Considerons un train PQ de longueur propre L , P etant l'avant et Q l'arriere. Si on choisit l'arriere du train comme origine des coordonnees spatiales dans ce repere, les abscisses des extremites sont :

${\displaystyle {\begin{cases}\,x'_{P}=L\\x'_{Q}=0\,.\end{cases}}}$

Considerons maintenant un tunnel ES de meme longueur L que le train mesuree dans le repere fixe. E est l'entree du tunnel, S la sortie. Dans ce repere ≪ fixe ≫, l'entree du tunnel est prise comme origine des coordonnees spatiales de sorte que les abscisses de E et S sont

${\displaystyle {\begin{cases}\,x_{E}=0\\x_{S}=L\,.\end{cases}}}$

Le temps dans le repere du train sera mesure par la quantite t ’ , et dans le repere de la voie par la quantite t .

L'evenement ≪ emission du signal B ≫, celui qui marque la coincidence du point Q avec E, c'est-a-dire l'entree de l'arriere du train dans le tunnel) sera pris comme origine des coordonnees. Par convention on a donc :

${\displaystyle \,x_{B}=t_{B}=x'_{B}=t'_{B}=0\,.}$

L'evenement ≪ emission du signal A ≫, qui marque la coincidence de P avec S, c'est-a-dire la sortie de l'avant du train, est determine par

${\displaystyle x_{A}=x'_{A}=L\,.}$.

Si la vitesse du train est v par rapport aux observateurs fixes situes sur la voie ferree, les formules de Lorentz , qui permettent de passer des coordonnees ( x  ’, t  ’) mesurees dans le train aux coordonnees ( x , t  ) mesurees sur la voie, s'ecrivent :

${\displaystyle {\begin{cases}ct=\gamma (ct'+\beta x')\\x=\gamma (x'+\beta ct')\end{cases}}}$

ou β et γ sont les quantites usuelles

${\displaystyle \beta \,=\,v/c}$   et   ${\displaystyle \gamma \,=[1-(v^{2}/c^{2})]^{-1/2}\equiv 1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\,.}$

D'apres les formules precedentes, les coordonnees des extremites P et Q du train dans le repere de la voie ferree s'expriment sous la forme :

${\displaystyle {\begin{cases}ct=\gamma (ct'+\beta L)\\x_{P}=\gamma (L+\beta ct')\end{cases}}}$

et

${\displaystyle {\begin{cases}ct=\gamma (ct')\\x_{Q}=\gamma (\beta ct')\,.\end{cases}}}$

En eliminant t  ' dans ces equations on aboutit a l'equation du mouvement de P et Q dans le repere fixe de la voie :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{P}=vt+L{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\equiv vt+L/\gamma \\x_{Q}=vt\,.\end{cases}}}$

Incidemment on retrouve le facteur de contraction des longueurs de Lorentz 1/ γ en verifiant qu'au meme instant t (par exemple en t  = 0) la difference ( x _P  -  x _Q ), qui represente la longueur du train dans le repere fixe, est egale a L  / γ .

Les equations precedentes fournissent alors les coordonnees temporelle et spatiale de l'evenement A comme

${\displaystyle t_{A}=(L/v)(1-\gamma ^{-1})\equiv (L/v)\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)\ ,\ x_{A}=L}$

Comme annonce on constate que depuis la voie l'instant t  _A du signal A de sortie du tunnel est posterieur a l'instant du signal indiquant l'entree dans le tunnel de la queue du train (le train est plus court que le tunnel). La difference de temps entre les deux evenements A et B est

${\displaystyle \Delta t=(L/v)\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)}$

Lorsque β est assez petit on peut developper l'expression au premier ordre pour obtenir

${\displaystyle \Delta t\simeq Lv/(2c^{2})\,.}$

Comment les choses se mesurent-elles dans le repere du train ? Les formules inverses permettant de passer des coordonnees fixes aux coordonnees mobiles (pour dire les choses rapidement) sont :

${\displaystyle {\begin{cases}ct'=\gamma (ct-\beta x)\\x'=\gamma (x-\beta ct)\end{cases}}}$

Apres un calcul identique au precedent on obtient les coordonnees de l'evenement A dans le repere du train comme

${\displaystyle t'_{A}=-(L/v)(1-\gamma ^{-1})\equiv -(L/v)\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)\ ,}$

On constate que l'ordre temporel des evenements est inverse dans le repere du train par rapport au repere de la voie. Maintenant t ’ _A est negatif, ce qui signifie que l'avant du train sort du tunnel avant que l'arriere y soit entre (pour les voyageurs le tunnel est plus court que le train). La situation est parfaitement symetrique puisque

${\displaystyle t'_{A}=-t_{A}\ .}$

Tout est coherent. Le paradoxe du train dans le tunnel n'est pas signe que la relativite restreinte serait fausse.

Revenons enfin a la question de savoir si la bombe prete a exploser quand le train sort du tunnel le fera ou non. Calculons a cet effet le carre de l'intervalle spatio-temporel

${\displaystyle \,c^{2}\Delta \tau ^{2}=c^{2}t_{A}^{2}-L^{2}=c^{2}{t'_{A}}^{2}-L^{2}\,.}$

On trouve

${\displaystyle \,c^{2}\Delta \tau ^{2}=-2(L^{2}/\beta ^{2}){\sqrt {1-\beta ^{2}}}\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)<0\,.}$

Cette quantite est le fameux invariant de la relativite restreinte, c'est-a-dire qu'elle ne depend pas du repere dans lequel on la calcule. Elle reste notamment negative quel que soit le repere considere, ce qui montre que les deux evenements A et B ne peuvent pas etre lies par un lien de cause a effet, dans aucun repere. L' intervalle d'espace-temps entre les deux evenements A et B est dit du ≪ genre espace ≫.

Verifions directement en faisant le calcul dans le repere de la voie que le signal de desamorcage B n'a pas le temps d'atteindre l'avant du train avant l'explosion de la bombe. Le temps necessaire pour que le signal (voyageant a la vitesse c ) aille de l'arriere a l'avant est

${\displaystyle \,t_{\text{voulu}}=L/c\,,}$

tandis que le temps disponible est

${\displaystyle \,t_{\text{dispo}}=t_{A}=L/(\beta c)\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)\,.}$

On constate que

${\displaystyle \,t_{\text{dispo}}-\,t_{\text{voulu}}=L/(\beta c)\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}-\beta \right)={\frac {L}{\beta c}}{\sqrt {1-\beta }}\left({\sqrt {1-\beta }}-{\sqrt {1+\beta }}\right)<0}$

Le fait que le temps disponible soit inferieur au temps necessaire signifie bien que le signal B n'a pas le temps d'atteindre la bombe pour la desamorcer avant qu'elle explose.

Dans les deux reperes la conclusion est la meme : les deux evenements ≪ explosion de la bombe ≫ et ≪ envoi du signal de desamorcage ≫ sont causalement independants. Par consequent les passagers du train comme les observateurs fixes de la voie concluent que la bombe explosera.