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Cet article est une ebauche concernant la geometrie et la theorie des cordes .

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En geometrie differentielle ou algebrique , les surfaces K3 sont les varietes de Calabi-Yau de plus petite dimension differentes des tores . Ce sont des varietes complexes de dimension complexe 2 ^{[ 1 ]} compactes et kahleriennes .

Les surfaces K3 possedent en outre la propriete d'etre les seules varietes de Calabi-Yau distincte du 4- tore T ⁴ d'un point de vue topologique ou differentiel. Cependant, en tant que variete complexe, il y a un nombre infini de surfaces K3 non isomorphes. On peut notamment les distinguer par le biais du morphisme de Torelli   (en) .

Andre Weil (1958) les nomma en l'honneur des trois geometres algebristes Kummer , Kahler et Kodaira , et de la montagne K2 au Karakoram .

Caracteristiques geometrique [ modifier | modifier le code ]

La plupart des surfaces K3 ne sont pas des varietes algebriques . Ceci signifie qu'il est en general impossible de les realiser comme l'ensemble des solutions d'equations polynomiales dans un espace projectif .

Cependant, ces surfaces sont d'abord apparues en geometrie algebrique et leur nom provient des trois geometres Kummer , Kahler et Kodaira .

Le groupe de cohomologie ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ est un groupe abelien libre de rang 22. Il est muni (par le produit en cohomologie) d'une forme quadratique non degeneree de signature (3,19). En tant que reseau, ce groupe de cohomologie contient deux facteurs de type E8 . On peut decrire explicitement la base orthogonale pour cette forme quadratique en considerant le diamant de Hodge pour K3 qui s'ecrit

${\displaystyle {\begin{matrix}&&h^{0,0}&&\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0,}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{matrix}}={\begin{matrix}&&1&&\\&0&&0&\\1&&20&&1\\&0&&0&\\&&1&&\\\end{matrix}}}$

ou ${\displaystyle h^{i,j}}$ sont les dimensions des espaces de cohomologie de Dolbeault . Par ailleurs parmi les 20 (1,1)-formes, 19 sont anti-auto-duales avec une norme-carree negative, tandis que la (1,1) forme restante, accompagnee de la (2,0) et de la (0,2) formes, sont auto-duales et possedent une norme-carree positive.

Comme tous les Calabi-Yau non triviaux, on ne connait pas a ce jour de metrique Ricci-plate   (en) explicite bien que son existence soit assuree par le theoreme de Yau   (en) .

Utilisation en theorie des cordes [ modifier | modifier le code ]

Cet espace est souvent utilise comme espace de compactification en theorie des supercordes . Dans ce contexte, la surface K3 fait une apparition remarquable dans la dualite corde-corde qui affirme que la theorie de type IIA compactifiee sur la surface K3 est equivalente a la corde heterotique compactifiee sur un tore a quatre dimensions.

Bibliographie [ modifier | modifier le code ]

• (en) Paul S. Aspinwall, ≪ K3 Surfaces and String Duality ≫. ≪  hep-th/9611137  ≫, texte en acces libre, sur arXiv .
• (en) David R. Morrison, The Geometry of K3 surfaces [PDF]

Notes [ modifier | modifier le code ]

Voir aussi [ modifier | modifier le code ]

• Theorie des supercordes
• Compactification
• Orbifold
• Dualite de cordes
• Variete complexe
• Variete hyperkahlerienne   (en)
• Surface (mathematiques)

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