Appui (statique)

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Poutres sur deux appuis; a gauche : appui fixe  ; a droite : appui mobile
L'appui sur les pointes des triangles montre que l'appui ne s'oppose pas aux couples et permet donc les rotations. Les petits cercles sur les pointes indiquent que l'appui doit etre considere comme un palier pivotant .

Les appuis au sens de la statique ou de l' ingenierie des structures sont des connexions ou liaisons abstraites entre un corps rigide ( ouvrage porteur ) et son environnement, a l'aide desquelles les mouvements du corps sont limites et les forces sont absorbees. Les amplitudes de force emanant de l'appui, qui contrecarrent les forces et les moments du corps sont appelees reactions d'appuis (voir aussi action et reaction ).

Les appuis qui relient deux structures de carrosserie entre elles, sont appeles liaisons [ 1 ] . Ce n'est que si une structure est statiquement determinee que les forces aux appuis et les reactions basees sur les differentes charges peuvent etre calculees. Une structure est determinee statiquement si elle ne peut pas etre facilement deplacee par des forces externes (statiquement sous-determinees) ou si des forces externes conduisent a des deformations (statiquement surdeterminees). Par exemple, une barre encastree des deux cotes se deforme lorsque le materiau chauffe et se dilate car aucune des encastrements des deux cotes ne cede.

Les appuis different par leur capacite a absorber differentes forces de base ( Grundkrafte ). Dans l'espace 2D, il y en a jusqu'a trois, car chaque charge qui agit sur un appui peut etre decomposee en forces horizontales, forces verticales et moment   (de) (couples) (voir aussi parallelogramme de force ) .

En trois dimensions, il existe jusqu'a six forces de base, a savoir 3 forces de translation   (de) dans les directions des axes respectives, ainsi qu'un moment autour de l'axe correspondant. Un appui peut donc avoir une valeur comprise entre 1 et 6 en trois dimensions.

Un appui capable d'absorber toutes les forces qui se produisent est appele encastrement .

Types d'appuis [ modifier | modifier le code ]

Types d'appui 2D [ modifier | modifier le code ]

symbole Condition aux limites en x Condition aux limites en z Condition aux limites autour de y Valeur
Variante d'encastrement
N=0 V=0 φ=0 1 (M)
Appui elastique ou a ressort
N=0 V = k w M=0 1 (V)
Appui mobile  ; possibilite de mouvement horizontale
N=0 w=0 M=0 1 (V)
Encastrement coulissant
N=0 w=0 φ=0 2 (V,M)
Ressort de torsion
N=0 V=0 M = c φ 1 (M)
Appui mobile ; possibilite de mouvement verticale
u=0 V=0 M=0 1 (N)
Encastrement ;

possibilite de mouvement verticale

u=0 V=0 φ=0 2 (N,M)
Appui fixe
u=0 w=0 M=0 2 (N,V)
Encastrement
u=0 w=0 φ=0 3 (N,F,M)
Appui mobile incline
N+V=0,  tu = w M=0 1 (N/F)

Tous les appuis du tableau sont definis dans le systeme de coordonnees des barres et peuvent etre orientes arbitrairement dans un systeme de coordonnees global. L'appui incline dans le systeme de coordonnees de la barre est destine a illustrer a titre d'exemple que tous les appuis peuvent etre utilises dans n'importe quelle orientation. Une possibilite de translatabilite est symbolisee par une double ligne, une possibilite de liaison par le cercle a la pointe d'un triangle. En realite, tous les appuis sont flexibles et correspondent a un appui a ressort. En construction mecanique, les barres sont generalement appuyees d'une maniere statiquement determinee, de sorte que les tassements et la rigidite d'un appui n'ont aucun effet et peuvent donc etre considerees comme un appui rigide.

Cependant, dans la construction, les structures porteuses sont generalement surdeterminees statiquement . Dans le calcul statique des sous-systemes, la flexibilite des appuis est souvent simplement supposee rigide. Dans le calcul statique, des appuis d'encastrement, fixes et mobiles horizontalement apparaissent souvent. Etant donne que les dalles de plancher s'etendent generalement selon deux axes, un calcul tridimensionnel est souvent necessaire. En termes tridimensionnels, les symboles d'appui 2D sont souvent adoptes de maniere analogue ; comme cela n'est souvent pas clair, les conditions aux limites et de transition sont souvent decrites ici.

Types de appuis 3D [ modifier | modifier le code ]

Puisqu'il existe six forces de base en trois dimensions, il existe davantage de types d'appuis differents selon les combinaisons possibles de forces de base - depuis l'appui de la plus haute qualite, l'encastrement d'une valeur de 6, jusqu'a l'appui fixe, qui ne peut absorber que les forces verticales (poids) (≪ dans le ≪ sol ≫).

Un tube, qui sert par exemple d'appui a une tige ronde guidee a travers lui, permet d'une part un deplacement dans l'axe du tube et, d'autre part, une rotation autour de l'axe du tube. Etant donne que les quatre autres forces de base sur six peuvent etre absorbees par le tube (mouvement selon deux axes et rotation autour de deux axes), il s'agit d'un appui a quatre valeurs.

Calcul des reactions des appuis [ modifier | modifier le code ]

Pour une structure determinee statiquement, les forces portantes peuvent etre calculees a l'aide des conditions d'equilibre :

Les equations expriment que les sommes de toutes les forces horizontales, forces verticales et moments (y compris les forces portantes) doivent etre egales a zero pour un corps au repos. Les forces d'appui individuelles sont calculees en resolvant ce systeme d'equations.

Dans l'exemple qui suit, les symboles d'appuis suivants sont utilises [ Note 1 ]
Encastrement Encastrement coulissant Appuis fixe Appui mobile Encastrement vertical
Appui zentriert zentriert zentriert zentriert zentriert
Reaction d'appui zentriert zentriert zentriert zentriert zentriert

Exemple [ modifier | modifier le code ]

La poutrelle non chargee illustree est soutenue par un appui fixe A a gauche et un appui mobile B a droite. Une force F agit sur le cote droit. Puisque A est un appui fixe, l'appui A peut absorber a la fois les forces horizontales et verticales. L'appui B, appui mobile, ne peut absorber que les forces verticales.


Premierement, la structure porteuse est ≪ decoupee ≫. Pour ce faire, on remplace les appuis par les forces qu'ils peuvent appuyer et divisez chaque force d'attaque en ses composants respectifs par rapport au appui. Dans ce cas, il s'ensuit et .


Cela signifie que les conditions d’equilibre suivantes peuvent maintenant etre etablies.

La somme de toutes les forces horizontales est :

est ainsi . Comme donne ici une valeur negative, la direction de la force supposee dans l'image est graphiquement mal choisie ; la force d'appui reelle pointe dans la direction opposee..

La somme de toutes les forces verticales est :

Cette equation a deux inconnues ne peut etre resolue qu’en etablissant en plus l’equilibre des moments. En principe, cela peut etre fait a tout moment. Le moment d’equilibre autour du support B est choisi dans l’equation suivante :

Notez que les deux forces sont repertoriees comme positives, meme si elles pointent dans des directions differentes, car les deux forces produisent un couple dans le sens des aiguilles d'une montre dans la poutre (si l'equilibre des moments etait etabli autour de l'appui A, les forces produiraient des couples dans des directions opposees). La resolution de l’equation donne  :

Ici aussi, la force dans le l'appui A est negative. L'appui maintient donc la poutre vers le bas grace a la force d'appui. Si l'appui n'est pas en mesure de le faire, la poutre s'inclinera et tournera autour du point B. Au cours de l'analyse, il faut veiller a ce que le modele statique represente intuitivement la realite, sinon il faut etre conscient des erreurs du modele.

Avec le resultat pour peut etre calcule en inserant :

Encastrement fixe et coulissant [ modifier | modifier le code ]

Un encastrement (fixe) est un appui qui empeche les deplacements dans les trois directions ainsi que les rotations autour des trois axes au point d'appui.

Un appui mobile sur le pilier central d'un pont ferroviaire. Le tablier repose sur des rouleaux en acier.

Un encastrement coulissant est un guide coulissant   (de) qui permet des deplacements (generalement dans une ou deux directions), mais aucune des trois rotations dans le point d'appui.

Appui fixe et appui mobile [ modifier | modifier le code ]

Un appui fixe empeche tout deplacement et permet une ou plusieurs rotations au point d'appui.Pour empecher un corps de tourner ou de s'incliner, il doit etre appuye a au moins un autre endroit du plan et a au moins deux autres endroits dans l'espace en plus de l'appui fixe [ 2 ] .

Un appui mobile peut etre (dans le cas d'un arbre rotatif), egalement appele palier lisse . Il empeche un ou deux deplacements (y compris generalement le deplacement provoque par le poids) et autorise les autres deplacements et une ou plusieurs rotations dans le point d'appui [ 2 ] .

Les termes appuis fixes et mobile sont generalement utilises ensemble. Par exemple, un arbre rotatif est generalement concu avec un roulement mecanique ou un palier lisse immobile comme appui fixe pour empecher l'ensemble de l'arbre de bouger. Cependant, d'autres appuis d'arbre sont concus comme des appuis mobiles afin d'eviter les contraintes (voir aussi zwangung ) axiales dues a la dilatation thermique de l'arbre lors des changements de temperature. Pour la meme raison, des appuis fixes et mobiles sont utilises dans la construction de ponts .

Une conception determinee statiquement grace a la disposition appropriee des appuis fixes et mobiles peut etre facilement calculee, car il n'est pas necessaire de prendre en compte les forces et moments supplementaires provoques par les contraintes forcees dans les appuis, comme celles qui surviennent lorsque des structures statiquement surdeterminees sont chargees.

Les appuis fixes et mobiles avec liaisons sont egalement appeles liaison fixes ou mobiles .

Voir aussi [ modifier | modifier le code ]

Articles connexes [ modifier | modifier le code ]

Liens externes [ modifier | modifier le code ]

Bibliographie [ modifier | modifier le code ]

  • Dietmar Gross, Werner Hauger, Jorg Schroder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik 1. Springer, 2019, doi:10.1007/978-3-662-59157-4. 

Notes et references [ modifier | modifier le code ]

Notes [ modifier | modifier le code ]

  1. Le tableau presente tous les types d'appui 2D courants par ordre decroissant de valeur.. La mobilite est visualisee par une double ligne, tandis que la possibilite de rotation est marquee par une pyramide et une pointe en cercle.

References [ modifier | modifier le code ]

  1. Baustatik 1 ? Gelenke , In: Ingenieurkurse.de; abgerufen im Marz 2020.
  2. a et b Bernd Markert : Mechanik 1, Stereostatik, Statik starrer Korper. Aachen 2014, S. 73?77.