Pour les articles homonymes, voir Alignement .

En geometrie , l’ alignement est une propriete satisfaite par certains familles de points , lorsque ces derniers appartiennent collectivement a une meme droite .

Deux points etant toujours alignes en vertu du premier axiome d’Euclide , la notion d’alignement ne presente d’interet qu’a partir d’une collection de trois points.

Caracterisation [ modifier | modifier le code ]

En geometrie euclidienne , l’alignement peut etre caracterise par un cas d'egalite de l’ inegalite triangulaire  : trois points sont alignes si l’un d’entre eux (que l’on peut noter B ) appartient au segment joignant les deux autres (notes A et C ), autrement dit si les distances satisfont la relation A B + B C = A C .

En geometrie affine , des points sont alignes si et seulement si les vecteurs qui les relient sont colineaires ^{[ 1 ]} .

En geometrie analytique , trois points du plan A , B , C sont alignes si et seulement si la matrice suivante n’est pas inversible  :

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&x_{A}&y_{A}\\1&x_{B}&y_{B}\\1&x_{C}&y_{C}\end{matrix}}\right)}$.

Plus generalement, etant donnes n points de R ^p reperes par des vecteurs de coordonnees ( x _{i ,1} , … , x _{i , p} ) , les points sont alignes si et seulement si la matrice suivante est de rang 2 :

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&x_{1,1}&\dots &x_{1,p}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\1&x_{n,1}&\dots &x_{n,p}\end{matrix}}\right)}$.

Resultats mathematiques [ modifier | modifier le code ]

La droite d'Euler est definie par l’alignement du centre de gravite d'un triangle , son orthocentre et le centre du cercle circonscrit .

Le theoreme de Sylvester-Gallai stipule que pour tout ensemble fini de points du plan, si les points ne sont pas tous alignes alors il existe une droite qui passe seulement par deux d’entre eux.

Applications [ modifier | modifier le code ]

Dans un milieu homogene et isotrope, la propagation de la lumiere en ligne droite permet de verifier un alignement a l’ œil nu .

Les eclipses et autres transits astronomiques sont des phenomenes d’alignement entre le Soleil , la Terre et la Lune ou d’autres planetes.

De nombreux jeux de plateau comme les dames , l’ etoile chinoise ou le morpion ont des regles reposant sur l’alignement de pieces.

Notes et references [ modifier | modifier le code ]

Articles connexes [ modifier | modifier le code ]

• Droite
• Geometrie affine
• Colinearite
• Coplanarite

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