n³ = n?n?n
Eine
Kubikzahl
(von
lateinisch
cubus
, ?Wurfel“) ist eine Zahl, die entsteht, wenn man eine
naturliche Zahl
zweimal mit sich selbst
multipliziert
. Beispielsweise ist
eine Kubikzahl. Die ersten Kubikzahlen sind
- 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … (Folge
A000578
in
OEIS
)
Bei einigen Autoren ist die Null keine Kubikzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.
Die Bezeichnung Kubikzahl leitet sich von der
geometrischen Figur
des
Wurfels
her. Die Anzahl der Steine, die man zum Bauen eines Wurfels benotigt, entspricht immer einer Kubikzahl. So lasst sich beispielsweise ein Wurfel mit der Seitenlange 3 mit Hilfe von 27 Steinen legen.
Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zahlen die Kubikzahlen zu den
figurierten Zahlen
, zu denen auch die
Quadratzahlen
und
Tetraederzahlen
gehoren.
- Aus den aufeinanderfolgenden Blocken von einer, zwei, drei, vier, funf, …
ungeraden
naturlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge lassen sich durch
Summation
die Kubikzahlen erzeugen:
- Ausgehend von der Folge der
zentrierten Sechseckszahlen
1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, … erhalt man die
-te Kubikzahl als Summe der ersten
Folgenglieder:
- Die Summe der ersten
Kubikzahlen ist gleich dem
Quadrat
der
-ten
Dreieckszahl
:
- Jede naturliche Zahl kann als Summe von hochstens neun Kubikzahlen dargestellt werden (Losung des
Waringschen Problems
fur den Exponenten 3). Dass 9 Summanden notwendig sein konnen, zeigt die Zahl 23. Diese hat die Darstellung
,
aber offensichtlich keine mit weniger kubischen Summanden.
- Jede Kubikzahl lasst sich als Summe der ungeraden Zahlen zwischen zwei aufeinanderfolgenden doppelten Dreieckszahlen sowie als Differenz der Quadrate zweier sukzessiver Dreieckszahlen darstellen:
- Die Summe zweier beliebiger Kubikzahlen kann selbst nie eine Kubikzahl sein. Anders formuliert heißt dies, dass die Gleichung
keine Losung mit naturlichen Zahlen
besitzt. Dieser Spezialfall der
Fermatschen Vermutung
wurde 1753 von
Leonhard Euler
bewiesen. Lasst man mehr als zwei Summanden zu, kann es vorkommen, dass eine Kubikzahl als Summe von Kuben darstellbar ist, wie das folgende Beispiel (sogar mit drei direkt aufeinanderfolgenden Kubikzahlen) zeigt:
.
- Wenn man von der Folge der Kubikzahlen den Modulo 9 nimmt, erhalt man die periodische Folge
(Folge
A167176
in
OEIS
). Dies ergibt sich aus
. Hieraus schließt sich ebenfalls, dass eine Zahl, die als
Summe von drei Kubikzahlen
darstellbar ist, niemals kongruent zu 4 oder 5 mod 9 sein kann.
Die Summe der
Kehrwerte
aller Kubikzahlen wird
Apery-Konstante
genannt. Sie entspricht dem Wert der
riemannschen
-Funktion
an der Stelle 3.
Jeder Folge ganzer (oder reeller) Zahlen
kann man eine
formale Potenzreihe
zuordnen, die sogenannte
erzeugende Funktion
. In diesem Kontext ist es allerdings ublich, die Folge der Kubikzahlen mit 0 beginnen zu lassen, also die Folge
zu betrachten. Die erzeugende Funktion der Kubikzahlen ist dann
In der Kubikzahl
ist die Basis
eine
reelle Zahl
und der Exponent
eine positive
ganze Zahl
. Aus diesem Grund ist der
Potenzwert
von
auf einer
Zahlengeraden
als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.
Es ist zu unterscheiden, ob die Basis
großer oder kleiner als die Zahl
ist. Im Folgenden werden beide Moglichkeiten beschrieben.
- Ziehe auf der Zahlengeraden einen Kreisbogen um
mit der Basis
als Radius, bis er die Zahlengerade in
schneidet.
- Bestimme den
Abstand
mit der Lange
zum Punkt
und errichte eine
Senkrechte
zur Zahlengeraden im Punkt
, bis sie den Kreisbogen in
schneidet.
- Verlangere die Basis
mit einer
Halbgeraden
und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt
, bis sie die Halbgerade in
schneidet.
- Abschließend schneidet eine Senkrechte zur
Strecke
im Punkt
die Zahlengerade in der Kubikzahl
-
Konstruktion der Kubikzahl
mit Basis
-
Konstruktion der Kubikzahl
mit Basis
- Bestimme auf der Zahlengeraden die Basis
als Strecke
.
- Ziehe auf der Zahlengeraden einen Halbkreis um
mit Radius
, er schneidet die Zahlengerade in
.
- Bestimme auf der Zahlengeraden ab
die Strecke
mit der Lange
und ziehe einen Kreisbogen um
mit Radius
bis er den Halbkreis in
schneidet.
- Falle das Lot von
auf
mit Fußpunkt
und verbinde den Punkt
mit
.
- Falle das Lot von
auf
mit Fußpunkt
.
- Der abschließende Kreisbogen um
mit Radius
bis auf die Zahlengerade liefert die Kubikzahl
.
Auf der deutschen
PC-Tastatur
liegt das ³-Zeichen als dritte Belegung auf der 3-Taste und kann mit Hilfe der
Alt-Gr
-Taste eingegeben werden. Oft kann man auch statt
Alt Gr
die beiden Tasten
Strg
und
Alt
verwenden. Bei einer
Apple-Tastatur
hingegen gibt es keine definierte Tastenkombination fur das ³-Zeichen. Das ³-Zeichen ist mit der Codenummer
179
(hexadezimal
B3
) Bestandteil der Zeichenkodierung
ISO 8859-1
(bzw.
ISO 8859-15
) und damit auch des
Unicodeblock Lateinisch-1, Erganzung
.