Este articulo o seccion tiene referencias , pero necesita mas para complementar su verificabilidad . Busca fuentes: ≪Multiplicacion≫ – noticias  · libros  · academico  · imagenes Este aviso fue puesto el 19 de diciembre de 2018.

la multiplicacion es una operacion binaria y derivada de la suma que se establece en un conjunto numerico. ^{[ 2 ]} ​ En aritmetica , es una de las cuatro operaciones elementales, junto con la suma , la resta y la division , y es la operacion inversa de esta ultima. Esto significa que para toda multiplicacion existe una division ; por ejemplo, para la multiplicacion ≪ ${\displaystyle 5\cdot 2=10}$≫ las divisiones equivalentes son ≪ ${\displaystyle 10\div 2=5}$≫, o ≪ ${\displaystyle 10\div 5=2}$≫

Existen dos signos para indicar esta operacion entre numeros naturales : el aspa "×" y el punto gordo a media altura (?). En el caso de variables representadas por letras (solo letras o mezcla) se usa el punto (no el aspa) pero se puede prescindir de el por ejemplo: ${\displaystyle 3ab}$ (se lee ≪tres a b≫), ${\displaystyle xy+2y}$ (se lee ≪equis y mas dos y≫)

Multiplicar una cantidad por un numero consiste en sumar dicha cantidad tantas veces como indica el numero. ^{[ 3 ]} ​ Asi, ${\displaystyle 4\cdot 3}$ (lease ≪cuatro multiplicado por tres≫ o, simplemente, ≪cuatro por tres≫) es igual a sumar tres veces el numero: ${\displaystyle 4+4+4}$^{[ 4 ]} ​ ^{(nota [ 5 ] ​)} Tambien se puede interpretar como 3 filas de 4 objetos, o 4 filas de 3. 4 y 3 son los factores, y 12, el resultado de la operacion, o sea el producto. ^{[ 6 ]} ​ La multiplicacion esta asociada al concepto de area geometrica : es facil ver que el area de un rectangulo se obtiene multiplicando la longitud de ambos lados, basta con imaginarnos la superficie cubierta con baldosas cuadradas. ^{[ 7 ]} ​ Podemos multiplicar dos numeros o mas, y da igual en que orden efectuemos la operacion o como agrupemos los numeros; siempre se obtendra el mismo resultado:

${\displaystyle 3\cdot 4\cdot 5=5\cdot 3\cdot 4=4\cdot 5\cdot 3=12\cdot 5=15\cdot 4=20\cdot 3=60}$

El resultado de la multiplicacion de dos o mas numeros se llama producto . Los numeros que se multiplican se llaman factores o coeficientes , e individualmente: multiplicando (numero a sumar o numero que se esta multiplicando) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Esta diferenciacion tiene poco sentido cuando, en el conjunto donde este definido el producto, se da la propiedad conmutativa de la multiplicacion (por ejemplo, en los conjuntos numericos: ${\displaystyle 3\cdot 7=7\cdot 3}$, es decir, el orden de los factores no altera el producto ). Sin embargo puede ser util si se usa para referirse al multiplicador de una expresion algebraica (ej: en

${\displaystyle a^{2}b+a^{2}b+a^{2}b}$ o ${\displaystyle 3a^{2}b}$,

3 es el multiplicador o coeficiente , mientras que el monomio ${\displaystyle a^{2}b}$ es el multiplicando).

La potenciacion es un caso particular de la multiplicacion donde el exponente indica las veces que debe multiplicarse un numero por si mismo. Ejemplo: 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? = 2 ⁶ = 64

Aqui, 6 es el exponente, y 2 la base.

En algebra moderna se suele usar la denominacion ≪cociente≫ o ≪multiplicacion≫ con su notacion habitual ≪·≫ para designar la operacion externa en un modulo , para designar tambien la segunda operacion que se define en un anillo (aquella para la que no esta definido el elemento inverso del 0), o para designar la operacion que dota a un conjunto de estructura de grupo . La operacion inversa de la multiplicacion es la division . ^{[ 8 ]} ​

Notacion [ editar ]

La multiplicacion se indica con un aspa (×) o con un punto (?). En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco (*), sobre todo en computacion (este uso tiene su origen en FORTRAN ), pero esta desaconsejado en otros ambitos y solo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa. A veces se utiliza la letra equis ( X x ), pero esto es desaconsejable porque crea una confusion innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incognita en una ecuacion . Por ultimo, se puede omitir el signo de multiplicacion a menos que se multipliquen numeros o se pueda generar confusion sobre los nombres de las incognitas, constantes o funciones (por ejemplo, cuando el nombre de alguna incognita tiene mas de una letra y podria confundirse con el producto de otras dos). Tambien suelen utilizarse signos de agrupacion como parentesis ( ), corchetes [ ], llaves { } o barra | |. Esto mayormente se utiliza para multiplicar numeros negativos entre si o por numeros positivos. ^{[ 9 ]} ​

Si los factores no se escriben de forma individual pero pertenecen a una lista de elementos con cierta regularidad se puede escribir el producto mediante una elipsis , es decir, escribir explicitamente los primeros terminos y los ultimos, (o en caso de un producto de infinitos terminos solo los primeros), y sustituir los demas por unos puntos suspensivos . Esto es analogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos numeros (como las sumas).

Asi, el producto de todos los numeros naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100}$

mientras que el producto de los numeros pares del entre 1 y 100 se escribiria:

${\displaystyle 2\cdot 4\cdot 6\cdots 100}$.

Esto tambien se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media de la linea de texto:

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100}$

En cualquier caso, deben estar claros cuales son los terminos omitidos.

Por ultimo, se puede denotar el producto mediante el simbolo productorio , que proviene de la letra griega Π ( Pi mayuscula ).

Esto se define asi:

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.}$

El subindice ${\displaystyle i\,}$ indica una variable que recorre los numeros enteros desde un valor minimo ( ${\displaystyle m\,}$, indicado en el subindice) y un valor maximo. ( ${\displaystyle n\,}$, indicado en el superindice ).

Definicion [ editar ]

La multiplicacion de dos numeros enteros n y m se expresa como:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}m=mn}$

Esta no es mas que una forma de simbolizar la expresion ≪sumar m a si mismo n veces≫. Puede facilitar la comprension al expandir la expresion anterior:

${\displaystyle mn=\underbrace {m+\cdots +m} _{n}}$,

tal que hay n sumandos. Asi, por ejemplo:

• ${\displaystyle 5\times 2=5+5=10}$
• ${\displaystyle 2\times 5=2+2+2+2+2=10}$
• ${\displaystyle 4\times 3=4+4+4=12}$
• ${\displaystyle m\times 6=m+m+m+m+m+m=6m}$
• ${\displaystyle m\times 5=m+m+m+m+m=5m}$

El producto de infinitos terminos se define como el limite del producto de los n primeros terminos cuando n crece indefinidamente.

Definicion recursiva [ editar ]

En el caso de la multiplicacion de numeros naturales ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3....,n,...\}}$ puede aplicarse la definicion recursiva de la multiplicacion , que comprende estos dos pasos:

${\displaystyle m\times 0=0}$

${\displaystyle m(n+1)=(mn)+m}$

Donde m y n son numeros naturales, el principio de induccion se aplica sobre el numero n , que inicialmente es n = 0, luego asumiendo que es cierto para n , se infiere que tambien se cumple para n+1 . ^{[ 10 ]} ​

Se deducen las siguientes proposiciones basicas:

Existencia del elemento identidad, ${\displaystyle n\cdot 1=n}$ todo numero natural n.

Propiedad asociativa, ${\displaystyle (m\cdot n)\cdot p=m\cdot (n\cdot p)}$ para cualesquier m, n, p numeros naturales

Propiedad conmutativa: ${\displaystyle m\cdot n=n\cdot m}$, para n y n cualesquier numero natural.

Propiedad distributiva respecto a la adicion: ${\displaystyle m\cdot (l+n)=m\cdot l+m\cdot n=(l+n)\cdot m}$

No hay divisores de cero: ${\displaystyle m\cdot n=0}$ implica que por lo menos uno de los factores es igual a cero. ^{[ 11 ]} ​

Para indicar el producto de dos numeros naturales se usa un punto entre los dos factores, un aspa entre ellos, la simple yuxtaposicion de los factores literales o, un factor y el otro en parentesis o los dos factores en parentesis

Producto de numeros enteros [ editar ]

Es un numero entero ${\displaystyle m}$ que se calcula tal como sigue:

Si ${\displaystyle n>0}$ y ${\displaystyle p>0}$ entonces ${\displaystyle m=n\cdot p}$ , factores positivos.

Si ${\displaystyle n<0}$ y ${\displaystyle p<0}$ entonces m = |n| |p| , factores negativos.

Si ${\displaystyle n>0}$ y ${\displaystyle p<0}$ o ${\displaystyle n<0}$ y ${\displaystyle p>0}$ entonces m = -|n| |p| , un factor positivo y el otro negativo.

Si ${\displaystyle n=0}$ y ${\displaystyle p=0}$ entonces ${\displaystyle m=0=n\cdot p}$. Al menos un factor cero.

El producto de los enteros se basa en el producto de los numeros naturales y se toma en cuenta el valor absoluto. ^{[ 12 ]} ​

Producto de fracciones [ editar ]

La fraccion ${\displaystyle {\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}}$ es el producto de las fracciones ${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}}$ y ${\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}}$ que cumplen la igualdad

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}\cdot {\frac {p_{2}}{q_{2}}}={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}}$

. Se asume que ${\displaystyle q_{1}\neq 0,q_{2}\neq 0}$. ^{[ 13 ]} ​

Producto de raices [ editar ]

Se cumple la siguiente propiedad de producto de raices :

La raiz de un producto es igual al producto de las raices de los factores nombrados anteriormente. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{{a}\cdot {b}}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}}$

Propiedades [ editar ]

Para los numeros naturales, enteros, fracciones y numeros reales y complejos, la multiplicacion tiene ciertas propiedades:

Propiedad de cerradura

La multiplicacion de dos o mas numeros naturales nos da como resultado otro numero natural ejemplo: 33*2=66

Propiedad conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$

Propiedad asociativa

Unicamente expresiones de multiplicacion o adicion son invariantes con respecto al orden de las operaciones.

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$

Propiedad distributiva

El total de la suma de dos numeros multiplicado por un tercer numero es igual a la suma de los productos entre el tercer numero y cada sumando.

${\displaystyle x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)}$

Elemento identidad (neutro)

La identidad multiplicativa es 1; el producto de todo numero multiplicado por 1 es si mismo. Esto se conoce como la propiedad de identidad.

${\displaystyle x\cdot 1=x}$

Elemento cero (absorbente)

Cualquier numero multiplicado por cero da como producto cero. Esto se conoce como la propiedad cero de la multiplicacion.

${\displaystyle x\cdot 0=0}$

${\displaystyle 0\cdot x=0}$

Negacion

Menos uno multiplicado por cualquier numero es igual al opuesto de ese numero.

${\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}$

Menos uno multiplicado por menos uno es uno.

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}$

El producto de numeros naturales no incluye numeros negativos.

Elemento inverso

Todo numero x , excepto cero, tiene un inverso multiplicativo , ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$, tal que ${\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$.

Producto de numeros negativos [ editar ]

El producto de numeros negativos tambien requiere reflexionar un poco. Primero, considerese el numero ?1. Para cualquier entero positivo m :

${\displaystyle (-1)m=(-1)+(-1)+...+(-1)=-m}$

Este es un resultado interesante que muestra que cualquier numero negativo no es mas que un numero positivo multiplicado por ?1. Asi que la multiplicacion de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicacion de enteros positivos y factores ?1. Lo unico que queda por definir es el producto de (?1)(?1):

${\displaystyle (-1)(-1)=-(-1)=1}$

De esta forma, se define la multiplicacion de dos enteros . Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vez mayores de numeros : primero el conjunto de las fracciones o numeros racionales , despues a todos los numeros reales y finalmente a los numeros complejos y otras extensiones de los numeros reales .

Si ambos factores tienen el mismo signo el producto sera positivo. Si los signos son diferentes, el producto sera negativo. Ejemplo:

${\displaystyle (-2)(-5)=10}$

${\displaystyle (-3)(5)=-15}$

Conexion con la geometria [ editar ]

Desde un punto de vista puramente geometrico, la multiplicacion entre 2 valores produce un area que es representable. Del mismo modo el producto de 3 valores produce un volumen igualmente representable.

Extensiones [ editar ]

En matematicas, producto es sinonimo de multiplicacion .

Se denominan tambien producto ciertas operaciones binarias realizadas en contextos especializados.

• Producto escalar es una operacion binaria entre elementos de un espacio vectorial que tiene por resultado un elemento del campo subyacente. El caso mas relevante es el de producto punto .
• Producto vectorial o producto cruz es una operacion entre vectores de un espacio euclidiano tridimensional que tiene como resultado otro vector.
• Producto mixto o triple producto escalar es un producto que combina el producto vectorial y el escalar.
• Producto matricial es una operacion binaria entre matrices .
• Producto cartesiano es una operacion entre conjuntos cuyo resultado son pares ordenados de elementos respectivos.
• Topologia producto es una topologia construida en un producto cartesiano de espacios topologicos.
  • Topologia caja es otra topologia construida en un producto cartesiano de espacios topologicos que coincide con la anterior en productos finitos.
• Producto exterior es una generalizacion del producto vectorial.
• Producto directo es un abstraccion que permite definir estructuras algebraicas en productos de otros algebraicos (usualmente productos cartesianos)
• Productoria Notacion para denotar un producto arbitrario de terminos.
• Producto (teoria de categorias) es una generalizacion abstracta de los productos encontrados en diversas estructuras algebraicas.

El termino producto tambien se relaciona con

Regla del producto , un metodo para calcular la derivada de un producto de funciones.

• Principio del producto , uno de los principios fundamentales de conteo.
• Producto vacio es el producto de cero factores.

Vease tambien [ editar ]

• Suma
• Inverso multiplicativo
• Tabla de multiplicar
• Pitatoria
• Algoritmo de Booth
• Producto de matrices
• Potenciacion
• Factorizacion

Referencias [ editar ]

Enlaces externos [ editar ]

• Wikcionario tiene definiciones y otra informacion sobre multiplicacion .
• Generador de multiplicaciones en PDF para practicar con ellas.