chiffre binaire. On peut par exemple modeliser les operations de l'arithmetique binaire a l'aide de l' algebre de Boole .

L'algebre de Boole represente un cas tres particulier d'usage des probabilites ne faisant intervenir que les seules valeurs de verite 0 et 1. Voir Theoreme de Cox-Jaynes .

Informatique [ modifier | modifier le code ]

Le binaire est utilise en informatique car il permet de modeliser le fonctionnement des composants de commutation comme le TTL ou le CMOS . La presence d'un seuil de tension aux bornes des transistors, en negligeant la valeur exacte de cette tension, representera 0 ou 1. Par exemple le chiffre 0 sera utilise pour signifier une absence de tension a 0,5  V pres, et le chiffre 1 pour signifier sa presence a plus de 0,5  V . Cette marge de tolerance permet de pousser les cadences des microprocesseurs a des valeurs atteignant plusieurs gigahertz .

En informatique , la representation binaire permet de clairement manipuler des bits  : chaque chiffre binaire correspond a un bit. Cependant, la representation binaire necessitant l'usage de beaucoup de chiffres (meme pour des nombres assez petits), elle entraine d'importants problemes de lisibilite et donc de risques d'erreur de transcription pour les programmeurs. On prefere donc d'autres representations  : la notation hexadecimale, qui permet de manipuler l'information par paquets de 4 bits, est adaptee a la quasi-totalite des microprocesseurs actuels travaillant avec des mots de 8, 16, 32 ou 64 bits ; plus rare, la notation octale , populaire du temps des premiers mini-ordinateurs DEC a 12 ou 36 bits, qui permet de representer l'information par paquets de 3 bits.

• 63 ₍₁₀₎ = 111111 ₍₂₎ = 77 ₍₈₎ = 3F ₍₁₆₎
• 64 ₍₁₀₎ = 1000000 ₍₂₎ = 100 ₍₈₎ = 40 ₍₁₆₎
• 255 ₍₁₀₎ = 11111111 ₍₂₎ = 377 ₍₈₎ = FF ₍₁₆₎
• 256 ₍₁₀₎ = 100000000 ₍₂₎ = 400 ₍₈₎ = 100 ₍₁₆₎

Histoire [ modifier | modifier le code ]

• Les hexagrammes chinois, plus tard reconnus comme la premiere expression d'une numeration binaire, apparaissent dans le Yi Jing vers 750 av J.C. ( periode des Zhou de l'Ouest ^{[ 3 ]} ) mais leur signification mathematique, si elle a ete connue, fut oubliee ensuite ^{[ 4 ]} .
• Le mathematicien indien Pingala est credite d'une table representant 0 a 7 en numeration binaire, dans son Chanda?-??stra datant peut-etre du troisieme ou deuxieme siecle av J.C. ^{[ 5 ] , [ 6 ]} .
• Vers 1600 le mathematicien anglais Thomas Harriot effectue des operations en numeration binaire, ainsi qu'en temoigne ses manuscrits publies recemment seulement ^{[ 7 ]} .
• A la meme epoque Francis Bacon utilise un code secret bilitere (a deux lettres) pour proteger ses messages : il remplace les lettres du message par leur position en binaire, puis les 0 et les 1 par des A et des B. Exemple : lettre E → 5 → 00101 → codee AABAB ^{[ 8 ]} .
• John Napier , mathematicien ecossais inventeur des logarithmes, dans son traite Rhabdologie publie en 1617, decrit trois systemes pour faciliter les calculs, dont un, dit checkerboard , est binaire ^{[ 9 ]} .
• L'espagnol Caramuel dans son Mathesis biceps vetus et nova publie en 1670, parait le premier a avoir donne une etude des numerations non decimales, dont binaire, succinctement ^{[ 10 ]} .
• A Leibniz revient d'avoir etudie le systeme binaire pour lui-meme, montre comment s'y pratiquent les quatre operations (≪ si aisees qu’on n’a jamais besoin de rien essayer ni deviner, comme il faut faire dans la division ordinaire ^{[ 11 ]}  ≫), note que ce calcul ≪ est le plus fondamental pour la science, et donne de nouvelles decouvertes ^{[ 11 ]}  ≫, et meme envisage que ≪ ce type de calcul pourrait egalement etre realise avec une machine (sans roues), de la maniere suivante certainement tres facilement et sans effort. Avec une boite munie de trous, qui peuvent etre ouverts et fermes ^{[ 12 ]} . ≫
  En outre, ayant communique ≪ au R. P. Bouvet , Jesuite Francais celebre, qui demeure a Pekin, (sa) maniere de compter par 0 et 1, il n’en fallut pas davantage pour lui faire reconnaitre que c’est la clef des figures de Fohy ≫, en 1701 ^{[ 11 ]} . Ainsi fut dechiffree l’enigme des hexagrammes attribues a Fuxi , et Leibniz fait ensuite publier son expose du systeme binaire par l' Academie des sciences de Paris en 1703 ^{[ 11 ]} .
• En 1847 George Boole publie les premiers travaux de son algebre binaire, dite booleenne , n'acceptant que deux valeurs numeriques : 0 et 1.
• 1872 : publication d'une application du systeme binaire pour la resolution du probleme du baguenodier ( Luc-Agathon-Louis Gros , Theorie du baguenodier par un clerc de notaire lyonnais , Lyon, Aime Vingtrinier , 1872 ( lire en ligne ) )
• 1876 : L.-V. Mimault depose le brevet 3011 concernant :
  • les systemes telegraphiques multiples, imprimeurs et ecrivants bases sur des combinaisons mecaniques ou graphiques provenant de ≪ ( X + 1) puissance m  ≫ ;
  • les systemes telegraphiques multiples, imprimeurs et ecrivants bases sur des combinaisons de la progression 1 : 2 : 4 : 8 : 16 ^{[ 13 ]} .

Notes et references [ modifier | modifier le code ]

Voir aussi [ modifier | modifier le code ]

Articles connexes [ modifier | modifier le code ]

• Auguste De Morgan
• Systeme hexadecimal
• Systeme Bibi-binaire de Boby Lapointe
• Virgule flottante
• Debit binaire
• Prefixe binaire
• Byte

Liens externes [ modifier | modifier le code ]

• (en) Polynesian people used binary numbers 600 years ago : Nature News & Comment
• [video] Une introduction au binaire en utilisant ses deux mains sur YouTube
• [video] Un tour de magie utilisant le systeme binaire sur YouTube
• Convertisseur de nombre decimal en nombre binaire avec une liste etape par etape des calculs effectues

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