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En mathematiques , une equation differentielle est une equation dont la ou les ≪ inconnue(s) ≫ sont des fonctions  ; elle se presente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs derivees successives. C'est un cas particulier d' equation fonctionnelle .

Une equation differentielle permet de modeliser des situations tres diverses dans lesquelles la vitesse de variation d'une quantite est proportionnelle a cette meme quantite. En physique on peut notamment grace aux equations differentielles modeliser le nombre de noyaux instables a un instant precis grace a la loi de decroissance radioactive ou encore modeliser l'evolution de la temperature d'un systeme incompressible en fonction du temps avec la loi de refroidissement Newton en thermodynamique.

On distingue generalement deux types d'equations differentielles :

• les equations differentielles ordinaires (EDO) ou la ou les fonctions inconnues recherchees ne dependent que d'une seule variable ;
• les equations differentielles partielles, plutot appelees equations aux derivees partielles (EDP), ou la ou les fonctions inconnues recherchees peuvent dependre de plusieurs variables independantes.

Sans plus de precision, le terme equation differentielle fait le plus souvent reference aux equations differentielles ordinaires. Et il y a l' equation differentielle raide dont la sensibilite aux parametres va rendre difficile la resolution par des methodes numeriques explicites.

On rencontre egalement d'autres types d'equations differentielles (liste non exhaustive) :

• les equations integro-differentielles qui font intervenir les derivees de fonction(s) et ses/leurs integrale(s) ou ≪ primitives ≫  ;
• les equations differentielles holomorphes (EDH) ou la ou les fonctions inconnues dependent d'une seule variable complexe  ;
• les equations differentielles stochastiques (EDS) ou un ou plusieurs termes de l'equation differentielle sont des processus stochastiques  ;
• les equations differentielles abstraites   (en) (EDA) ou les fonctions inconnues et leurs derivees prennent leurs valeurs dans des espaces fonctionnels abstraits ( espace de Hilbert , espace de Banach ,  etc. ) ;
• les equations differentielles a retard (EDR) dans lesquelles la derivee de la fonction inconnue a un moment donne est exprimee selon les valeurs de la fonction aux temps precedents.

La theorie de Galois differentielle etudie les equations differentielles a l'aide de methodes algebriques.

Article connexe [ modifier | modifier le code ]

• Parcours des equations differentielles
• Equation differentielle lineaire
• Equation differentielle lineaire d'ordre un
• Equation differentielle lineaire d'ordre deux

Liens externes [ modifier | modifier le code ]

• (en) Eric W. Weisstein , ≪  Differential Equation  ≫, sur MathWorld
• (fr) Quelques situations modelisables par des equations differentielles , sur l'Universite des sciences en ligne

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