David Hilbert
(
Konigsberg
,
Prusia Oriental
; 23 de enero de 1862-
Gotinga
,
Alemania
; 14 de febrero de 1943) fue un
matematico
aleman
, reconocido como uno de los mas influyentes del siglo
XIX
y principios del XX. Establecio su reputacion como gran matematico y cientifico inventando y desarrollando un gran abanico de ideas, como la
teoria de invariantes
, la
axiomatizacion de la geometria
y la nocion de
espacio de Hilbert
, uno de los fundamentos del
analisis funcional
. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matematica necesaria para la
mecanica cuantica
y la
relatividad general
. Fue uno de los fundadores de la
teoria de la demostracion
, la
logica matematica
y la distincion entre matematica y
metamatematica
. Adopto y defendio vivamente la teoria de conjuntos y los numeros transfinitos de
Georg Cantor
. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la
matematica
es su presentacion en 1900 de un
conjunto de problemas
abiertos que incidio en el curso de gran parte de la investigacion matematica del siglo
XX
.
Hilbert nacio en
Konigsberg
, en
Prusia Oriental
(actual
Kaliningrado
,
Rusia
). Se graduo en el
liceo
de su ciudad natal y se matriculo en la
Universidad de Konigsberg
(Albertina). En esta se doctoro en 1885, con una disertacion, escrita bajo la supervision de
Ferdinand von Lindemann
, titulada
Uber invariante Eigenschaften specieller binarer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen
(
Sobre las propiedades invariantes de
formas binarias
especiales, en particular las funciones circulares
).
Hermann Minkowski
coincidio con Hilbert, en la misma universidad y momento, como aspirante a doctor, y llegaron a ser amigos intimos, ejerciendo uno sobre el otro una influencia reciproca en varias ocasiones de sus carreras cientificas.
Hilbert trabajo como profesor en la Universidad de Konigsberg de 1886 a 1895, cuando, como resultado de la intervencion en su nombre de
Felix Klein
, obtuvo el puesto de Catedratico de Matematica en la
Universidad de Gottingen
, que en aquella fecha era el mejor centro de investigacion matematica en el mundo; aqui permaneceria el resto de su vida.
El teorema de finitud
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]
El primer trabajo de David Hilbert sobre funciones invariantes le llevo, en 1888, a la demostracion de su famoso teorema de finitud. Veinte anos antes,
Paul Gordan
habia demostrado el
teorema
de la finitud de generadores para formas binarias, usando un complejo enfoque computacional. Los intentos de generalizar este metodo a funciones con mas de dos variables fallaron por la enorme dificultad de los calculos implicados. Hilbert se dio cuenta de que era necesario seguir un camino completamente diferente. Como resultado, demostro el
teorema fundamental de Hilbert
: mostrar la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantes
cuanticas
en cualquier numero de variables, pero de forma abstracta. Esto es, demostro la existencia de dicho conjunto, pero no de forma algoritmica sino mediante un
teorema de existencia
.
Hilbert envio sus resultados a los
Mathematische Annalen
. Gordan, el experto en teoria de invariantes de los
Annalen
, no fue capaz de apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazo el articulo, criticando la exposicion porque era insuficientemente comprensiva. Su comentario fue: ≪Esto es teologia, ¡no matematica!≫
Klein, por otro lado, reconocio la importancia del trabajo y se aseguro de que fuese publicado sin alteraciones. Animado por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert extendio su metodo en un segundo articulo, proporcionando estimaciones sobre el grado maximo del conjunto minimo de generadores, y lo envio una vez mas a los
Annalen
. Tras leer el manuscrito, Klein le escribio, con estos terminos: ≪Sin duda este es el trabajo mas importante en algebra general que los
Annalen
ha publicado nunca≫. Mas adelante, cuando la utilidad del metodo de Hilbert habia sido reconocida universalmente, el propio Gordan diria: ≪He de admitir que incluso la teologia tiene sus meritos≫.
Axiomatizacion de la geometria
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]
El texto
Grundlagen der Geometrie
(
Fundamentos de la geometria
), que Hilbert publico en 1899, sustituye los tradicionales
axiomas de Euclides
por sistema formal de 21
axiomas
. Evitan las debilidades identificadas en los de
Euclides
, cuya obra clasica
Elementos
seguia siendo usada como libro de texto en aquel momento.
El enfoque de Hilbert marco el cambio al
sistema axiomatico
moderno. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. La geometria puede tratar de
cosas
, sobre las que tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar un significado explicito a los conceptos indefinidos. Como dice Hilbert, los elementos tales como el
punto
, la
recta
, el
plano
y otros, se pueden sustituir con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos. Lo que se discute y se desarrolla son sus relaciones definidas.
Hilbert comienza enumerando los conceptos sin definicion: punto, recta, plano, incidencia (una relacion entre puntos y planos), estar entre, congruencia de pares de puntos y
congruencia
de
angulos
. Los axiomas unifican la
geometria plana
y la
solida
de Euclides en un unico sistema.
Los 23 problemas
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]
Hilbert propuso una lista amplia de
23 problemas no resueltos
en el
Congreso Internacional de Matematicos
de
Paris
en 1900. Se reconoce de forma general que esta es la recopilacion de problemas abiertos mas exitosa y de profunda consideracion producida nunca por un unico matematico.
Tras reescribir los fundamentos de la
geometria clasica
, Hilbert podia haberlo extrapolado al resto de las matematicas. Este enfoque difiere, sin embargo, de los posteriores ≪
logicistas
≫ Russell-Whitehead o el ≪
formalismo matematico
≫ de su contemporaneo
Giuseppe Peano
y mas recientemente del ≪
conjunto de matematicos
≫
Nicolas Bourbaki
. La comunidad matematica al completo podria embarcarse en problemas que el identifico como aspectos cruciales en las areas de la matematica que el considero como claves.
Lanzo el conjunto de problemas en la conferencia "Los problemas de la matematica" presentada durante el curso del Segundo Congreso Internacional de Matematicos celebrado en Paris. Esta es la introduccion a la conferencia de Hilbert:
- ≪¿Quien entre nosotros no estaria contento de levantar el velo tras el que se esconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos que sigan? ¿Cual sera el objetivo hacia el que tendera el espiritu de las generaciones futuras de matematicos? ¿Que metodos, que nuevos hechos revelara el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matematico?≫
Presento menos de la mitad de los problemas en el Congreso, que fueron publicados en las actas. Extendio el panorama en una publicacion posterior, con ella llego la formulacion canonica actual de los 23 Problemas de Hilbert. El texto al completo es importante, dado que la exegesis de las cuestiones puede seguir siendo materia de debate inevitable, cada vez que se preguntan cuantas han sido resueltas:
1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cual es el cardinal del continuo?
2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmetica. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmetica?
3. La igualdad de los volumenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
4. El problema de la distancia mas corta entre dos puntos. ¿Es la linea recta la distancia mas corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometria?
5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
6. Axiomatizacion de la fisica. ¿Es posible crear un cuerpo axiomatico para la fisica?
7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos numeros, como
, etc.
8. El problema de la distribucion de los numeros primos.
9. Demostracion de la ley mas general de reciprocidad en un cuerpo de numeros cualesquiera.
10. Establecer metodos efectivos de resolucion de ecuaciones diofanticas.
11. Formas cuadraticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
12. La extension del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
13. Imposibilidad de resolver la ecuacion general de septimo grado por medio de funciones de solo dos argumentos.
14. Prueba de la condicion finita de ciertos sistemas completos de funciones.
15. Fundamentacion rigurosa del calculo enumerativo de Schubert o geometria algebraica.
16. Problema de la topologia de curvas algebraicas y de superficies.
17. La expresion de formas definidas por sumas de cuadrados.
18. Construccion del espacio de los poliedros congruentes.
19. Las soluciones de los problemas regulares del calculo de variaciones, ¿son siempre analiticas?
20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.
21. Demostracion de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodromico.
22. Uniformidad de las relaciones analiticas por medio de funciones automorficas: siempre es posible uniformizar cualquier relacion algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
23. Extension de los metodos del calculo de variaciones.
Algunos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han discutido durante todo el siglo
XX
, y actualmente se ha llegado a la conclusion de que unos pocos son irrelevantes o imposibles de cerrar. Algunos continuan siendo actualmente un reto para los matematicos.
Formalismo
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]
Siguiendo la tendencia que se habia convertido en estandar a mitad de siglo, el conjunto de problemas de Hilbert tambien constituia una especie de manifiesto, que abrio la via para el desarrollo de la escuela del
Formalismo matematico
, una de las tres escuelas matematicas mas importantes del siglo
XX
. De acuerdo al formalismo, la matematica es un juego ?carente de significado? en el que uno lo practica con simbolos carentes de significado de acuerdo a unas reglas formales establecidas de antemano. Por tanto es una actividad de pensamiento autonoma. Sin embargo, hay margen para la duda al respecto de si la propia vision de Hilbert era simplistamente formalista en este sentido.
El programa de Hilbert
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]
En 1920 propuso de forma explicita un proyecto de investigacion (en
metamatematica
, como se llamo entonces) que acabo siendo conocido como
programa de Hilbert
. Queria que la
matematica
fuese formulada sobre unas bases solidas y completamente logicas. Creia que, en principio, esto podia lograrse, mostrando que:
- toda la matematica se sigue de un sistema finito de
axiomas
escogidos correctamente; y
- se puede probar que tal sistema axiomatico es
consistente
.
Parecia tener razones tecnicas y filosoficas para formular esta propuesta. Esto afirmaba su disgusto por lo que se habia dado a conocer como
ignorabimus
, que aun era un problema activo en su tiempo dentro del pensamiento aleman, y que podia rastrearse en esa formulacion hasta
Emil du Bois-Reymond
.
El programa sigue siendo reconocible en la
filosofia de la matematica
mas popular, donde se le llama normalmente
formalismo
. Por ejemplo, el grupo
Bourbaki
adopto una version selectiva y diluida como adecuada para los requisitos de sus proyectos gemelos de (a) escribir trabajos fundamentales enciclopedicos, y (b) dar soporte al
sistema axiomatico
como herramienta de investigacion. Este enfoque ha tenido exito e influencia en relacion con el trabajo de Hilbert en el algebra y el analisis funcional, pero no ha conseguido cuajar igual con sus intereses en fisica y logica.
El trabajo de Godel
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]
Hilbert y los matematicos de talento que trabajaron con el en esta empresa estaban dedicados al proyecto. Su intento de dar soporte a la matematica axiomatizada con principios definidos, que eliminara las incertidumbres teoricas, sucumbio en un fracaso inesperado.
Godel
demostro que no se podia demostrar la completitud de ningun sistema formal no contradictorio que fuera suficientemente amplio para incluir al menos la aritmetica, solo mediante sus propios axiomas. En 1931 su
teorema de la incompletitud
mostro que el ambicioso plan de Hilbert era imposible tal como se planteaba. El segundo requisito no podia combinarse con el primero de forma razonable, mientras el sistema axiomatico sea genuinamente finito.
Sin embargo, el teorema de completitud no dice nada al respecto de la demostracion de la completitud de la matematica mediante un sistema formal diferente. Los logros posteriores de la
teoria de la demostracion
como minimo
clarificaron
la relacion de la consistencia con las teorias de interes principal para los matematicos. El trabajo de Hilbert habia empezado logico en su camino a la clarificacion; la necesidad de entender el trabajo de Godel llevo entonces al desarrollo de la
teoria de la computabilidad
y despues de la
logica matematica
como disciplina autonoma en la decada de 1930?1940. De este 'debate' nacio directamente la base para la
informatica teorica
de
Alonzo Church
y
Alan Turing
.
La escuela de Gottingen
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]
Entre los alumnos de Hilbert se encuentran
Hermann Weyl
, el campeon mundial de ajedrez
Emanuel Lasker
,
Ernst Zermelo
y
Carl Gustav Hempel
.
John von Neumann
fue asistente suyo. En la Universidad de Gottingen, Hilbert se encontro rodeado por un circulo social constituido por algunos de los matematicos mas importantes del siglo
XX
, como
Emmy Noether
y
Alonzo Church
.
Analisis funcional
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]
Alrededor de 1909, Hilbert se dedico al estudio de ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales; su trabajo tuvo consecuencias directas en partes importantes el analisis funcional moderno. Para poder llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el concepto de un
espacio euclideo
de infinitas dimensiones, llamado mas tarde
espacio de Hilbert
. Su trabajo en esta parte del analisis proporciono la base de importantes contribuciones a la
fisica matematica
en las dos decadas siguientes, aunque en direcciones que por entonces no se podian anticipar.
Mas tarde,
Stefan Banach
amplifico el concepto, definiendo los
espacios de Banach
. El espacio de Hilbert es por si misma la idea mas importante del
analisis funcional
, que crecio a su alrededor durante el siglo
XX
.
Hasta 1912, Hilbert fue de forma casi exclusiva un matematico ≪puro≫. Cuando planeaba hacer una visita a Bonn, donde estaba inmerso en el estudio de la fisica, su amigo y colega matematico
Hermann Minkowski
hacia chistes diciendo que tenia que pasar 10 dias en cuarentena antes de poder visitar a Hilbert. En realidad, Minkowski parece ser responsable de la mayoria de investigaciones de Hilbert en fisica anteriores a 1912, incluido su seminario conjunto sobre el tema en 1905.
En 1912, tres anos tras la muerte de su amigo, cambio su objetivo hacia este tema de forma casi exclusiva. Arreglo que se le asignara un ≪tutor en fisica≫.
[
1
]
Empezo estudiando la
teoria cinetica de los gases
y paso luego a la teoria elemental de
radiacion
y a la teoria molecular de la materia. Incluso tras el estallido de la guerra en 1914, continuo celebrando seminarios y clases donde se seguian de cerca los trabajos de
Einstein
entre otros.
Hilbert invito a Einstein a Gottingen para que impartiera una semana de lecciones entre junio y julio de 1915 sobre relatividad general y su teoria de la gravedad en desarrollo (Sauer 1999, Folsing 1998). El intercambio de ideas llevo a la forma final de las ecuaciones de campo de la
Relatividad General
, en concreto las
ecuaciones de campo de Einstein
y la
accion de Einstein-Hilbert
. Aunque Einstein y Hilbert no llegaron nunca a enzarzarse en una disputa publica sobre prioridad, ha habido algo de
discusion sobre el descubrimiento de las ecuaciones de campo
, aunque las investigaciones sobre documentacion historica, parecen confirmar que Einstein se adelanto, ya que el trabajo de Hilbert estaba incompleto.
[
2
]
Hilbert en la version impresa de su articulo, anadio una referencia al papel concluyente de Einstein y una concesion de la prioridad de este: "Las ecuaciones diferenciales de la gravitacion que resultan estan, segun me parece, de acuerdo con la magnifica teoria de la relatividad general establecida por Einstein en sus trabajos posteriores "[(3), p. 404].
[
2
]
Ademas, el trabajo de Hilbert anticipo y asistio a varios avances en la
formulacion matematica de la mecanica cuantica
. Su trabajo fue clave para el de
Hermann Weyl
y
John von Neumann
sobre la equivalencia matematica de la
mecanica de matrices
de
Werner Heisenberg
y la
ecuacion de onda
de
Erwin Schrodinger
, y su
espacio de Hilbert
juega un papel importante en la teoria cuantica. En 1926, von Neumann mostro que si los estados atomicos se entendiesen como vectores en el espacio de Hilbert, entonces se corresponderian tanto con la teoria de funcion de onda de Schrodinger como con las matrices de Heisenberg.
Mediante esta inmersion en la fisica, trabajo en darle rigor a la matematica que la sostiene. Aunque es muy dependiente de la matematica avanzada, el fisico tiende a ser ≪descuidado≫ con ella. Para un matematico ≪puro≫ como Hilbert, esto era ≪feo≫ y dificil de entender. Al empezar a comprender la fisica y la manera en que los fisicos usaban la matematica, desarrollo una teoria matematicamente coherente para lo que encontro, principalmente en el area de las
ecuaciones integrales
. Cuando su colega
Richard Courant
escribio el clasico
Metodos de fisica matematica
incluyo algunas ideas de Hilbert, y anadio su nombre como coautor incluso aunque Hilbert no llego a contribuir al escrito. Hilbert dijo que ≪la fisica es demasiado dura para los fisicos≫, implicando que la matematica necesaria estaba lejos de su alcance por lo general; el libro de Courant-Hilbert les facilito las cosas.
Teoria de numeros
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editar
]
Hilbert unifico el campo de la
teoria algebraica de numeros
con su tratado de 1897
Zahlbericht
(literalmente 'informe sobre numeros'). Abatio el
problema de Waring
en el sentido amplio. Desde entonces tuvo poco mas que decir sobre el tema; pero la emergencia de las
formas modulares de Hilbert
en la disertacion de un estudiante implica que su nombre esta mas unido a un area importante.
Propuso una serie de conjeturas sobre la
teoria de cuerpos de clases
. Los conceptos fueron muy influyentes, y su propia contribucion queda patente en los nombres del
cuerpo de clase de Hilbert
y el
simbolo de Hilbert
de la
teoria local de cuerpos de clases
. Los resultados sobre estas conjeturas quedaron probados en su mayoria sobre 1930, tras el importante trabajo de
Teiji Takagi
que lo establecio como el primer matematico japones de nivel internacional.
Hilbert no trabajo en las areas principales de la
teoria analitica de numeros
, pero su nombre quedo unido a la
conjetura de Hilbert-Polya
, por razones anecdoticas.
Charlas, ensayos y contribuciones miscelaneas
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]
Su
paradoja del Grand Hotel
, una meditacion sobre las extranas propiedades del infinito, se usa a menudo en textos populares sobre
numeros cardinales
infinitos.
Ultimos anos
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editar
]
Hilbert vivio para ver a los
nazis
purgar a la mayoria de miembros facultativos sobresalientes de la
Universidad de Gottingen
, en 1933.
[
3
]
Entre aquellos forzados a marcharse estuvieron
Hermann Weyl
, que habia ocupado la catedra de Hilbert al retirarse en 1930,
Emmy Noether
y
Edmund Landau
. Uno de los que hubo de dejar Alemania fue
Paul Bernays
, colaborador de Hilbert en
logica matematica
y coautor con el del importante libro
Grundlagen der Mathematik
(que acabo presentandose en dos volumenes, en 1934 y 1939). Esta fue una secuela del libro de Hilbert-
Ackermann
Fundamentos de logica teorica
de 1928.
Un ano despues, asistio a un banquete y lo sentaron al lado del nuevo Ministro de Educacion,
Bernhard Rust
. Rust le pregunto: ≪¿Como va la matematica en Gottingen ahora que ha sido liberada de la influencia judia?≫ A lo que Hilbert contesto, ≪¿La matematica en Gottingen? Ya no queda nada de eso≫.
[
4
]
Tumba de David Hilbert en Gottingen:
Wir mussen wissen
Wir werden wissen
Para cuando Hilbert murio en 1943, los nazis habian reestructurado casi por completo la universidad, ya que mucho del personal facultativo anterior era judio o estaba casado con judios. Al funeral de Hilbert asistio menos de una docena de personas, y solo dos de ellas eran colegas academicos.
[
5
]
En su tumba, en Gottingen, se puede leer su epitafio:
Debemos saber, sabremos
(en
aleman
:
Wir mussen wissen, wir werden wissen
)
Ironicamente, el dia antes de que Hilbert pronunciase esta frase,
Kurt Godel
presentaba su tesis, que contenia el famoso
teorema de incompletitud
: hay cosas que sabemos que son ciertas, pero que no podemos probar.
Eponimia
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]
Ademas de numerosas entidades y teoremas matematicos que portan su apellido, la designacion de dos elementos astronomicos le rinde homenaje:
Vease tambien
[
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]
8 primeros pasos de la construccion de la curva de Hilbert.
Nota y referencias
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]
Bibliografia
[
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]
Bibliografia primaria para la traduccion al ingles:
- Ewald, William B. (1996).
From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics
. Oxford Uni. Press.
- 1918. "Axiomatic thought," 1115-14.
- 1922. "The new grounding of mathematics: First report," 1115-33.
- 1923. "The logical foundations of mathematics," 1134-47.
- 1930. "Logic and the knowledge of nature," 1157-65.
- 1931. "The grounding of elementary number theory," 1148-56.
- 1904. "On the foundations of logic and arithmetic," 129-38.
- 1925. "On the infinite," 367-92.
- 1927. "The foundations of mathematics," con comentarios de
Weyl
y un apendice de
Bernays
, 464-89.
- van Heijenoort, Jean
(1967).
From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931
. Harvard Univ. Press.
- Hilbert, David (1999).
Geometry and Imagination
. American Mathematical Society.
ISBN 0-8218-1998-4
.
(un grupo de lecciones accesibles al publico, impartidas originalmente a ciudadanos de Gottingen)
Secundaria:
- Almira, J. M., Sabina de Lis, J. C. (2007).
Hilbert. Matematico Fundamental
. Nivola.
ISBN 978-84-96566-40-8
.
- Bottazini, Umberto (2003).
Il flauto di Hilbert. Storia della matematica
.
UTET
.
ISBN 88-7750-852-3
.
- Corry, L., Renn, J., y Stachel, J. (1997). ≪Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute≫.
Science 278
.
- Grattan-Guinnes, Ivor
(2000).
The Search for Mathematical Roots 1870-1940
. Princeton Uni. Press.
- Gray, Jeremy (2003).
El reto de Hilbert
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ISBN 84-8432-465-6
.
- Odifreddi, Piergiorgio
(2003).
Divertimento Geometrico - Da Euclide ad Hilbert
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Bollati Boringhieri
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ISBN 88-339-5714-4
.
. Una exposicion clara de los "errores" de Euclides y de las soluciones presentadas en el
Grundlagen der Geometrie
, con referencia a la
geometria no euclidea
.
- Reid, Constance (1996).
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Springer
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ISBN 0-387-94674-8
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La
biografia en ingles.
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Arch. Hist. Exact Sci
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[2]
)
- Thorne, Kip
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Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy
. W. W. Norton & Company.
ISBN 0-393-31276-3
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- Folsing, Albrecht (1998).
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. Penguin.
- Mehra, Jagdish (1974).
Einstein, Hilbert, and the Theory of Gravitation
. Reidel.
Enlaces externos
[
editar
]