En traitement du signal , une fonction de transfert est un modele mathematique de la relation entre l'entree et la sortie d'un systeme lineaire , le plus souvent invariant . Elle est utilisee notamment en theorie des communications, en automatique , et dans toutes les sciences de l'ingenieur qui font appel a cette discipline ( electronique , mecanique , mecatronique ,  etc. ). Les signaux d'entree et de sortie ci-dessus peuvent avoir plusieurs composantes, auquel cas on precise souvent (sans que ce soit une obligation) que la fonction de transfert est une matrice de transfert . D'autre part, ces signaux peuvent ne dependre que du temps (c'est le cas le plus classique), ou des variables d'espace, ou des deux : c'est le cas des systemes multidimensionnels ) ^{[ 1 ]} ; certains auteurs modelisent de cette facon les systemes definis par des equations aux derivees partielles ^{[ 2 ]} . Dans le domaine du traitement d'images , les signaux d'entree et de sortie sont des fonctions des variables d'espace qui sont le plus souvent considerees comme des variables discretes, et sont alors des familles (ou suites) indicees ^{[ 3 ]} . La fonction de transfert d'un systeme permet d'en realiser l'analyse frequentielle , de maniere par exemple a concevoir par la suite un regulateur dans ce qu'il est convenu d'appeler le domaine frequentiel ^{[ 4 ]} (voir l'article Automatique ). L'entree d'un systeme lineaire n'est pas necessairement une variable de commande et sa sortie n'est pas toujours une variable dont on souhaite gerer le comportement ; par exemple, un bruit colore peut se modeliser comme la sortie d'un systeme lineaire ayant pour entree un bruit blanc et dont la fonction de transfert est determinee par la methode de factorisation spectrale causale directe et inverse ^{[ 5 ]} .

La notion de fonction de transfert [ modifier | modifier le code ]

La relation evoquee plus haut entre l'entree u et la sortie y d'un systeme est un operateur de convolution dont le noyau est la reponse impulsionnelle du systeme. Sauf dans le cas d'un systeme stable ou marginalement stable, celle-ci n'est pas une distribution temperee (dans le cas de variables continues) ou une suite a croissance lente (dans le cas de variables discretes), et n'admet donc pas de transformee de Fourier ^{[ 6 ]} . Il est donc necessaire d'en considerer la transformee de Laplace ou la transformee en Z , selon que les variables sont continues ou discretes. C'est cette transformee qui est appelee la fonction de transfert du systeme. Celle-ci ne represente le systeme que partiellement, puisqu'elle ne prend pas en compte les conditions initiales (ou aux limites). Plus exactement, elle est obtenue en supposant que ces conditions initiales (ou aux limites) sont nulles. Il en resulte une perte d'information, qui fait que la fonction de transfert ne represente que la partie commandable et observable du systeme. Neanmoins, elle est tres importante pour l'analyse des proprietes de ce systeme et, historiquement, c'est cette representation qui est apparue la premiere (voir Histoire de l'automatique ). Il importe de bien connaitre les possibilites qu'offre le formalisme des fonctions de transfert, ainsi que ses limites.

La notion de fonction de transfert n'a longtemps ete definie que pour les systemes lineaires invariants . La question s'est naturellement posee de savoir si cette notion pouvait s'etendre au cas des systemes lineaires a coefficients variables. Ce n'est que recemment, par une methode algebrique, que cette extension a ete realisee ^{[ 7 ]} avec des consequences pratiques tangibles ^{[ 8 ]} .

Fonction de transfert d'un systeme monovariable [ modifier | modifier le code ]

Cas des systemes a temps continu [ modifier | modifier le code ]

Definition [ modifier | modifier le code ]

Considerons un systeme d'equation :

${\displaystyle D\left(\partial \right)y=N\left(\partial \right)u}$

ou u et y sont respectivement l'entree et la sortie, et ou D (∂) et N (∂) sont des polynomes a coefficients reels en ∂ = d / d t de degre n et m respectivement. L'ensemble de ces polynomes est un anneau euclidien , donc principal , note ${\displaystyle \mathbb {R} [\partial ]}$.

Le polynome D (∂) est suppose non nul. Supposons que u et y soient des ≪ fonctions generalisees a support positif ≫ ^{[ 9 ]} admettant des transformees de Laplace notees respectivement ${\displaystyle {\hat {u}}(p)}$ et ${\displaystyle {\hat {y}}(p)}$.

Supposons que les conditions initiales y (0 ^? )…, y ^{n ?1} (0 ^? ), u (0 ^? )…, u ^{m ?1} (0 ^? ) soient nulles . Alors l'equation differentielle ci-dessus implique, par la transformee de Laplace , ${\displaystyle D(p){\hat {y}}(p)=N(p){\hat {u}}(p)}$.

Par consequent : ${\displaystyle {\hat {y}}(p)=G(p){\hat {u}}(p)}$

ou G ( p ) est la fraction rationnelle N ( p ) / D ( p ) . Cette fraction rationnelle est appelee la fonction de transfert du systeme.

Poles non commandables [ modifier | modifier le code ]

Les raisonnements mettant en jeu cette fraction rationnelle doivent se faire sur sa representation irreductible N' ( p ) / D' ( p ) ou N' ( p ) = N ( p ) / P ( p ) , D' ( p ) = D ( p ) / P ( p ) , P ( p ) designant un PGCD de N ( p ) et D ( p ) .

Le systeme considere est toujours observable, et il est commandable (resp. stabilisable) si, et seulement si P ( p ) est une unite de l'anneau ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$, c'est-a-dire un reel non nul (resp. un polynome de Hurwitz ). Les racines dans le plan complexe du polynome P ( p ) sont les poles non commandables du systeme ^{[ 10 ]}

Degre d'une fonction de transfert [ modifier | modifier le code ]

Le degre d'une fraction rationnelle G = N / D est defini par : d °( G ) = d °( N ) ? d °( D ) . Faisons la division euclidienne de N (∂) par D (∂) . Il vient N (∂) = D (∂) Q (∂) + R (∂) ou Q (∂) est le quotient et R (∂) le reste, tel que d °( R ) < d °( D ) . En posant z = y ? Q (∂) u , soit encore

${\displaystyle y=z+Q(\partial )u}$

on obtient

${\displaystyle D(\partial )z=R(\partial )u}$

Supposons que u soit une fonction continue par morceaux, presentant une discontinuite a l'origine. Alors z est une fonction continue. Pour y , trois cas sont possibles :

1. Q (∂) = 0 , ce qui equivaut a d °( G ) < 0 . La fraction rationnelle G est dite strictement propre . Dans ce cas, R (∂) = N (∂) . Alors y = z .
2. d °( Q ) = 0 , ce qui equivaut a d °( G ) = 0 . La fraction rationnelle G est dite bipropre . Alors y est une fonction presentant les memes discontinuites que u . Une fonction de transfert strictement propre ou bipropre est dite propre .
3. d °( Q ) > 0 , ce qui equivaut a d °( G ) > 0 . La fraction rationnelle G est dite impropre . Dans ce cas, y est, au plan mathematique, une distribution singuliere (c'est-a-dire une distribution qui n'est pas une fonction, car elle s'exprime en fonction de la distribution de Dirac et eventuellement de ses derivees).

Le cas (3) ne se rencontre jamais en pratique, car une entree discontinue provoquerait la destruction du systeme. Le cas (2) est exceptionnel : il correspond a un systeme ≪ sans inertie ≫. Un regulateur peut neanmoins avoir une fonction de transfert bipropre (le cas le plus simple etant celui d'un regulateur proportionnel).

On suppose dans ce qui suit que l'on se trouve dans le cas (1) ou (2).

Poles et zeros de transmission - Stabilite [ modifier | modifier le code ]

On appelle poles (resp. zeros) de transmission du systeme les poles (resp. les zeros) de la fonction de transfert G ( p ) , a savoir les racines de D' ( p ) (resp. N' ( p ) ).

Le systeme est stable EBSB si, et seulement si ses poles de transmission appartiennent tous au demi-plan gauche (dont, par convention, l'axe imaginaire est exclu). Il est exponentiellement stable si, et seulement si le polynome D (∂) est de Hurwitz . D'apres ce qui precede, le systeme est exponentiellement stable si, et seulement s'il est stable EBSB et stabilisable. (On ne saurait trop insister sur le fait que ceci n'est vrai que parce que le systeme considere est observable, et que ses seuls modes caches possibles sont donc ses poles non commandables.)

Le systeme est dit a minimum de phase si ses poles et ses zeros de transmission appartiennent tous au demi-plan gauche.

Reponse frequentielle [ modifier | modifier le code ]

La reponse frequentielle du systeme considere ci-dessus est la fonction ${\displaystyle \omega \mapsto G({\rm {i}}\omega )}$. Elle est definie sur le complementaire de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ est l'ensemble (eventuellement vide) des poles de transmission situes sur l'axe imaginaire. Le principe du prolongement analytique montre que la reponse frequentielle determine completement la fonction de transfert.

L'interpretation de la reponse frequentielle est la suivante : supposons que l'entree du systeme soit sinusoidale, de pulsation ω (cette pulsation n'appartenant pas a l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ci-dessus). Il est commode, au plan mathematique, d'ecrire ce signal d'entree u sous la forme complexe ${\displaystyle t\mapsto A{\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega t}}$, ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Alors on montre immediatement que la sortie est (sous forme complexe) y ( t ) = G (i ω ) u ( t ) . Concretement, l'entree et la sortie reelles (dans tous les sens du terme) sont bien entendu la partie reelle de l'entree et de la sortie complexes ci-dessus.

Si l'axe imaginaire appartient a la bande de convergence de la fonction de transfert (en tant que transformee bilaterale de Laplace de la reponse impulsionnelle), la reponse frequentielle n'est autre que la transformee de Fourier de la reponse impulsionnelle. C'est pourquoi, dans certaines sciences de l'ingenieur ou les systemes consideres sont toujours stables, la fonction de transfert est definie comme etant cette transformee de Fourier. Ceci est un abus de langage qui n'est pas sans conduire a certaines confusions.

Cas des systemes a temps discret [ modifier | modifier le code ]

Definition [ modifier | modifier le code ]

Dans le cas des systemes a temps discret, le formalisme est tres semblable a celui developpe ci-dessus, avec certaines differences

1. Dans l'equation du systeme, l'operateur de derivation ∂ est remplace par l'operateur d'avance ${\displaystyle q:x(k)\mapsto x(k+1)}$. Les signaux sont maintenant des suites.
2. En ecrivant que D ( q ) = q ⁿ + a ₁ q ^{n ? 1} + ... + a _n et N ( q ) = b ₀ q ^m + b ₁ q ^{m ? 1} + ... + b _m , l'equation du systeme peut donc s'expliciter comme suit :

${\displaystyle y(k+n)+a_{1}y(k+n-1)+...+a_{n}y(k)=b_{0}u(k+m)+b_{1}u(k+m-1)+...+b_{m}u(k)}$

(3) Les conditions initiales sont maintenant y (0), ... , y ( n ? 1), u (0), ..., u ( m ? 1) . En les supposant nulles, et en symbolisant par U ( z ) et Y ( z ) les transformees en Z monolaterales des suites u et y respectivement, on obtient (voir Proprietes de la transformee en Z )

${\displaystyle Y(z)=G(z)U(z)}$

ou G ( z ) est la fonction de transfert N ( z ) / D ( z ) .

Causalite [ modifier | modifier le code ]

Le systeme est strictement causal si, et seulement si sa fonction de transfert est une fraction rationnelle strictement propre (i.e. d °( G ) < 0 ). Cela signifie que la sortie a un instant donne k (considere comme l'instant present) n'est influencee ni par le futur de l'entree, ni meme par la valeur de celle-ci a l'instant k .

Le systeme est causal si, et seulement si sa fonction de transfert est propre. Cela signifie que la sortie a un instant donne n'est pas influencee par le futur de l'entree.

Enfin, le systeme est non causal si, et seulement si sa fonction de transfert est impropre. La sortie a un instant donne est alors influencee par le futur de l'entree. Cela est bien entendu impossible lorsque passe, present, futur, ont les significations habituelles. Neanmoins, on peut realiser, par exemple, du traitement du signal en temps differe en utilisant des filtres numeriques non causaux.

Stabilite [ modifier | modifier le code ]

Un systeme a temps discret de fonction de transfert G ( z ) est stable EBSB si, et seulement si ses poles de transmission, c'est-a-dire les poles de G ( z ) , sont tous situes a l'interieur du cercle unite.

On sait que la relation entre la variable de Laplace p et la variable z de la transformee en Z est (voir Transformee de Laplace ) z = e ^pT ou T est la periode d'echantillonnage. On a donc | z | < 1 (resp. | z | = 1 ) si, et seulement si ${\displaystyle \Re (p)<0}$ (resp. ${\displaystyle \Re (p)=0}$). La condition de stabilite, enoncee ici pour les systemes a temps discret, ne doit donc pas surprendre quand on connait celle enoncee plus haut pour les systemes a temps continu.

Reponse frequentielle [ modifier | modifier le code ]

En posant p = i ω dans la relation liant la variable de Laplace p et la variable z , on obtient z = e ^{i ωT} = e ^{i θ} avec θ = ωT . Ceci explique que la reponse frequentielle d'un systeme a temps discret, de fonction de transfert G ( z ) , soit la fonction ${\displaystyle \theta \mapsto G({\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })}$. Cette fonction, definie pour tous les θ tels que e ^{i θ} n'est pas un pole de G ( z ) , est periodique de periode 2π , et comme ${\displaystyle {\rm {e}}^{-i\theta }={\overline {{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }}}}$, les variations de θ peuvent etre restreintes a l'intervalle [0 , π[ . La variable ${\displaystyle \theta }$ s'appelle la pulsation normalisee. Si l'entree du systeme est sinusoidale, de pulsation normalisee θ (ou e ^{i θ} n'est pas un pole de G ( z ) ), a savoir (sous forme complexe) u ( k ) = A e ^{i kθ} , alors la sortie est (sous forme complexe) y ( k ) = G(e ^{i θ} ) u ( k ) .

Fonction de transfert d'un systeme discretise [ modifier | modifier le code ]

En automatique , dans la grande majorite des cas, un systeme a temps discret S _d resulte de la discretisation, a une periode d'echantillonnage T , d'un systeme a temps continu S _c de fonction de transfert G ( p ) . La sortie y du systeme S _c est echantillonnee a la periode T , et il en resulte le signal echantillonne y ^* = y ? _T ou ? _T est le " peigne de Dirac ".

${\displaystyle \varpi _{T}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (t-kT)}$

Ce signal y ^* , qui n'est qu'une representation mathematique, contient en effet pour seule information les valeurs de y aux instants d'echantillonnage, puisque

${\displaystyle y^{\ast }\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }y(kT)\delta (t-kT)}$

En posant y _d ( k ) = y ( kT ) , le signal discret y _d (qui est une suite) est la sortie du systeme S _d que nous cherchons a caracteriser. Cette information discrete est traitee par un calculateur, par exemple pour generer un signal de commande discret u _d . Ce signal u _d doit subir une interpolation pour etre transforme en un signal a temps continu qui puisse agir sur le systeme S _c . Pour obtenir un systeme boucle fonctionnant en temps reel, cette interpolation doit etre causale, a la difference de l'interpolation de Shannon (par le theoreme de Shannon-Nyquist ). On procede donc par blocage du signal discret u _d sur chaque periode d'echantillonnage. Le bloqueur le plus simple est celui d'ordre zero. Le signal echantillonne-bloque (avec bloqueur d'ordre zero) est defini par

${\displaystyle u_{b0}(t)=u_{d}(k),t\in [kT,(k+1)T[}$.

C'est donc ce signal u _{b 0} (qui est bien a temps continu, mais qui en revanche est une fonction discontinue du temps puisqu'elle est en escalier) qui entre dans le systeme S _c .

La relation entre u _d et y _d est lineaire et stationnaire. Elle admet donc une fonction de transfert en z , notee G _d ( z ) , qui prend en compte le bloqueur d'ordre zero. On montre facilement ^{[ 11 ]} qu'elle est donnee par

${\displaystyle G_{d}(z)=(1-z^{-1}){\mathcal {Z}}\left[{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {G(p)}{p}}\right\}\right]}$

ou ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ designent respectivement la transformee de Laplace et la transformee en Z .

Matrice de transfert [ modifier | modifier le code ]

Definition [ modifier | modifier le code ]

Les developpements qui suivent sont realises pour les systemes a temps continu. Ils se transposent de maniere evidente aux systemes a temps discret. Considerons un systeme multivariable a temps continu, ayant m entrees u ₁ , ... , u _m et q sorties y ₁ , ... , y _q . Soit u (resp. y ) la colonne formee des u _j (resp. des y _i ) et ${\displaystyle {\hat {u}}(p)}$ (resp. ${\displaystyle {\hat {y}}(p)}$) la transformee de Laplace monolaterale de u (resp. y ). A conditions initiales nulles, il existe ^{[ 12 ]} une relation

${\displaystyle {\hat {y}}(p)=G(p){\hat {u}}(p)}$

ou G ( p ) est une matrice de fractions rationnelles, et plus precisement un element de ${\displaystyle \mathbb {R} (p)^{q\times m}}$ ou ${\displaystyle \mathbb {R} (p)}$ designe le corps des fractions rationnelles en p a coefficients reels, a savoir le corps des fractions de l'anneau ${\displaystyle \mathbb {R} \left[p\right]}$ des polynomes en p . Cette matrice G ( p ) est la matrice de transfert du systeme.

Cette matrice de transfert est dite propre (resp. strictement propre) si tous ses elements le sont, et impropre sinon.

Forme de Smith-MacMillan [ modifier | modifier le code ]

Soit δ ( p ) ≠ 0 , le plus petit commun denominateur de tous les elements de la matrice ${\displaystyle G(p)\in \mathbb {R} (p)^{q\times m}}$. La matrice N ( p ) = δ ( p ) G ( p ) appartient donc a ${\displaystyle \mathbb {R} [p]^{q\times m}}$, et comme l'anneau ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$ est principal, le theoreme des facteurs invariants montre qu'il existe des matrices P ( p ) et Q ( p ) , inversibles sur ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$, telles que Σ( p ) = P ( p ) N ( p ) Q ^?1 ( p ) soit la forme de Smith de N ( p ) . Cette matrice Σ( p ) est de la forme

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}(p)&0&&\\0&\ddots &&\\&&\alpha _{r}(p)&\\&&&0\\\end{pmatrix}}}$

ou ${\displaystyle r}$ est le rang de ${\displaystyle N(p)}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$ (donc de G ( p ) sur ${\displaystyle \mathbb {R} (p)}$) et ou les ( α _i ( p )) _{1 ≤ i ≤ r} sont des elements non nuls de ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$ verifiant la relation de divisibilite ${\displaystyle \alpha _{1}\mid \alpha _{2}\mid \dots \mid \alpha _{r}}$. Ces elements α _i ( p ) sont les facteurs invariants de N ( p ) et sont determines de maniere unique a la multiplication pres par des unites (c'est-a-dire des elements inversibles) de ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$ (voir l'article theoreme des facteurs invariants ). On a donc

${\displaystyle G(p)=P^{-1}(p){\mathcal {M}}(p)Q(p)}$

ou

${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)={\frac {1}{\delta (p)}}\Sigma (p)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\delta (p)}}\Delta (p)&0\\0&0\end{pmatrix}}}$.

On a enfin

${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)={\begin{pmatrix}{\frac {n_{1}(p)}{d_{1}(p)}}&0&&\\0&\ddots &&\\&&{\frac {n_{r}(p)}{d_{r}(p)}}&\\&&&0\\\end{pmatrix}}}$

ou les fractions rationnelles n _i ( p ) / d _i ( p ) sont irreductibles. On a les relations de divisibilite ${\displaystyle n_{1}\mid n_{2}\mid \dots \mid n_{r}}$ et ${\displaystyle d_{r}\mid d_{r-1}\mid \dots \mid d_{1}}$. Les elements n _i et d _i pour 1 ≤ i ≤ r verifiant ces conditions sont determines de maniere unique a partir de G ( p ) a la multiplication pres par des unites de ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$, par consequent la matrice de fractions rationnelles ${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)}$ est canonique et s'appelle la forme de Smith-MacMillan de G ( p ) ^{[ 13 ]} . Il est a noter que le fait que G ( p ) soit une matrice de transfert propre (resp. strictement propre) n'entraine pas que les fractions rationnelles n _i ( p ) / d _i ( p ) le soient.

Poles et zeros de transmission [ modifier | modifier le code ]

Les poles (resp. les zeros) de transmission du systeme ayant pour matrice de transfert G ( p ) sont les racines dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ des polynomes d _i ( p ) (resp. n _i ( p ) ) ci-dessus. Si p ₀ est une racine d'ordre ν _i de d _i ( p ) pour 1 ≤ i ≤ ρ , on precisera que le pole p ₀ a pour indices structurels { ν ₁ , ..., ν _ρ } ^{[ 14 ]} . Cette definition est valable pour les zeros, mutatis mutandis .

Considerons par exemple la matrice de transfert

${\displaystyle G(p)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{(p+1)^{2}}}&{\frac {1}{(p+1)(p+2)}}\\{\frac {1}{(p+1)(p+2)}}&{\frac {p+3}{(p+2)^{2}}}\end{pmatrix}}}$

On a, avec les notations ci-dessus, δ ( p ) = ( p +1) ² ( p +2) ² et

${\displaystyle N(p)={\begin{pmatrix}(p+2)^{2}&(p+1)(p+2)\\(p+1)(p+2)&(p+1)^{2}(p+3)\end{pmatrix}}}$

Les operations elementaires sur les lignes et les colonnes utilisees dans le theoreme des facteurs invariants permet d'obtenir pour N ( p ) la forme de Smith

${\displaystyle \Sigma (p)={\begin{pmatrix}1&0\\0&(p+1)^{2}(p+2)^{3}\end{pmatrix}}}$

et la forme de Smith-MacMillan de G ( p ) est donc

${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{(p+1)^{2}(p+2)^{2}}}&0\\0&p+2\end{pmatrix}}}$

Les poles de transmission sont donc -1 et -2, et ils ont tous deux pour unique indice structurel 2. Le seul zero de transmission est -2 avec pour unique indice structurel 1. On note sur cet exemple qu'un meme nombre complexe (en l'occurrence, -2) peut etre a la fois un pole de transmission et un zero de transmission, ce qui est evidemment impossible dans le cas des systemes monovariables.

Interpretation [ modifier | modifier le code ]

Soit G ( p ) (resp. G ( z ) ) la matrice de transfert d'un systeme a temps continu (resp. a temps discret) et supposons que cette matrice de transfert soit propre. Alors le systeme considere est stable EBSB si, et seulement si ses poles de transmission sont tous situes dans le demi-plan gauche (resp. a l'interieur du cercle unite).

Pour une interpretation plus aisee des zeros de transmission, nous supposerons que m = q = r (cas auquel on peut d'ailleurs toujours se ramener). Alors le nombre complexe λ est un zero de transmission si, et seulement si, a conditions initiales nulles, il existe une entree non nulle u de la forme ${\displaystyle t\mapsto A{\rm {e}}^{\lambda t}}$ (resp. ${\displaystyle k\mapsto A\lambda ^{k}}$), ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m}}$, ainsi qu'une forme lineaire ${\displaystyle B^{\prime }\in \mathbb {C} ^{1\times q}}$ non nulle telles que la combinaison lineaire ${\displaystyle \langle B^{\prime },y\rangle }$ soit identiquement nulle ^{[ 15 ]} .

Fonctions de transfert des systemes de dimension infinie [ modifier | modifier le code ]

Systemes de dimension infinie [ modifier | modifier le code ]

La notion de systeme de dimension infinie ne peut se definir que par une negation: il s'agit d'un systeme qui n'est pas de dimension finie. Aussi la variete de ces systemes est-elle immense. La "dimension" dont il est question ici est celle de l'espace d'etat ^{[ 16 ]} , et le fait qu'elle soit infinie se traduit par le fait que la fonction de transfert est irrationnelle. Il n'est pas question ici d'etre exhaustif, et la breve presentation qui suit est limitee au cas des systemes lineaires, a temps continu et a retards commensurables (distribues ou non).

Les formulations algebriques [ modifier | modifier le code ]

Retards non distribues [ modifier | modifier le code ]

Considerons tout d'abord un systeme de la forme

${\displaystyle \sum _{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m}a_{ij}y^{(i)}(t-j\tau )=\sum _{0\leq i\leq p,0\leq j\leq q}b_{ij}u^{(i)}(t-j\tau )}$

ou les a _ij et les b _ij sont des coefficients reels (les a _ij etant non tous nuls) et ou τ > 0 est le retard. En posant

${\displaystyle a(s,z)=\sum _{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m}a_{ij}s^{i}z^{j}}$

${\displaystyle b(s,z)=\sum _{0\leq i\leq p,0\leq j\leq q}b_{ij}s^{i}z^{j}}$

la fonction de transfert du systeme s'ecrit G ( p ) = N ( p ) / D ( p ) avec N ( p ) = b ( p , e ^{? τp} ) et D ( p ) = a ( p , e ^{? τp} ) . Cette fonction de transfert appartient donc au corps de fractions de l'anneau ${\displaystyle \mathbb {R} [p,{\rm {e}}^{-\tau p}]}$, anneau qui est isomorphe a ${\displaystyle \mathbb {R} [s,z]}$^{[ 17 ]} . Cet anneau est factoriel d'apres un theoreme du a Gauss (voir Anneaux des polynomes ), par consequent a ( s , z ) et b ( s , z ) ont un pgcd c ( s , z ) . Les elements a' ( s , z ) = a ( s , z )/ c ( s , z ) et b' ( s , z ) = b ( s , z )/ c ( s , z ) sont donc premiers entre eux dans ${\displaystyle \mathbb {R} [s,z]}$, et on a G ( p ) = N' ( p ) / D' ( p ) avec N' ( p ) = b' ( p , e ^{? τp} ) et D' ( p ) = a' ( p , e ^{? τp} ) .

Les poles (resp. les zeros) de transmission du systeme sont definis comme etant les zeros dans le plan complexe de D' ( p ) (resp. N' ( p ) ).

Supposons que

${\displaystyle {\underset {_{\left\vert p\right\vert \rightarrow +\infty }}{lim}}\left\vert G(p)\right\vert <\infty }$.

Alors, le systeme est stable EBSB s'il existe un reel ε > 0 tel que ses poles de transmission (qui sont en general en nombre infini) aient tous une partie reelle inferieure a ?ε ^{[ 18 ]} .

Ce systeme est observable. Etant donne que l'anneau ${\displaystyle \mathbb {R} [s,z]}$ n'est pas un anneau de Bezout , il existe differentes sortes de commandabilite ^{[ 19 ]} . Enfin, l'analyse ci-dessus ne peut se generaliser au cas des systemes multivariables. C'est pourquoi il est necessaire de proceder a un changement de l'anneau des operateurs, ce qui conduit a considerer des systemes a retards distribues.

Retards distribues [ modifier | modifier le code ]

Considerons par exemple l'operateur de retard distribue ${\displaystyle u\mapsto y}$ defini par

${\displaystyle y(t)=\int _{t-1}^{t}u(\tau )d\tau }$

Sa fonction de transfert est ${\displaystyle {\frac {1-{\rm {e}}^{-p}}{p}}}$ qui peut etre considere comme un element de ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbb {R} (p)[{\rm {e}}^{p},{\rm {e}}^{-p}]\cap {\mathcal {E}}(p)}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {E}}(p)}$ designe l'anneau des fonctions entieres dans le plan complexe. L'anneau ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ainsi defini est tres approprie pour l'etude des systemes a retards commensurables distribues. Bien que n'etant pas principal, il s'agit en effet d'un anneau a diviseurs elementaires ^{[ 20 ]} . Par consequent, une matrice a elements dans cet anneau admet une forme de Smith, et une matrice a elements dans le corps de fractions de cet anneau admet une forme de Smith-MacMillan. La theorie des systemes definis sur cet anneau est donc tout a fait semblable (au plan algebrique) a celle des systemes definis sur l'anneau classique des operateurs differentiels ${\displaystyle \mathbb {R} [\partial ]}$. Neanmoins, le nombre de poles et de zeros de transmission est cette fois infini en general.

En supposant que les elements G _ij ( p ) de la matrice de transfert G ( p ) soient tous tels que

${\displaystyle \lim _{|p|\rightarrow \infty }|G_{ij}(p)|<\infty }$

le systeme est stable EBSB s'il existe un reel ε > 0 tel que les poles de transmission (en general en nombre infini) aient tous une partie reelle inferieure a ?ε .

Fonctions de transfert des systemes a coefficients variables [ modifier | modifier le code ]

Cas des systemes a temps continu [ modifier | modifier le code ]

Soit K un corps differentiel muni de la derivation usuelle ${\displaystyle a\mapsto {\dot {a}}}$ (par exemple ${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbb {C} (t)}$ anneau des fractions rationnelles complexes), et soit D = K[∂] avec ${\displaystyle \mathbf {\partial =} {\frac {d}{dt}}}$, l'anneau des polynomes gauches en ∂ a coefficients dans K . Si ${\displaystyle f\in \mathbf {D} }$ est une variable, on a d'apres la regle de Leibniz ${\displaystyle \mathbf {\partial } (af)={\dot {a}}f+a\partial f}$, et puisque ceci est vrai quelle que soit f on a sur D la regle de commutation

${\displaystyle \mathbf {\partial } a-a\partial ={\dot {a}}}$

L'anneau D , muni de cette regle, est un anneau principal non commutatif et simple ^{[ 21 ]} . De plus, il s'agit d'un anneau d' Ore ^{[ 22 ]} qui admet un corps de fractions F a gauche et a droite. Chaque element de F se met sous la forme a ^?1 b = b ' a' ^?1 ou a , a' , b , b' appartiennent a D et a , a' sont non nuls.

D'un point de vue algebrique, un systeme differentiel lineaire a coefficient dans K est un module de type fini ${\displaystyle M}$ sur D . Une colonne u de m elements u _i dans ${\displaystyle M}$ peut etre choisie comme entree du systeme si le D -module [ u ] _D engendre par les u _i est libre de rang m et tel que le quotient M / [ u ] _D est de torsion ^{[ 23 ]} . Notons alors ${\displaystyle y}$ la colonne de ${\displaystyle q}$ elements ${\displaystyle y_{i}}$ representant la sortie du systeme.

Considerons le foncteur de Laplace ^{[ 7 ]} :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mathbf {F} \otimes _{\mathbf {D} }-}$

Ce qui precede revient a dire que les images canoniques ${\displaystyle {\hat {u}}_{i}=1_{\mathbf {F} }\otimes u_{i}}$ dans ${\displaystyle {\hat {M}}=\mathbf {F} \otimes _{\mathbf {D} }M}$ forment une base du F -espace vectoriel ${\displaystyle {\hat {M}}}$. Par consequent, en notant ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ les images canoniques des ${\displaystyle y_{i}}$ dans ${\displaystyle {\hat {M}}}$, il existe une matrice unique G ∈ F ^{q × m} telle que

${\displaystyle {\hat {y}}=G{\hat {u}}}$

Cette matrice G est la matrice de transfert du systeme a coefficients variables.

Cas des systemes a temps discret [ modifier | modifier le code ]

Le cas des systemes a temps discret peut etre traite comme suit: on considere cette fois un corps aux differences ${\displaystyle \mathbf {K} }$^{[ 24 ]} , muni de l'operateur d'avance avance ${\displaystyle \alpha :x(t)\mapsto x(t+1)}$. Soit ${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {K} \left[q,q^{-1};\alpha \right]}$ l'anneau des polynomes gauches de Laurent en l'indeterminee q (operateur d'avance qui est une extension de ${\displaystyle \alpha }$) muni de la loi de commutation ${\displaystyle qa=\alpha (a)q}$. Cet anneau D est, comme precedemment, un anneau principal non commutatif et simple (cette derniere propriete fait l'avantage de D sur l'anneau des polynomes gauches ${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {K} [q;\alpha ]}$, qui est principal mais n'est pas simple ^{[ 25 ]} ) et F admet un corps de fractions F a gauche et a droite. Un systeme lineaire a temps discret s'identifie a un module de type fini sur D . La construction du paragraphe precedent peut alors etre repetee sans changement, grace au foncteur transformee en Z :

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\mathbf {F} \otimes _{\mathbf {D} }-}$

Notes et references [ modifier | modifier le code ]

References [ modifier | modifier le code ]

Bibliographie [ modifier | modifier le code ]

• (en) Richard Bellman et Kenneth L. Cooke , Differential-difference Equations , Academic Press Inc, 1963 , 462  p. ( ISBN   0-12-084850-3 )
• (en) N. K. Bose , Multidimensional Systems Theory and Applications , Kluwer Academic Publishers, 2003 , 292  p. ( ISBN   1-4020-1623-9 )
• (en) Henri Bourles , Linear Systems , John Wiley & Sons, 2010 , 544  p. ( ISBN   978-1-84821-162-9 et 1-84821-162-7 )
• (en) Henri Bourles et Bogdan Marinescu , Linear Time-Varying Systems : Algebraic-Analytic Approach , Springer, 2011 , 638  p. ( ISBN   978-3-642-19726-0 et 3-642-19726-4 , lire en ligne )
• (en) Ruth F. Curtain et Hans Zwart , An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems Theory , Springer, 1995 , 716  p. ( ISBN   0-387-94475-3 , lire en ligne )
• Jean Dieudonne , Elements d'analyse , vol.  6, Paris, Gauthier-Villars, 1975 , 197  p. ( ISBN   2-87647-216-3 )
• Michel Fliess , ≪  Automatique en temps discret et algebre aux differences  ≫, Forum Mathematicum ,‎ 1989 , p.  227-238
• (en) Michel Fliess , ≪  Some basic structural properties of generalized linear systems  ≫, Systems & Control Letters , vol.  15,‎ 1990 , p.  391-396
• Michel Fliess , ≪  Une interpretation algebrique de la transformation de Laplace et des matrices de transfert  ≫, Linear Algebra Appl. ,‎ 1994 , p.  202-203, 429-442
• (en) Heide Gluesing-Luerssen , Linear Delay-Differential Systems With Commensurate Delays : An Algebraic Approach , Berlin/Heidelberg/New York etc., Springer, 2001 , 188  p. ( ISBN   3-540-42821-6 , lire en ligne )
• (en) E. W. Kamen , ≪  A Note on the Representation and Realization Lumped-Distributed Networks, Delay-Differential Systems, and 2-D Systems  ≫, IEEE Trans. Circuits Syst. , vol.  27,‎ 1980 , p.  430-432
• Sandrine Le Ballois et Pascal Codron , Automatique : systemes lineaires et continus , Paris, Dunod, 2006 , 2 ^e   ed. , 300  p. ( ISBN   2-10-049732-4 )
• (en) A. G. J. MacFarlane et N. Karcanias , ≪  Poles and zeros of linear multivariable systems: a survey of the algebraic, geometric and complex-variable theory  ≫, International Journal of Control , vol.  24, n ^o  1,‎ 1976 , p.  33-74
• (en) S. K. Mitra et M. P. Ekstrom (eds.), Two-Dimensional Digital Signal Processing , Dowden, Hutchingon & Ross, 1978 ( ISBN   0-87933-320-0 )
• Hugues Mounier , Proprietes structurelles des systemes lineaires a retards : aspects theoriques et pratiques : These de Docteur en Sciences , Universite Paris Sud, 24 octobre 1995
• (en) J. F. Pommaret , Partial Differential Control Theory , vol.  1 et 2, Kluwer Academic Publishers, 2001 ( ISBN   0-7923-7037-6 )
• (en) P. Rocha et J. C. Willems , ≪  Behavioral Controllability of Delay-Differential Systems  ≫, SIAM J. Control Opt. , vol.  35, n ^o  1,‎ 1997 , p.  254-264
• (en) C. B. Schrader et M. K. Sain , ≪  Research on system zeros: a survey  ≫, International Journal of Control , vol.  50, n ^o  4,‎ 1989 , p.  1407-1433
• (en) Eva Zerz , Topics in Multidimensional Linear Systems Theory , Springer, 2003 , 174  p. ( ISBN   1-85233-336-7 , lire en ligne )

Voir aussi [ modifier | modifier le code ]

Articles connexes [ modifier | modifier le code ]

• Reponse impulsionnelle
• Systeme lineaire
• Transformee de Laplace
• Transformee bilaterale de Laplace
• Transformee en Z
• Representation d'etat
• Bloc fonctionnel

Liens externes [ modifier | modifier le code ]

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