Soit ABCD un quadrilatere non aplati.
Soient I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].
- Montrons (1) implique (2) :
On suppose que ABCD est un losange.
Comme c'est un parallelogramme, on a AB = CD, BC = AD et comme c'est un losange,
on a AB = CB. Par transitivite, AB = BC = CD = DA. Enfin, les quatre sommets d'un parallelogramme non aplati sont distincts.
- Montrons (2) implique (3) :
On suppose que AB = BC = CD = DA et que les quatre sommets sont distincts.
De AB = BC et CD = DA, on conclut que (BD) est la
mediatrice
de [AC]. Ainsi (BD) est perpendiculaire a (AC) et passe par I.
On montre de meme que (AC) passe par J.
Comme (AC) et (BD) sont perpendiculaires, elles ont un unique point commun et donc I = J.
- Montrons (3) implique (1) :
On suppose que les diagonales se coupent en leur milieu (c'est donc un parallelogramme) et qu'elles sont perpendiculaires.
Comme (BD) est perpendiculaire a (AC) et passe par I, on conclut que (BD) est la mediatrice de [AC] et donc AB = BC.