Un soliton est une onde solitaire qui se propage sans se deformer dans un milieu non lineaire et dispersif. On en trouve dans de nombreux phenomenes physiques de meme qu'ils sont la solution de nombreuses equations aux derivees partielles non lineaires.

Historique [ modifier | modifier le code ]

Les solitons hydrodynamiques [ modifier | modifier le code ]

Le phenomene associe a ete observe pour la premiere fois en 1834 par l'Ecossais John Scott Russell qui l'a observe initialement en se promenant le long d'un canal : il a suivi pendant plusieurs kilometres une vague remontant le courant qui ne semblait pas vouloir faiblir ^{[ 1 ]} . Des observations complementaires sont presentees en 1862 par Henry Bazin a l' Academie des Sciences a la suite d'experiences menees dans un bief du canal de Bourgogne a Dijon ^{[ 2 ]} . Il a ete modelise par Joseph Boussinesq ^{[ 3 ]} en 1872. Ainsi sur l'eau, il est apparente au mascaret . Il apparait par exemple dans la Seine ou sur la Dordogne , en Gironde , a certains endroits et a certains moments. D'autres solitons apparaissent comme des ondes internes   (en) , initiees par la topographie du fond marin , et qui se propagent dans la pycnocline oceanique.

Ce mode de propagation d'une vague sur de longues distances explique aussi la propagation des raz-de-maree (ou tsunami). Ceux-ci se deplacent presque sans effet notable en eaux profondes. Le transport par soliton explique que les tsunamis, insensibles pour les navires en mer, puissent naitre d'un seisme sur une cote de l'ocean Pacifique et avoir des effets sur la cote opposee.

Les solitons optiques [ modifier | modifier le code ]

L'utilisation de solitons a ete proposee pour ameliorer la performance des transmissions dans les reseaux optiques de telecommunications en 1973 par Akira Hasegawa du laboratoire Bell d'AT&T ^{[ 4 ]} . En 1988 , Linn Mollenauer et son equipe transmettent des solitons sur plus de 4 000 km en utilisant la diffusion Raman , du nom du prix Nobel de physique indien qui a decrit cet effet de diffusion inelastique. En 1991 , toujours aux Bell Labs, une equipe transmet des solitons sur plus de 14 000 km en utilisant des amplificateurs a erbium .

En 1998 , Thierry Georges et son equipe du centre de recherche et developpement de France Telecom combinent des solitons de longueurs d'onde differentes ( multiplexage en longueur d'onde ) pour realiser une transmission a un debit superieur a 1 terabit par seconde (10 ¹² bits par seconde). En 2001 , les solitons trouvent une application pratique avec le premier equipement de telecommunications transportant du trafic reel sur un reseau commercial.

Les solitons mecaniques [ modifier | modifier le code ]

L’une des illustrations experimentales des solitons les plus adoptees dans la litterature est probablement celle d’une chaine de pendules couples ^{[ 5 ] , [ 6 ]} . Ce montage mecanique permet une observation directe des solitons, une comprehension des principales proprietes de ces derniers et des caracteristiques qu’un systeme doit posseder pour permettre leur existence ^{[ 7 ]} .

Les solitons electriques [ modifier | modifier le code ]

La maniere la plus simple de realiser un soliton electrique consiste a construire un dipole retardateur capable de reproduire sans deformation une impulsion determinee a une distance donnee δ, avec un decalage de temps τ. En faisant preceder ce dipole par une serie de dipoles identiques adaptes au premier, on peut reconstituer une ligne discrete le long de laquelle l’impulsion se propage avec la vitesse c = δ/τ. En limite, avec des parametres δ et τ infinitesimaux, on accede a une ligne continue.

Un exemple est donne (Bulletin de l’Union des Physiciens, juillet-aout- septembre 2018 , N° 1006, p.959-968 / Propagation d’un soliton dans une ligne electrique en echelle) avec un signal en forme de secante hyperbolique carree.

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Pour introduire les solitons electriques, on peut proceder en trois etapes : d'abord on commence par une propagation electromagnetique lineaire et non dispersive, puis on passe a une propagation lineaire mais dispersive, et a la fin on traite le cas des solitons, c'est?a?dire la propagation non lineaire et dispersive.

Propagation lineaire et non dispersive [ modifier | modifier le code ]

Par exemple dans des cables coaxiaux (sous certaines conditions).

Propagation lineaire et dispersive [ modifier | modifier le code ]

Propagation non lineaire et dispersive [ modifier | modifier le code ]

Un des modeles couramment utilises pour l’etude des solitons electriques est celui d’une chaine LC electrique.

Dans la pratique, la propagation d'une onde solitaire dans un tel montage depend de nombreuses conditions et necessite un certain nombre d’approximations (References). L’une des approximations les plus importantes est celle des milieux continus. En effet, la structure discrete de la chaine de pendules et de celle du montage LC electrique conduit a des equations discretes du mouvement. L’approximation des milieux continus permet, sous certaines conditions, de remplacer ces equations discretes par des equations continues plus simples a manipuler ^{[ 6 ]} .

Les solitons dans d'autres domaines physiques [ modifier | modifier le code ]

En 2004 , N. Sugimoto de l'universite d'?saka a trouve le moyen d'introduire de la dispersion lors de la propagation d'ondes acoustiques et, par la meme, de creer les premiers solitons acoustiques. Une utilisation potentielle de ce phenomene est la reduction des ondes de choc a l'entree de trains dans les tunnels.

En 2006 , Michael Manley observe, grace a des experiences de diffusion par des rayons X et des neutrons , des solitons au sein de cristaux d' uranium portes a une temperature elevee.

Theorie [ modifier | modifier le code ]

La theorie des solitons s'est surtout developpee grace a l'optique rendue non lineaire au moyen de l' effet Kerr ou de photo-refraction, l'experience et la theorie s'epaulant : soit une onde lumineuse plane dont l'intensite decroit en fonction de la distance a un point central. Vers le centre, l'accroissement de l'indice de refraction, qui resulte de l'accroissement de l'intensite, reduit la vitesse de propagation et l'onde devient convergente ; mais cette convergence est limitee du fait de la defaillance de l'optique geometrique. L'experience ainsi que la resolution des equations de Maxwell montrent que l'essentiel de l'energie lumineuse se propage en un filament entoure d'une onde evanescente . L'energie etant concentree dans deux directions perpendiculaires au filament et se propageant dans une troisieme, on nomme ce filament ≪ soliton 2+1 ≫. La presence d'un filament voisin modifie differemment le champ electromagnetique suivant qu'on se trouve du cote voisin ou du cote oppose au filament voisin, de sorte que la variation resultant du champ, donc de l'indice de refraction, courbe le filament. Le filament peut etre courbe de facon a former un tore , par exemple en postulant que la permeabilite magnetique du milieu croit aussi avec le champ. Le tore ainsi obtenu est un soliton tridimensionnel (3+0) qui peut representer une particule. Ces particules possedent toutes les proprietes des particules materielles : leurs interactions par leurs champs evanescents permettent, en particulier, des interferences.

En theorie (quantique) des champs , les solitons topologiques sont des solutions classiques non triviales topologiquement. Ils portent differents noms suivant qu'ils minimisent l'action (→ instanton ) ou l'energie et en fonction des topologies respectives de l'espace et du groupe de jauge ( monopole , vortex , skyrmion , toron , ...).

Modelisation [ modifier | modifier le code ]

Vague en faible profondeur : l'equation de Korteweg-de Vries [ modifier | modifier le code ]

En mathematiques, l' equation de Korteweg-de Vries ^{[ 6 ]} (KdV en abrege) est un modele mathematique pour les vagues en faible profondeur. C'est un exemple tres connu d'equation aux derivees partielles non lineaire dont on connait exactement les solutions. Ces solutions comprennent, mais ne se limitent pas a des solitons. Ces solutions peuvent se calculer par la transformation de diffusion inverse (meme principe que la resolution de l'equation de la chaleur).

On considere un fluide incompressible et non visqueux lors d'un ecoulement irrotationnel ^{[ 5 ]} . On note ${\displaystyle h}$ la profondeur, ${\displaystyle \eta }$ la hauteur de la surface et ${\displaystyle c_{0}={\sqrt {gh}}}$ la vitesse des ondes lineaires.

A partir des equations d'Euler , on obtient l'equation :

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {3}{2h}}\eta {\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {h^{2}}{6}}{\frac {\partial ^{3}\eta }{\partial x^{3}}}=0}$

On se place dans un repere mobile en posant ${\displaystyle X=x-c_{0}t}$ et ${\displaystyle T=t}$ pour eliminer le second terme de l'equation :

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}}}{\frac {\partial \eta }{\partial T}}+{\frac {3}{2h}}\eta {\frac {\partial \eta }{\partial X}}+{\frac {h^{2}}{6}}{\frac {\partial ^{3}\eta }{\partial X^{3}}}=0}$

On obtient alors l'equation de Korteweg-de Vries en posant des variables adimensionnees ( ${\displaystyle \phi =\eta /h}$, ${\displaystyle \xi =X/X_{0}}$ et ${\displaystyle \tau =T/T_{0}}$) :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial \tau }}+6\phi {\frac {\partial \phi }{\partial \xi }}+{\frac {\partial ^{3}\phi }{\partial \xi ^{3}}}=0}$

On cherche alors les solutions localisees spatialement se propageant a vitesse ${\displaystyle v}$ constante. On pose donc ${\displaystyle z=\xi -v\tau }$ pour obtenir :

${\displaystyle -v{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+6\phi {\frac {\partial \phi }{\partial z}}+{\frac {\partial ^{3}\phi }{\partial z^{3}}}=0}$

En integrant par rapport a ${\displaystyle z}$ on obtient (en prenant la constante d'integration nulle car on cherche des solutions localisees spatialement) :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}+3\phi ^{2}-v\phi =0}$

D'ou en integrant encore par rapport a ${\displaystyle z}$ (et en considerant encore la constante d'integration nulle) :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)^{2}+\phi ^{3}-{\frac {1}{2}}v\phi ^{2}=0}$

Finalement, en effectuant le changement de variable ${\displaystyle \phi ={\frac {1}{2}}v\,\mathrm {sech} ^{2}(u)}$ (ou ${\displaystyle \mathrm {sech} (x)={\frac {1}{\mathrm {ch} (x)}}}$ est la secante hyperbolique ) pour integrer ${\displaystyle dz={\frac {d\phi }{\sqrt {v\phi ^{2}-2\phi ^{3}}}}}$, on obtient :

${\displaystyle \phi (z)={\frac {v}{2}}\,\mathrm {sech} ^{2}{\sqrt {\frac {v}{4}}}z}$

En revenant aux notations precedentes, on obtient :

${\displaystyle \eta =\eta _{0}\,\mathrm {sech} ^{2}\left[{\frac {1}{2h}}{\sqrt {\frac {3\eta _{0}}{h}}}\left(x-c_{0}\left[1+{\frac {\eta _{0}}{2h}}\right]t\right)\right]}$

La vitesse est lineaire par rapport a l'amplitude :

${\displaystyle c=c_{0}\left(1+{\frac {\eta _{0}}{2h}}\right)}$

L'equation de sine-Gordon [ modifier | modifier le code ]

Application aux solitons, permettant de decrire a partir de la mecanique lagrangienne une chaine de pendules infinis par exemple. Elle s'ecrit :

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\beta \hbar ^{2}}}\sin \beta \psi =0}$

Son nom vient de ce qu'elle se reduit a l'equation de Klein-Gordon decrivant les particules de spin 0 dans la limite ${\displaystyle \beta \to 0}$. Elle possede des solitons et des breathers (etats lies de solitons et d'antisolitons). On peut construire les solutions a plusieurs solitons au moyen de la transformation de Backlund .

L'equation de Schrodinger non lineaire [ modifier | modifier le code ]

Le soliton est solution de l'equation de Schrodinger non lineaire, qui s'ecrit par exemple dans le cas de la propagation d'un signal lumineux dans une fibre sous la forme :

${\displaystyle i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}+\gamma |\psi |^{2}\psi =0}$

avec ${\displaystyle \beta _{2}}$ la dispersion d'ordre 2 (supposee anormale, soit ${\displaystyle \beta _{2}<0}$) et ${\displaystyle \gamma }$ le coefficient de non-linearite Kerr de la fibre optique. ${\displaystyle z}$ et ${\displaystyle t}$ representent respectivement la distance de propagation et la variable temporelle dans un repere se propageant a la vitesse de groupe.

References [ modifier | modifier le code ]

Voir aussi [ modifier | modifier le code ]

Articles connexes [ modifier | modifier le code ]

• Soliton optique
• Soliton de Peregrine
• Morning glory cloud
• Vague scelerate
• Equation de Schrodinger avec non linearite logarithmique

Liens externes [ modifier | modifier le code ]

• (fr) Site sur le soliton
• Vincent Duchene, ≪  Les solitons hydrodynamiques  ≫, sur Centre de Mathematiques Henri Lebesgue , 2015

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