한국   대만   중국   일본 
E?klido - Vikipedio Saltu al enhavo

E?klido

Redakti ligilojn
El Vikipedio, la libera enciklopedio
E?klido
greke   Ε?κλε?δη?
Moderna imagita portreto
Moderna imagita portreto
Persona informo
Ε?κλε?δη?
Naskonomo Ε?κλε?δη?
Naski?o 325 a. K.
en Aleksandrio , Egiptio
Morto 265 a. K.
en Aleksandrio , Egiptio
Lingvoj antikva greka vd
Lo?loko Aleksandrio vd
?tataneco Antikva Ateno Redakti la valoron en Wikidata vd
Profesio
Okupo matematikisto
verkisto Redakti la valoron en Wikidata vd
Laborkampo Geometrio Redakti la valoron en Wikidata vd
Verkado
Verkoj Elementoj de E?klido  ?
sinteza geometrio vd
vd Fonto: Vikidatumoj
v ? d ? r

E?klido ( greke   Ε?κλε?δη? Eu?kleides ; naski?is ?irka? 325 a. K. ; mortis en 265 a.K. ) estis greka geometro , kiu kompilis la Elementojn , faman verkon pri geometrio . La teksto enhavas tiamajn sciojn pri geometrio kaj estis uzata dum jarcentoj en okcidenta E?ropo kiel lernolibro . La teksto komenci?as per difinoj, postulatoj kaj ?eneralaj opinioj pri la proceduroj kiel ricevi rezultojn per rigoraj geometriaj pruvoj. E?klido pruvis anka? la tiel nomatan Duan teoremon de E?klido : "La nombro de primoj estas senfina" . Li provis uzi algoritmon por trovi plej grandan komunan divizoron kaj por pruvi la teoremon de Pitagoro .

Vivo [ redakti | redakti fonton ]

Skulpta?o reprezentanta E?klidon, Oxford University Museum

Pri la vivo de la greka matematikisto E?klido nur malmulte konatas. Nek la jaro de lia naski?o, nek la loko estas ?is nun establitaj. Li estis samtempulo de Arkimedo ( 287 a. K. - 212 a. K. ). Iuj supozas, ke li naski?is ?irka? la jaro 360 a. K. , ver?ajne en Ateno , kaj tie eduki?is ?e la akademio de Platono . Aliaj indikas -325 kiel naski?jaro [1] , sed la? la matematikisto Christian Velpryses, liaj vivodatoj estas tute nekonataj. [2]

Fakte la ?losilaj referencoj pri E?klido estis skribitaj jarcentoj post lia morto, fare de Proklo kaj Papo de Aleksandrio . [3] Proklo menciis E?klidon nur mallonge en sia Komentario pri la elementoj verkita en la 5-a jarcento , kie li skribis, ke E?klido estis la a?toro de la Elementoj , ke menciis lin Arkimedo kaj kiam Ptolemeo la 1-a demandis E?klidon, ?u ne ekzistis vojo al geometrio pli mallonga ol tiu de la Elementoj , li respondis, ke "ne ekzistas re?a vojo al geometrio" . Kvankam la cita?o de E?klido fare de Arkimedo estis taksita interpolado de postaj eldonistoj de liaj verkoj, oni da?re supozas, ke E?klido verkis siajn tekstojn anta? tiuj de Arkimedo. [4] [5] Krome la anekdoto pri la "re?a vojo" estas pridubinda, ?ar ?i similas rakonton pri Mene?mo kaj Aleksandro la Granda . [6]

En la ununura alia ?losilreferenco al E?klido, Papo mallonge menciis en la 4-a jarcento , ke Apolonio "pasigis tre longan tempon kun la lernantoj de E?klido en Aleksandrio, kaj tiel li akiris tian sciencan vesta?on de pensado." [7]

Li tre ver?ajne vivis en Aleksandrio dum la regado de Ptolemeo la 1-a (eble anka? dum tiu de Ptolemeo la 2-a ) kaj instruis tie matematikon.

E?klido fami?is pro 13 lernolibroj, en kiuj li kompilis la tiamajn sciojn pri matematiko. La Elementoj , kiel oni nomas tiujn librojn, estas la plej sukcesaj matematikaj libroj de ?iuj epokoj. Tiel tradukoj de tiuj libroj estis uzataj en Britujo ankora? en la 19-a jarcento kiel oficialaj lernejaj libroj pri geometrio.

Anka? la cirkonstancoj kaj dato de lia morto estas nekonataj. Tamen oni konas, ke li estis filo de iu Na?krato, kaj por E?klido mem oni proponis tri hipotezojn, nome la jenaj:

  1. E?klido estis historia matematikisto kiu verkis la Elementoj -n kaj liajn verkojn kiujn oni atribuas al li.
  2. E?klido estis la estro de teamo de matematikistoj kiuj laboris en Aleksandrio. ?iuj el ili kontribuis al la verkado de la kompletaj verkoj de E?klido, e? subskribante librojn per la nomo E?klido e? post lia morto.
  3. Kompletaj verkoj de E?klido estis verkitaj de teamo de matematikistoj de Aleksandrio kiu uzis la nomon E?klido el historia filozofo E?klido de Megara , kiu estis vivinta ?irka? cent jaroj anta?e.
E?klido de Megara .

Eble E?klido studis en la Akademio de Platono kun la sekvantoj de Platono kaj tie lernis la bazojn de sia sciaro. [8] ? [9] Historiisto Thomas Heath subtenis tiun teorion, notante, ke plimulto de kapablaj geometriistoj vivis en Ateno, inkludante multajn kun kiuj E?klido laboris; [10] Sialaros konsideras tion simpla spekulativo. [11] Tiukadre, oni notis, ke la enhavoj de la verkaro de E?klido montras familiarecon kun la Platona geometria tradicio. [12]

En sia Kolekto, Papo mencias, ke Apolonio studis kun la lernantoj de E?klido en Aleksandrio, kaj tiukadre oni supozas, ke E?klido laboris kaj fondis matematikan tradicion tie. [13] [14] [15] La urbon fondis Aleksandro la Granda en 331 a.n.e., [16] kaj la regado de Ptolemeo la 1-a el 306 a.n.e. anta?en havigis stabilecon kiu estis relative unika inter la ?aosaj militoj de la Diado?oj kiuj rezultis en dividado de la imperio de Aleksandro. [17] Ptolemeo startigis procezon de helenigon kaj komisiis nombrajn konstrua?ojn, kiel ekzemple la amasan institucion Museion, kiu estis ?efa centro de edukado. [18] La Museion poste inkludos la faman Bibliotekon de Aleksandrio , sed ?i estis plej ver?ajne fondita poste, dum la regado de Ptolemeo la 2-a (285?246 a.n.e.). [19] Oni spekulativis, ke E?klido eble estis inter la unuaj lernantoj de Museion. [16] Kvankam oni ne konas la mortodaton de E?klido, oni spekulativis, ke li mortis ?irka? la jaro 270 a.n.e. [16]

Proklo , la lasta de la grandaj grekaj filozofoj, kiu vivis ?irka? la jaro 450, skribis gravajn komentariojn pri la libro Unua de la Elementoj . [20] ? Tiuj komentarioj estas valora fonto de informado pri la historio de la greka matematiko. Tiukadre oni scias, por ekzemplo, ke E?klido arigis kontribuojn de E?dokso el Knido pri la teorio de la proporcieco, kaj de Teeteto pri la regulaj pluredroj . [21] ?

Precize la plej antikva teksto konata pri la vivo de E?klido aperas en resumo pri historio de geometrio verkita en la 5-a jarcento n.e., fare de la novplatonisma filozofo Proklo, komentisto de la unua libro de la Elementoj . Proklo ne havigas li mem ajnan fonton por siaj indikoj. Li diris nur jenon: ≪Ariginte siajn Elementojn, [E?klido] havas multajn aferojn [...] kaj sugestas, en nerefuteblaj monstroj, kion liaj anta?antoj lernigis per facila maniero. Tiu homo vivis, aliflanke, sub Ptolomeo la 1-a, ?ar Arkimedo [...] mencias E?klidon. E?klido estas, tial, pli ?usa ol la lernantoj de Platono, sed pli antikva ol Arkimedo kaj Eratosteno≫. [22] ?

Se oni akceptas la kronologion havigitan de Proklo, E?klido vivis en la tempoperiodo kiu da?irs inter Platono kaj Arkimedo kaj estis samtempulo de Ptolomeo la 1-a, proksimume ?irka? la jaro 300 anta? nia epoko.

La Elementoj [ redakti | redakti fonton ]

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Elementoj de E?klido .
Fragmento de la Elementoj de E?klido trovita en Oksirin?o .

La Elementoj estas kompilo de geometriaj scioj kaj restis kerno de matematika instruado dum preska? 2000 jaroj. Eblus ke neniu el la elementoj estus de E?klido mem, sed iliaj organizado kaj prezentado, kaj tiel ver?ajne anka? transdono, estas lia verko.

La Elementoj estas dividitaj en dek tri libroj. La libroj 1 ?is 6 temas pri ebena geometrio, la libroj 7 ?is 9 pri pitagora aritmetiko, la libro 10 pri la teorio de neracionalaj nombroj de E?dokso, kaj la libroj 11 ?is 13 pri spaca geometrio. Fini?as la libro per esploro de la ecoj de kvin regulaj pluredroj kaj klarigo de ilia ekzisto. La Elementoj estas rimarkindaj pro la klareco de prezentado kaj klarigo de la teoremoj . La Elementoj entenas la komencojn de la nombroteorio (jam konata de Archytas) kaj la konceptojn pri divideblo kaj pri la plej granda komuna divizoro, kalkulebla per la E?klida algoritmo . E?klido pruvis, ke ekzistas senfina nombro de primoj. En la libro 5 trovi?as la scioj pri proporcio de E?dokso, ?eneraligo de aritmetiko al pozitivaj neracionalaj nombroj.

Pli ol miloj da eldonejoj manuskriptaj de la Elementoj estis publikigataj anta? la unua presita versio en 1482 . La rigoro ne estas ?iam tia de nuntempaj normoj, sed la metodo konsistis el deiro de aksiomoj , postulatoj kaj difinoj, por dedukti maksimumon de ecoj de la objektoj traktataj, ?io ?i en organizita tuta?o, tute nova por la tiama epoko. La sukceso de la Elementoj devenas de iliaj organizado, sistemigo kaj matematika logiko. La plej lastaj esploroj pri historio de matematiko pruvas, ke E?klido ne estas la ununura a?toro de la Elementoj . Ver?ajne ?irka?is lin kolegaro de dis?iploj, kiuj ?iuj partoprenis la ellaboron.

E?klida geometrio [ redakti | redakti fonton ]

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo E?klida geometrio .

La geometrio tia, kia ?i estis difinita de E?klido estis konsiderata dum jarcentoj kiel la geometrio, kaj malfacilis superi ?in. Nikolaj Ivanovi? Loba?evskij estis la unua, kiu oficiale provis tion en 1826 , sekvita de Janos Bolyai , sed la legendo diras, ke oni ne serioze traktis lin anta? la morto de Carl Friedrich Gauss , kiam oni malkovris inter ties malnetoj, ke anka? li imagis nee?klidajn geometriojn .

Bildigo de la kvina postulato de E?klido

En siaj libroj E?lido uzas, por montri la ecojn de rektoj , la postulaton de E?klido , kiun oni esprimas nuntempe, dirante, ke tra punkto ekster rekto, pasas unu kaj nur unu paralelo al tiu rekto . La fama kvina postulato de la ebena e?klida geometrio , nomata anka? paralela aksiomo postulas, ke se rekta segmento s tran?ante du rektojn g kaj h formante du angulojn ene de la sama flanko de s α kaj β kune malpli grandaj ol du ortaj anguloj, tiam la du rektoj g kaj h renkonti?as ?e tiu flanko de s , kie situas la anguloj α kaj β. Se do du rektoj tran?as rektan segmenton (a? rekton), tiel ke la du anguloj malfermitaj unuflanke de la rekta segmento kaj aliflanke de la du rektoj estas malpli grandaj ol 180°, tiam la du rektoj renkonti?as tiuflanke kaj kune kun la rekta segmento (a? la tria rekto) limigas triangulon .

Ekzistas esence tri specoj de geometrio:

  • tiu, kiu akceptas la postulaton de E?klido, nomata ebena geometrio a? e?klida geometrio ,
  • tiu, kiu akceptas la postulaton, ke tra punkto ekster rekto, pasas neniu paralelo al tiu rekto , nomata sfera geometrio a? riemanna geometrio ,
  • tiu, kiu akceptas la postulaton, ke tra punkto ekster rekto, pasas senfina nombro de paraleloj al tiu rekto , nomata geometrio de Loba?evskij .

Riemann montris, ke modelo de sfera geometrio estas sfero kaj la rektoj korespondas al meridianoj a? grandaj cirkloj. Poincare donis modelon de la geometrion de Loba?evskij . ?ar ekzistas modeloj por la tri geometrioj ne ekzistas kialo privilegii unu pli ol la aliaj. La teorio de relativeco de Einstein fine montris la kurbi?on de la spaco , kaj kiam la spaco kurbi?as, ?i forlasas sian aspekton e?klidan.

Aksiomoj de E?klido [ redakti | redakti fonton ]

E?klida geometrio (anka? tradicie nomata sinteza geometrio ), prezentata estas kiel aksiomaro. Kaj ?iuj aliaj teoremoj devas elflui el aksiomoj. En sia verko E?klido prezentis kvin aksiomojn pri surfaco (kiu nomi?as tial e?klida surfaco):

La kvin Platonaj solidoj , fundamentaj komponantoj de geometrio de la spaco kiel aperas en la Libroj 11a?13a.
  1. Ajnaj du punktoj povas kunligi per rekta segmento .
  2. Ajna segmento povas plilongigi nebarite (por havi rekton ).
  3. Por ajna segmento oni povas fari cirklon kun mezo en unu fino de la segmento kaj kun radiuso, kiu egalas al longeco de ?i.
  4. ?iuj ortaj anguloj estas kongruaj .
  5. Du rektoj, kiuj tran?as la trian tiel, ke la sumo de iliaj anguloj je unu flanko estas malpli ol du ortoj, tran?i?as je ?i tiu flanko.

Por geometrio en surfaco la kvina aksiomo a.n. aksiomo de E?klido a? aksiomo de paraleleco povas esprimi anka? tiel:

?Tra punkto povas desegni nur unu rekton kiu ne estas disa kun alia rekto (kiu ne trairas la punkton)”.

La disvolvi?o de la geometrio de spaco postulas la koncepton de la ebeno , estas difinita de la fakto, ke tra tri punktoj, kiuj ne estas sur unu linio, pasas unu ebeno.

Aliaj verkoj [ redakti | redakti fonton ]

E?klida konstruo de regula dekduedro .

Aldone al la Elementoj , almena? kvin verkoj de E?klido estis survivintaj ?is nuntempe. Ili sekvas la saman logikan strukturon kiel la Elementoj , kun difinoj kaj pruvitaj propozicioj.

  • Katoptriko temas pri la matematika teorio de speguloj , aparte pri la bildoj formitaj en ebenaj kaj sferaj konkavaj speguloj, kvankam la atribuon foje oni pridubas. [23]
  • La Datumoj a? Dedomena ( antikve-greke   Δεδομ?να ), estas iom mallonga teksto kiu temas pri la naturo kaj kondi?oj de "difinita" informaro pri geometriaj problemoj. [23]
  • Pri dividoj ( antikve-greke   Περ? Διαιρ?σεων? ) survivas nur parte kaj en araba traduko, kaj temas pri la divido de geometriaj figuroj en du a? pliaj egalaj partoj a? en partoj en difinitaj proporcioj . ?i inkludas 36 propoziciojn kaj estas simila al la verko de Apolonio' Konusoj . [23]
  • La Optiko ( antikve-greke   ?πτικ?? ) estas la plej frua survivanta greklingva trakta?o pri perspektivo. ?i inkludas enkondukan studon de geometria optiko kaj bazajn regulojn de perspektivo . [23]
La Fenomenoj ( Phaenomena ), publikigita en Romo, 1591.
  • La Fenomenoj ( antikve-greke   Φαιν?μενα ) estas trakta?o pri sfera a? pozicia astronomio , survivas en greka lingvo; ?i estas simila al la Pri la movi?anta sfero de A?toliko de Pitane, kiu floris ?irka? la jaro 310 a.n.e. [23]

Perditaj verkoj [ redakti | redakti fonton ]

Kvar aliaj verkoj estas fidinde atribuitaj al E?klido, sed perdi?is. [24]

  • La Konikoj ( antikve-greke   Κωνικ?? ) estis kvar-libra esplorado pri konikaj sekcioj , kiu estis poste superita de pli kompleta trakta?o samnoma fare de Apolonio de Pergo . [25] [23] La ekziston de la verko oni konas ?efe el Papo de Aleksandrio , kiu asertas, ke la unuaj kvar libroj de la Konikoj de Apolonio estas ege bazitaj sur la pli frua verko de E?klido. [26] Starigis dubojn pri tiu aserto la historiisto Alexander Jones, pro la tre disa pruvaro kaj manko de konfirmo krom la rakonto de Papo. [26]
  • La Pse?daria ( antikve-greke   Ψευδ?ρια? ; la?vorte Falsa?oj ), estis ?la? Proklo en (70.1?18)? teksto la? geometria racieco , verkita kiel konsilaro al komencantoj por eviti oftaj falsa?oj. [25] [23] Oni konas malmulte pri ties specifa enhavo krom ties alrigardo kaj kelkaj restantaj linioj. [27]
  • La Porismoj ( antikve-greke   Πορ?σματα ; la?vorte Korolarioj ) estis, bazita sur rakontoj el Papo kaj Proklo, probable tri-libra trakta?o kun proksimume 200 propozicioj. [25] [23] La termino 'porismo' en tiu kunteksto ne referencas korolarion , sed al "tria tipo de propozicio ? intermeza inter teoremo kaj problemo ? kies celo estas malkovri trajton de ekzistanta geometria ento, por ekzemplo, por trovi la centron de cirklo". [23] La matematikisto Michel Chasles spekulativis, ke tiuj nun-perditaj propozicioj inkludis enhavon rilatan al la modernaj teorioj de transversa kaj projekcia geometrio . [25] [28]
  • La Surface Loci ( antikve-greke   Τ?ποι πρ?? ?πιφανε?? , Topos pros epifaneia) estas de virtuale nekonata enhavo, krom spekulativo bazita sur la titolo de la verko. [25] Supozoj bazitaj sur postaj rakontoj sugestis, ke ?i studis konusojn kaj cilindrojn, inter aliaj temoj. [23]

Heredo [ redakti | redakti fonton ]

Kovrilpa?o de la verko de Oliver Byrne de 1847, kolorigita eldono de la Elementoj .

?enerale oni konsideris E?klidon kun Arkimedo kaj Apolonio de Perga inter la plej grandaj matematikistoj de la antikveco. [29] Multaj komentistoj citas lin kiel unu el la plej influaj figuroj en la historio de matematiko . [30] La geometria sistemo establita pere de la Elementoj dumlonge dominis la kampon de matematiko; tamen, nuntempe tiun sistemon ofte oni referencas kiel ' E?klida geometrio ' por distingi ?in el aliaj ne-E?klidaj geometrioj malkovritaj en la komenco de la 19a jarcento. [31]

Inter multaj aferoj nomitaj la? E?klido estas la navigilo Euclid de la E?ropa Kosma Agentejo (EKA), [32] la luna kratero Euclides, [33] kaj la minora planedo 4354 Euclides . [34]

La verkon Elementoj oni ofte konsideras kiel la Biblio kiel la plej ofte tradukita, publikigita, kaj studita libro en la historio de la Okcidenta Mondo . [31] Kun la verko de Aristotelo nome Metafiziko , la Elementoj estas eble la plej sukcesa antikva greklingva teksto, kaj estis la dominanta matematika lernolibro en la mezepokaj araba kaj latina mondoj. [31]

La unuan anglalingvan eldonon de la Elementoj publikigis en 1570 Henry Billingsley kaj John Dee . [35] La matematikisto Oliver Byrne publikigis bone konatan version de la Elementoj en 1847 titolita The First Six Books of the Elements of Euclid in Which Coloured Diagrams and Symbols Are Used Instead of Letters for the Greater Ease of Learners (La unuaj ses libroj de la Elementoj de E?klido en kiuj oni uzas kolorigitajn diagramojn anstata? literojn por faciligi la lernadon), kiu inkludis la? la titolo kolorigitajn diagramojn cele al pliigo de la pedagogia efiko. [36] David Hilbert estis a?toro de moderna aksiomigo de la Elementoj . [37]

Muzikteorio [ redakti | redakti fonton ]

E?klido.

En la muzikteoria verko de E?klido Divido de kanono ( greke Katatom? kanonos , latine Sectio canonis ), kiu estas konsiderata a?tenta, temas pri la muzikteorio de Ar?itas kaj starigis ?in sur pli solidan akustikan bazon, tio estas sur frekvencojn de vibroj (li parolis pri ofteco de movoj).

Li ?eneraligis la frazon de Ar?itas pri la neracionaleco de la kvadrata radiko kaj pruvis ?enerale la neracionalecon de iuj radikoj . La kialo de tiu genia ?eneraligo estas lia kontra?tezo kontra? la harmoniko de Aristokseno , kiu konstrui?as je raciaj obligoj de la tono (duontono ... tonono). ?ar en la pitagora harmoniko la tono ( plentono )la proporcion 9:8, kio instigis al E?klido lian kontra?tezon "La tono divideblas nek en du ne en plurajn samajn erojn" ; ?in kondi?as tamen kunmezureblaj frekvencoj, kiujn oni supozis en la pitagoran harmonikon ?is la fino de la 16-a jarcento ( Simon Stevin ). La kontra?tezon "La oktavo estas pli malgranda ol 6 plentonoj" li bazi?is je la kalkulo de la pitagora komao . Krome la Divido de kanono de E?klido entenas - kiel indikas la titolo - la plej malnova dokumentita reprezento de tonsistemo ?e kanono , dividita kordo, tio estas pitagora reinterpreto de la kompleta diatona tonsistemo de Aristokseno , kio vastigis la harmonion de Filolao .

La tonsistemo de E?klido i?is la bazo de la moderna tonsistemo kun la nuntempe kutima nomado per tonliteroj de Odo de Cluny .

Cita?oj [ redakti | redakti fonton ]

Citaĵo
?   Kio estas senpruve asertata, tio povas esti senpruve neata.   ”
Citaĵo
?   Kio estis pruvota.   ”
—  Elementoj de E?klido [38]

Verkaro [ redakti | redakti fonton ]

  • Elementoj . Libroj 1-13.
    • germane Clemens Thaer (4-a eldono, Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2003. ISBN 3-8171-3413-4 ), en franca
    • france Denis Henrion, Les quinze livres des elements geometriques d'Euclide (1632) ?e Gallica . La du lastaj libroj estas apokrifaj, la 14-a estus de Hypsicles).
  • Data .
    • germane La? teksto de Menge tradukita el la greka al germana kaj eldonita de Clemens Thaer. Springer, Berlin 1962
  • Divido de kanono
    • germane Teilung des Kanons (sectio canonis) , eld. de H. Menge en: Euclidis opera omnia, vol. 8, Leipzig 1916, 158-183
  • Sectio canonis
    • germane Noveldonita, tradukita kaj komentita en: Busch, Oliver: Logos syntheseos : die euklidische Sectio canonis, Aristoxenos, und die Rolle der Mathematik in der antiken Musiktheorie, Hildesheim, 2004, ISBN/ISSN: 3-487-11545-X
  • Optika
  • Pri la divido de figuroj (parte konservita en araba traduko.
  • De aliaj verkoj konatas nur la titoloj kiel Pseudaria (Paralogismoj), Katoptrika kaj Phainomena (astronomio).

Referencoj [ redakti | redakti fonton ]

  1. ↑ france Euclide d'Alexandrie, bibmath.net Arkivigite je 2006-05-03 per la retarkivo Wayback Machine
  2. ↑ Euclide l'Africain ou la Geometrie restituee , Christian Velpry, eld. Menaibuc, Parizo, p. 113, isbn 2-911372-55-7, interrete legeble [1] Arkivigite je 2010-02-10 per la retarkivo Wayback Machine
  3. ↑ Joyce, David. Euclid . Clark University Department of Mathematics and Computer Science. [2]
  4. ↑ Morrow, Glen. A Commentary on the first book of Euclid's Elements
  5. ↑ Euclid of Alexandria . The MacTutor History of Mathematics archive.
  6. ↑ Boyer, p. 1.
  7. ↑ Heath (1956), p. 2.
  8. ↑ ≪Biografia de Euclides - GeoEnciclopedia 2018≫.
  9. ↑ Goulding 2010, p. 126.
  10. ↑ Heath 1908, p. 2.
  11. ↑ Sialaros 2020, pp. 147?148.
  12. ↑ Ball 1960, p. 52.
  13. ↑ Asper 2010, § para. 1.
  14. ↑ Sialaros 2020, p. 142.
  15. ↑ Heath 1908, p. 2.
  16. ↑ 16,0 16,1 16,2 Bruno 2003 , p.  126 .
  17. ↑ Ball 1960 , p.  51 .
  18. ↑ Boyer 1991 , p.  100 .
  19. ↑ Tracy 2000 , pp. 343?344.
  20. ↑ Mlodinow, Leonard (2001). Euclid's Window: The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace (en angla). Simon and Schuster. pp. p. 98. ISBN 978-1-4391-3537-2 .
  21. ↑ Kline, Morris (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (en angla). Volumo 1. Oxford University Press. pp. p. 57. ISBN 978-0-19-506135-2 .
  22. ↑ Proklo (1948). Desclee de Brouwer , eld. Les Commentaires sur las premiers livres des Elements de Euclide (en franca). Bru?o.
  23. ↑ 23,00 23,01 23,02 23,03 23,04 23,05 23,06 23,07 23,08 23,09 Sialaros 2021 , § "Other Works".
  24. ↑ Sialaros 2021 , § "Works".
  25. ↑ 25,0 25,1 25,2 25,3 25,4 Taisbak & Van der Waerden 2021 , § "Other writings".
  26. ↑ 26,0 26,1 Jones 1986 , pp. 399?400.
  27. ↑ Acerbi 2008 , p. 511.
  28. ↑ Jones 1986 , pp. 547?572.
  29. ↑ Ball 1960 , p.  52 .
  30. ↑ Bruno 2003 , p.  125 .
  31. ↑ 31,0 31,1 31,2 Taisbak & Van der Waerden 2021 , § "Legacy".
  32. ↑ " NASA Delivers Detectors for ESA's Euclid Spacecraft ", Jet Propulsion Laboratory , 9a de Majo 2017.
  33. ↑ Gazetteer of Planetary Nomenclature | Euclides . International Astronomical Union. Alirita 3a de Septembro, 2017.
  34. ↑ 4354 Euclides (2142 P-L) . Minor Planet Center. Alirita 27a de Majo 2018.
  35. ↑ Goulding 2010 , p. 120.
  36. ↑ Hawes & Kolpas 2015 .
  37. ↑ Hahl & Peters 2022 , § para. 1.
  38. ↑ Latine : "Quod erat demonstrandum."

Bibliografio [ redakti | redakti fonton ]

Vidu anka? [ redakti | redakti fonton ]

Eksteraj ligiloj [ redakti | redakti fonton ]

Bibliotekoj
El?utita el " https://eo.wikipedia.org/w/index.php?title=E?klido&oldid=8746371 "