En mathematiques , une forme quadratique est un polynome homogene de degre 2 avec un nombre quelconque de variables. Les formes quadratiques d'une, deux et trois variables sont donnees respectivement par les formules suivantes ( a,b,c,d,e,f designant des coefficients ) :

${\displaystyle Q(x)=ax^{2}}$

${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

${\displaystyle Q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz.}$

L'archetype de forme quadratique est la forme x ² + y ² + z ² sur ? ³ , qui definit la structure euclidienne et dont la racine carree permet de calculer la norme d'un vecteur. Un autre exemple tres classique est la forme x ² + y ² + z ² ? t ² sur ? ⁴ , qui permet de definir l' espace de Minkowski utilise en relativite restreinte . C'est pourquoi la theorie des formes quadratiques utilise le vocabulaire de la geometrie (orthogonalite). La geometrie est un bon guide pour aborder cette theorie, malgre quelques pieges, lies notamment aux questions de signes ou plus generalement au choix du corps dans lequel varient les coefficients.

Les formes quadratiques interviennent dans de nombreux domaines des mathematiques : differents resultats de classification des coniques et plus generalement des quadriques , recherche de minimum ou maximum local d'une fonction de plusieurs variables a partir d'un developpement limite , introduction de la courbure des surfaces, analyse en composantes principales en statistiques . Les formes quadratiques entieres interviennent en theorie des nombres et en topologie algebrique .

On trouve egalement des formes quadratiques dans plusieurs domaines de la physique : pour definir l' ellipsoide d'inertie en mecanique du solide , en relativite restreinte ou generale…

Generalites [ modifier | modifier le code ]

Definition courante [ modifier | modifier le code ]

Les exemples les plus simples de formes quadratiques sont donnes avec un certain nombre de variables et de coefficients, en commencant par les formes quadratiques binaires . La definition generale s'ecrit dans un module sur un anneau commutatif . On se limite dans un premier temps au cas d'un espace vectoriel V sur un corps commutatif K de caracteristique differente de 2 (ce qui permet la division par 2, comme pour ? ou ? ). On peut alors formuler une definition derivee de celle des formes bilineaires  :

Une forme quadratique sur V est une application Q  : V → K telle qu'il existe une forme bilineaire symetrique B  : V × V → K telle que

${\displaystyle \forall u\in V,Q(u)=B(u,u).}$

La forme B est alors unique : on la retrouve par une identite de polarisation , consequence de la bilinearite

${\displaystyle B(u,v)={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)}$

ou ${\displaystyle B(u,v)}$ est symetrique. Elle est appelee la forme bilineaire associee a Q , ou encore la forme polaire de Q . Ainsi, Q et B se determinent mutuellement.

On peut donner des exemples simples : lorsqu'on dispose d'un produit scalaire , l'application qui a un vecteur associe le carre de sa norme est une forme quadratique. Ou encore, si ( e ₁ , … , e _n ) est une base d'un espace vectoriel de dimension n , en notant ( v ₁ , … , v _n ) les coordonnees de v ∈ V dans cette base, les applications v ? v ₁ ² et v ? 2 v ₁ v ₂ sont des formes quadratiques. Les formes bilineaires associees sont respectivement ( v , w ) ? v ₁ w ₁ et ( v , w ) ? v ₁ w ₂ + v ₂ w ₁ .

Calculs algebriques [ modifier | modifier le code ]

Deux vecteurs x et y sont dits orthogonaux par rapport a Q si B ( x , y ) = 0 , ce qui a bien un sens vu la correspondance entre Q et B .

• Pour tout scalaire a et tout vecteur e , Q ( ae ) = a ² Q ( e ) .
• Deux vecteurs u et v sont orthogonaux par rapport a B si et seulement si Q ( u + v ) = Q ( u ) + Q ( v ).
• Plus generalement, pour tous vecteurs e ₁ , … , e _n deux a deux orthogonaux par rapport a B et pour tous scalaires a ₁ , … , a _n , ${\displaystyle Q\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}Q(e_{i})}$.
• Q obeit a la regle du parallelogramme  : Q ( u + v ) + Q ( u ? v ) = 2 Q ( u ) + 2 Q ( v ).
• La somme de deux formes quadratiques, et plus generalement les combinaisons lineaires de formes quadratiques sont des formes quadratiques.

L'expression "quadratique" provient de "carre" et temoigne de l'apparition de coefficients au carre dans ces formules. Cela ne veut pas dire pour autant que Q ( x ) est un reel positif, ce n'est pas toujours le cas.

Expression matricielle [ modifier | modifier le code ]

Si V est de dimension n , et si ${\displaystyle e=(e_{i})_{1\leq i\leq n}}$ est une base de V , on associe a B la matrice symetrique B definie par ${\displaystyle \mathbf {B} _{ij}=B(e_{i},e_{j}).}$ La valeur de la forme quadratique Q est alors donnee par ${\displaystyle Q(u)=\mathbf {^{T}u} \mathbf {Bu} =\sum _{i,j=1}^{n}B_{ij}u_{i}u_{j}}$ ou les u _j sont les coordonnees de u dans cette base, et u la matrice colonne formee par ces coordonnees. On dit que B est la matrice de Q dans la base e .

L'expression de Q ( u ) est un polynome homogene de degre 2 par rapport aux coordonnees de u , comme indique en introduction. Cependant les coefficients du polynome dependent du choix de base, alors que la definition formelle a l'avantage d'etre totalement degagee d'un tel choix. Precisement, si e' = ( e' _i ) _{1 ≤ i ≤ n} est une autre base de V , et soit P la matrice de passage de e a e '. De la relation u = P u' on tire B' = ^T P B P pour la matrice de B dans la nouvelle base. On dit que B et B' sont congruentes .

Inversement, le polynome Q etant donne, le developpement de Taylor en 0 de Q montre que

${\displaystyle B_{i,j}={1 \over 2}{\partial ^{2}Q \over \partial x_{i}\partial x_{j}}.}$

Orthogonalite, isotropie, degenerescence [ modifier | modifier le code ]

Orthogonalite des espaces [ modifier | modifier le code ]

Plus generalement, si W est un sous-espace vectoriel de V , l'orthogonal de W est le sous-espace

${\displaystyle W^{\perp }=\{x\in V\mid \forall y\in W\quad B(x,y)=0\}}$.

Ces notions generalisent l'orthogonalite dans les espaces euclidiens, mais il y a quelques pieges. Par exemple sur K × K , pour la forme quadratique Q ( x , y ) = xy , chacun des sous-espaces K × {0} et {0} × K est son propre orthogonal.

Il existe deux demonstrations classiques de ce resultat. La premiere consiste en une demonstration par recurrence ^{[ 1 ]} sur la dimension de l'espace. Pour etablir l'heredite on considere un vecteur v tel que Q ( v ) ≠ 0 (s'il en existe, sinon la forme quadratique est nulle et la demonstration est terminee) et on applique l'hypothese de recurrence dans l' hyperplan noyau de la forme lineaire non nulle x ? B ( x , v ) . La deuxieme methode est un algorithme explicite en composantes, la reduction de Gauss , qui fait apparaitre Q comme combinaison lineaire de carres de formes lineaires. Il suffit alors d'introduire une base duale .

Plus generalement, si Q est non degeneree, on a bien dim( W ) + dim( W ^⊥ ) = dim( V ) , comme dans le cas euclidien. Mais l'intersection W ∩ W ^⊥ n'est pas necessairement reduite a zero.

Radical, degenerescence et rang [ modifier | modifier le code ]

Le noyau d'une forme quadratique Q (on dit aussi radical ) est par definition l'orthogonal de l'espace V tout entier. Cet espace est le noyau de l'application lineaire de V dans l' espace dual V * qui associe a x la forme lineaire y ? B ( x , y ) . Si ( e _i ) _i est une base orthogonale de V , rad( Q ) est le sous-espace vectoriel engendre par les e _i tels que Q ( e _i ) = 0 .

Une forme quadratique est dite non degeneree si rad( Q ) = 0 , autrement dit si l' application lineaire ci-dessus est injective .

Si F est un sous-espace supplementaire de rad{( Q )} , la restriction de Q a F est non degeneree, et Q donne par passage au quotient une forme quadratique non degeneree sur l' espace quotient V /rad( Q ).

Si Q est non degeneree, dim( W ) + dim( W ^⊥ ) = dim( V ) , mais V n'est pas toujours la somme directe de W et de son orthogonal, comme la situation euclidienne pourrait le faire croire.

Le rang de Q est par definition le rang de l'application de V dans V * definie ci-dessus. D'apres le theoreme du rang , on a donc : rg( Q ) + dim(rad( Q )) = dim( V ) . Si V est de dimension finie, rg( Q ) est aussi le rang de la matrice de Q dans n'importe quelle base.

Isotropie [ modifier | modifier le code ]

Un vecteur v non nul est dit isotrope si Q ( v ) = 0 .

Un sous-espace vectoriel W de V est dit totalement isotrope si la restriction de Q a W est la forme nulle.

Exemple . Sur K ^{2 n} , soit Q la forme quadratique donnee par

${\displaystyle Q(v)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}v_{i+n}.}$

Le sous-espace ${\displaystyle \{v\in V\mid v_{i}=0\ \mathrm {si} \ 1\leq i\leq n\}}$ est totalement isotrope. Tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont meme dimension ^{[ 2 ]} . Cette dimension s'appelle l' indice d'isotropie .

Exemples . Il est nul pour le carre de la norme euclidienne, et vaut n dans l'exemple precedent, ainsi que pour la forme quadratique sur ? ^{2 n} donnee par

${\displaystyle \sum _{i=1}^{2n}z_{i}^{2}.}$

Plus generalement, l'indice d'isotropie d'une forme quadratique non degeneree sur un espace vectoriel complexe est egal a ?dim V /2? (partie entiere).

Discriminant [ modifier | modifier le code ]

Soit Q une forme quadratique et B sa matrice dans une base de V .

Si l'on effectue un changement de base de matrice P (cf. § ≪ Expression matricielle ≫ ci-dessus ), la matrice de Q dans la nouvelle base sera B' = ^T P B P .

D'apres les proprietes elementaires des determinants , ${\displaystyle \det {\rm {B}}^{\prime }=(\det P)^{2}\det {\rm {B}}.}$ Si Q est non degeneree, l'image du determinant dans le groupe quotient K */( K *) ² ne depend pas de la base ; c'est cet element que l'on appelle le discriminant de la forme quadratique.

Si Q est degeneree, on convient que le discriminant est nul.

Exemples

• Corps quadratiquement clos

Si K est quadratiquement clos (en particulier s'il est algebriquement clos , comme le corps des complexes ), le quotient K */( K *) ² est le groupe trivial et le discriminant est sans interet.

• Corps des reels

Le quotient ?*/(?*) ² s'identifie a {± 1}, vu comme sous-groupe multiplicatif de ?*. On peut donc parler de formes quadratiques a discriminant positif ou negatif. Par exemple, le discriminant de la forme quadratique ax ² + 2 bxy + cy ² sur ? ² , supposee non degeneree, est donnee par le signe de ac ? b ² . S'il est positif, la forme est definie positive ou definie negative  ; s'il est negatif, la reduction de Gauss sera de la forme ( ux + vy ) ² ? ( u'x + v'y ) ² . On retrouve, ce qui n'est pas surprenant, la theorie de l'equation du second degre.

• Corps finis

Si K est un corps fini de caracteristique differente de 2, le groupe K * est cyclique d' ordre pair et K */( K *) ² est encore d'ordre 2.

• Corps des rationnels

La decomposition d'un entier en facteurs premiers permet de voir que ?*/(?*) ² est infini.

Classification des formes quadratiques [ modifier | modifier le code ]

On dira que deux formes quadratiques Q et Q' sont equivalentes (certains auteurs disent isometriques ) s'il existe une application lineaire inversible ? telle que ${\displaystyle \,Q^{\prime }=Q\circ \phi }$. Cela revient a dire que l'expression de Q' dans une base ( e _i ) _{1 ≤ i ≤ n} est identique (en tant que polynome par rapport aux coordonnees) a celle de Q dans la base ( ? ( e _i )) _{1 ≤ i ≤ n} . Cela equivaut aussi a dire que leurs matrices dans une meme base sont congruentes.

Classer les formes quadratiques sur un espace vectoriel V , c'est :

• determiner les classes d'equivalence de la relation precedente (qui est clairement une relation d'equivalence ) ;
• ou, ce qui revient au meme, determiner les orbites de l'ensemble des formes quadratiques sous l' action du groupe lineaire GL( V ) donnee par

${\displaystyle (\phi ,Q)\mapsto Q\circ \phi }$

(ce sont deux facons d'exprimer la meme chose).

Sur K ⁿ (ou K est un corps de caracteristique differente de 2) :

• deux formes equivalentes ont meme rang et meme discriminant (et meme indice d'isotropie) ;
• toute forme quadratique de rang r est equivalente a ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}c_{i}v_{i}^{2}}$ pour certaines constantes non nulles c _i ( voir supra ).

On en deduit les resultats suivants :

• si K (de caracteristique differente de 2) est quadratiquement clos, deux formes quadratiques sont equivalentes si et seulement si elles ont meme rang ;
• si K = ? , deux formes quadratiques sont equivalentes si et seulement si elles ont meme signature ( loi d'inertie de Sylvester ) ;
• si K (de caracteristique differente de 2) est un corps fini, toute forme quadratique non degeneree sur K ⁿ de discriminant a ≡ ( K *) ² est equivalente a x 2
  1 + ... + x 2
  n ?1 + ax 2
  n (par recurrence, il suffit de le demontrer pour n = 2, ce qui revient a trouver, pour tous scalaires non nuls λ , μ , un vecteur ( x , y ) de K ² tel que λx ² + μy ² = 1  ; il en existe, d'apres le principe des tiroirs ). Sachant que K */( K *) ² a deux elements, cela montre qu'il y a exactement deux classes d'equivalence de formes quadratiques non degenerees sur K ⁿ  ;
• si K = ? , des la dimension 1, il existe une infinite de formes quadratiques deux a deux non equivalentes.

Geometrie des formes quadratiques [ modifier | modifier le code ]

Theoreme de Witt [ modifier | modifier le code ]

Forme quadratique duale d'une forme quadratique de rang maximum [ modifier | modifier le code ]

Si Q est de rang maximum sur l'espace vectoriel V , la forme bilineaire associee B definit un isomorphisme entre V et son dual V *  : a v ∈ V on associe la forme lineaire ? _B ( v ) definie par

${\displaystyle \forall w\in V,\phi _{B}(v)(w)=B(v,w).}$

On definit alors une forme quadratique Q * sur V * en posant

${\displaystyle \forall \xi \in V^{\ast },Q^{\ast }(\xi )=Q\left(\phi _{B}^{-1}(\xi )\right).}$

Si A est la matrice de Q dans une base de V , la matrice de Q * dans la base duale de V * est A ^?1 .

Application aux quadriques Si l'on considere Q ( v ) = 0 comme l'equation d'une quadrique projective de l'espace projectif P ( V ) , la forme Q * donne l'equation tangentielle de la quadrique consideree.

Cas d'un anneau quelconque [ modifier | modifier le code ]

La theorie des formes quadratiques sur un anneau quelconque est legerement differente, essentiellement parce que la division par 2 n'est pas possible. Il n'est plus vrai non plus que chaque forme quadratique est de la forme Q ( u ) = B ( u , u ) pour une forme bilineaire symetrique B . En outre, en caracteristique 2, meme lorsque B existe, elle n'est pas unique : puisque les formes alternees sont aussi symetriques en caracteristique 2, on peut ajouter toute forme alternee a B et obtenir la meme forme quadratique.

Une definition plus generale d'une forme quadratique sur un anneau commutatif R quelconque est la suivante ^{[ 3 ] , [ 4 ]} .

Une forme quadratique sur un R -module V est une application Q  : V → R telle que :

• Q ( au ) = a ² Q ( u ) pour tout scalaire a et tout vecteur u  ;
• ( u , v ) ? Q ( u + v ) ? Q ( u ) ? Q ( v ) est une forme bilineaire sur V .

Formes quadratiques entieres [ modifier | modifier le code ]

Les formes quadratiques entieres (c'est-a-dire a coefficients entiers ) les plus etudiees ont d'abord ete les formes quadratiques binaires , classifiees par Lagrange puis Gauss , pour la resolution d' equations diophantiennes comme le theoreme des deux carres de Fermat .

Les formes entieres jouent aussi un role primordial en theorie de l'intersection .

Formes quadratiques reelles [ modifier | modifier le code ]

Les formes quadratiques reelles (pour lesquelles ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$) sont les plus utilisees en physique et possedent des proprietes supplementaires permettant notamment de plus facilement les classer. On suppose dans la suite de cette partie que ${\displaystyle V}$ est un espace vectoriel reel de dimension ${\displaystyle n}$.

Signature d'une metrique, forme quadratique, matrice [ modifier | modifier le code ]

La signature d'une forme quadratique reelle ${\displaystyle Q}$ sur ${\displaystyle V}$ est la signature de la forme bilineaire symetrique ${\displaystyle B}$ associee a ${\displaystyle Q}$, ou encore la signature de la matrice symetrique reelle B associee a ${\displaystyle B}$. On peut la definir de deux facons, soit avec la notion de dimension maximale des sous-espaces negatifs et positifs (comme ici ), soit de maniere equivalente avec les valeurs propres :

Definition. La signature de B est le couple ${\displaystyle (v,p)}$, ou ${\displaystyle v}$ (respectivement ${\displaystyle p}$) est le nombre de valeurs propres (comptees avec leur multiplicite) strictement positives (respectivement negatives) de B .

Autrement dit, pour une famille ${\displaystyle \{\lambda _{k}\}_{1\leq k\leq n}}$ de valeurs propres de B , ${\displaystyle v}$ est le cardinal de ${\displaystyle \{k\in \{1,2,...,n\}\,\,|\,\,\lambda _{k}>0\}}$, et ${\displaystyle p}$ le cardinal de ${\displaystyle \{k\in \{1,2,...,n\}\,\,|\,\,\lambda _{k}<0\}}$.

Cette definition est clairement invariante par changement de base de B et la loi d'inertie de Sylvester et le theoreme spectral donnent l'equivalence avec l'autre definition. On peut noter que le rang de B est alors egal a ${\displaystyle v+p}$. La signature de ${\displaystyle Q}$ est bien definie car elle est independante du choix de la base utilisee pour obtenir la matrice B associee a ${\displaystyle B}$ (et donc a ${\displaystyle Q}$) selon cette meme loi d'inertie de Sylvester.

On trouve plusieurs versions differentes de l'ecriture de cette signature dans la litterature scientifique. On peut par exemple souvent voir apparaitre le choix de noter la multiplicite ${\displaystyle n_{0}}$ de ${\displaystyle 0}$ ce qui donne le triplet ${\displaystyle (v,p,n_{0})}$, mais c'est en principe inutile car on sait deja avec le theoreme du rang que ${\displaystyle n_{0}=n-(v+p)}$. On trouve aussi la notation avec un nombre ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle +}$ et un nombre ${\displaystyle p}$ de ${\displaystyle -}$ utilisee par les physiciens, qui precisent egalement en general l'orientation de l'ecoulement du temps (qui peut etre inverse a condition de rester consistant avec ce choix de convention).

Exemples.

• La matrice identite ${\displaystyle I_{n}\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$ et plus generalement toute matrice definie positive a pour signature ${\displaystyle (n,0)}$.
• Soit ${\displaystyle P\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$ . ${\displaystyle P}$ est semi-definie positive si et seulement si sa signature est ${\displaystyle (r,0)}$ ou ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$. Dans ce cas, ${\displaystyle r}$ est le rang de ${\displaystyle P}$.
• Les matrices ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ et leurs opposees ( ${\displaystyle -A}$ pour une matrice ${\displaystyle A}$) ont toutes pour signature ${\displaystyle (1,1)}$ (ce sont des cas particuliers de symetries vectorielles ).
• La matrice de Minkowski ${\displaystyle {\hat {g}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$ utilisee en physique relativiste pour representer le tenseur metrique associe a l' espace de Minkowski a pour signature ${\displaystyle (3,1)}$, notee ${\displaystyle (3,1,0)^{-}}$ ou ${\displaystyle (-+++)}$ par les physiciens. Mais on peut egalement representer (en changeant la convention) l'espace de Minkowski a l'aide de ${\displaystyle -{\hat {g}}}$, ce qui donne la signature "miroir" ${\displaystyle (1,3,0)^{+}}$ ou ${\displaystyle (+---)}$. Ce changement de convention n'a d'interet qu'en physique car c'est toujours le meme espace qui est represente. Cependant, cela permet de mettre en lumiere les evenements qui ont lieu en meme temps ("space-like" en anglais) avec ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ou qui ont la meme localisation ("time-like" en anglais) avec ${\displaystyle -{\hat {g}}}$. Et avec ${\displaystyle -{\hat {g}}}$, on mesure directement le temps propre (cf. metrique de Minkowski ).

Le lien entre une metrique pseudo-riemannienne et la matrice representant le tenseur metrique associe fait qu'on appelle parfois signature de la metrique consideree la signature de la matrice associee a cette meme metrique. Par exemple, la signature de la metrique de Minkowski est ${\displaystyle (1,3)}$ ou ${\displaystyle (3,1)}$.

Calcul pratique de la signature [ modifier | modifier le code ]

Pour calculer la signature, plusieurs algorithmes existent :

• La reduction de Gauss donne directement la diagonalisation de la forme quadratique dans une base orthonormale .
• La diagonalisation directe en passant par le polynome caracteristique ou avec des outils numeriques de calcul scientifique qui seront peut-etre un peu plus rapides car certains exploitent la symetrie. Le probleme des outils numeriques est qu'en pratique, il est tres difficile de certifier la nullite d'une valeur propre a cause de la sensibilite machine (on peut avoir ${\displaystyle 10^{-15}}$ a la place de ${\displaystyle 0}$ par exemple), ou meme le signe des valeurs propres qui ont une valeur absolue non nulle mais tres petite par rapport au rayon spectral (typiquement ${\displaystyle 0<\lambda _{i}<10^{-15}\rho ({\bf {{B})}}}$).
• L'etude du polynome caracteristique en soi peut aussi s'averer fructueuse dans certains cas, notamment en utilisant des astuces comme la regle de signes de Descartes .
• Le critere de Sylvester donne "rapidement" la definie positivite d'une matrice symetrique et donc si elle est definie positive, la signature est evidente (voir supra).

Applications [ modifier | modifier le code ]

Si f  : ? ⁿ → ? est une fonction de classe C ² , la partie d'ordre 2 de son developpement de Taylor , disons en 0, definit une forme quadratique dont la representation matricielle est, a un facteur 1/2 pres, la matrice hessienne de f en 0. Si 0 est un point critique , cette forme, dans le cas ou elle est non degeneree, permet de decider si on a affaire a un point de maximum local, a un point de minimum local ou a un point selle.

Notes et references [ modifier | modifier le code ]

Voir aussi [ modifier | modifier le code ]

Bibliographie [ modifier | modifier le code ]

• Marcel Berger , Geometrie [ detail des editions ]
• Jean-Pierre Serre , Cours d'arithmetique , 1970 [ detail des editions ] , chap. IV
• (en) Burton W. Jones   (en) , The Arithmetic Theory of Quadratic Forms , MAA , coll.  ≪ The Carus Mathematical Monographs ≫ ( n ^o  10), 1950 ( lire en ligne )

Articles connexes [ modifier | modifier le code ]

v  · m Algebre lineaire generale
Vecteur Scalaire Combinaison lineaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille generatrice Famille libre (independance lineaire) Base Theoreme de la base incomplete Theoreme de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinearite
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplementaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application lineaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Theoreme de factorisation Theoreme du rang Equation lineaire Systeme d'equations lineaires Elimination de Gauss-Jordan Forme lineaire Espace dual Orthogonalite Base duale Endomorphisme lineaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symetrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Determinant Polynome caracteristique Polynome d'endomorphisme Theoreme de Cayley-Hamilton Polynome minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Reduction d'endomorphisme Reduction de Jordan Decomposition de Dunford Decomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algebre sur un corps Algebre de Lie Complexe differentiel
Developpements	Theorie des matrices Representation de groupe Analyse fonctionnelle Algebre multilineaire Module sur un anneau

v  · m Algebre bilineaire

Espace euclidien Espace hermitien Forme bilineaire Forme quadratique Forme sesquilineaire Orthogonalite Base orthonormale Projection orthogonale Inegalite de Cauchy-Schwarz Inegalite de Minkowski Matrice autoadjointe positive Matrice definie positive Decomposition QR Determinant de Gram Espace de Hilbert Base de Hilbert Theoreme spectral Theoreme de Stampacchia Theoreme de Lax-Milgram Theoreme de representation de Riesz

• Portail de l’algebre