En geometrie , un cercle circonscrit a un polygone est un cercle qui passe par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible ou parfois de polygone cyclique . Les sommets sont alors cocycliques , c'est-a-dire situes sur un meme cercle. Si le polygone n'est pas aplati, ce cercle est unique et son centre est le point de concours des mediatrices des cotes .

Un polygone n'a pas necessairement de cercle circonscrit, mais les triangles , les rectangles et les polygones reguliers sont tous inscriptibles.

Cas particuliers [ modifier | modifier le code ]

Triangle [ modifier | modifier le code ]

Tout triangle non aplati est inscriptible.

Rayon du cercle

On considere un triangle non plat ABC , ou les angles sont designes par les minuscules grecques et les cotes opposes aux angles par la minuscule latine correspondante :

• a = BC et α , l'angle forme par [ AB ] et [ AC ] ;
• b = AC et β , l’angle forme par [ BA ] et [ BC ] ;
• c = BA et γ , l’angle forme par [ CA ] et [ CB ].

R est le rayon du cercle circonscrit, S l'aire du triangle ABC .

Alors, d'apres la loi des sinus , on a :

${\displaystyle \,{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R.}$

Ce qui permet de determiner le rayon du cercle circonscrit :

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {BC}{2\sin {\widehat {BAC}}}}.}$

Triangle rectangle [ modifier | modifier le code ]

• Le cercle circonscrit a un triangle rectangle a la particularite d'admettre pour diametre l' hypotenuse de ce triangle rectangle. Le centre du cercle circonscrit se trouve donc au milieu de l'hypotenuse. Son rayon vaut :

${\displaystyle R={{\text{hypotenuse}} \over 2}={{\sqrt {{\text{cote oppose}}^{2}+{\text{cote adjacent}}^{2}}} \over 2}.}$

• Tout triangle inscrit dans un cercle et dont le plus long cote est un diametre de ce cercle est un triangle rectangle, d'apres le theoreme de Thales sur le cercle .

Remarque : avec ces notations, une equation barycentrique du cercle circonscrit a ce triangle est

${\displaystyle a^{2}YZ+b^{2}ZX+c^{2}XY=0}$.

Triangle tangentiel [ modifier | modifier le code ]

Pour un triangle ABC, de cercle circonscrit (c), les tangentes a (c) en A , B , C forment un triangle T ₁ T ₂ T ₃ dit tangentiel de ABC.

Les symedianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.
Elles sont concourantes et leur point de concours est le point de Lemoine .

Quadrilatere [ modifier | modifier le code ]

Un quadrilatere est inscriptible si, et seulement si, deux angles opposes sont egaux ou supplementaires :

• un quadrilatere croise est inscriptible si, et seulement si, deux angles opposes sont egaux.
• un quadrilatere convexe est inscriptible si, et seulement si, deux angles opposes sont supplementaires.

Theoreme de Ptolemee  : un quadrilatere convexe est inscriptible si, et seulement si, le produit des longueurs des diagonales est egal a la somme des produits des longueurs des cotes opposes

Rectangle [ modifier | modifier le code ]

Tout rectangle (et donc tout carre ) possede un cercle circonscrit dont le centre se trouve a l'intersection de ses diagonales, et dont le rayon vaut, comme pour le triangle rectangle :

${\displaystyle R={{\sqrt {{\text{Longueur}}^{2}+{\text{largeur}}^{2}}} \over 2}\,}$

Pour le cas du carre, Longueur = largeur donne :

${\displaystyle R={{\sqrt {{\text{Longueur}}^{2}+{\text{Longueur}}^{2}}} \over 2}={\text{Longueur}}\cdot {{\sqrt {2}} \over 2}\,}$

Cette propriete derive de celle du triangle, par symetrie.

Losange [ modifier | modifier le code ]

Un losange qui n'est pas un carre ne possede pas de cercle circonscrit.

Parallelogramme [ modifier | modifier le code ]

Un parallelogramme qui n'est pas un rectangle ne possede pas de cercle circonscrit.

Hexagone regulier [ modifier | modifier le code ]

L' hexagone regulier est circonscrit par un cercle de rayon mesurant la longueur d'un cote.

Cette propriete permet de tracer facilement un hexagone regulier avec une regle et un compas .

Proprietes des polygones inscriptibles [ modifier | modifier le code ]

Un polygone inscriptible ayant un nombre impair de cotes a tous ses angles egaux si et seulement s'il est regulier .

Un polygone inscriptible ayant un nombre pair de cotes a tous ses angles egaux si et seulement si les longueurs des cotes sont egales de deux en deux (par exemple les cotes numerotes 1, 3 , 5... sont de meme longueur, et de meme les cotes 2, 4, 6... ) ^{[ 1 ]} .

Pour un polygone inscriptible ayant un nombre pair de cotes, les deux sommes des angles de deux en deux sont egales, (autrement dit, la somme des premier, troisieme, cinquieme, etc. angles est egale a celle du deuxieme, quatrieme, sixieme, etc.). On peut le demontrer par recurrence a partir du cas n = 4, en notant que pour passer du cas n au cas n + 2, on remplace un cote par trois nouveaux cotes ; ces quatre segments formant un quadrilatere inscriptible (verifiant lui-meme la propriete), les nouvelles sommes de deux en deux viennent s'ajouter aux sommes de deux en deux precedentes des angles du n -gone.

Etant donne un polygone a n cotes inscrit dans un cercle, et un polygone a n cotes dont chaque cote est tangent a ce cercle en un des sommets du polygone inscrit, pour tout point P du cercle, le produit des distances de P aux cotes du premier polygone est egal au produit des distances de P aux cotes du second ^{[ 2 ]} .

Le cercle circonscrit dans la culture [ modifier | modifier le code ]

Dans le roman Aneantir de Michel Houellebecq, le personnage Durand declare : ≪ Par deux points quelconques, on peut toujours faire passer un cercle ; mais ce n'est en general pas le cas des ensembles de trois points : une petite minorite seulement ≫ ^{[ 3 ]} , meconnaissant l'inscriptibilite de tous les triangles non aplatis ( ≪ ensembles de trois points ≫ ).

Bibliographie [ modifier | modifier le code ]

• Jean-Denis Eiden, Geometrie analytique classique , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN   978-2-916352-08-4 )
• Petite encyclopedie de mathematique , ed. Didier
• Jean Fresnel, Methodes modernes en geometrie
• Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives , C&M ( ISBN   978-2-916352-12-1 )

Voir aussi [ modifier | modifier le code ]

• Cercle inscrit
• Cercle d'Euler
• Polygone bicentrique
• Porisme de Poncelet
• Sphere circonscrite
• Probleme du cercle minimum

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