Mno?ina je soubor objekt?, chapany jako celek. Objekty mno?iny se nazyvaji prvky mno?iny . Charakterizujici vlastnost mno?iny je, ?e je jednozna?n? ur?ena svymi prvky (ale nev?ima si jejich po?adi ani ?adne dal?i struktury). Mno?ina, neobsahujici ?adne prvky se nazyva prazdna mno?ina . V matematice existuje abstraktni teorie mno?in , zkoumajici mno?iny z formalniho hlediska.

Obecn? [ editovat | editovat zdroj ]

V matematice mno?iny ?asto zna?ime velkymi pismeny, jeji prvky malymi. Je-li prvek ${\displaystyle a}$ prvkem mno?iny ${\displaystyle B}$, pi?eme: ${\displaystyle a\in B}$

Prazdnou mno?inu zna?ime symbolem: ${\displaystyle \emptyset }$

Mno?ina je obvykle ur?ena vy?tem jejich prvk? nebo definovanim charakteristicke vlastnosti prvk? mno?iny.

P?i popisu vy?tem prvk? postupujeme tak, ?e vypi?eme v?echny prvky, ktere pat?i do dane mno?iny, nap?. mno?inu ${\displaystyle A}$ obsahujici prvky 1, 2, 5, 8 vyjad?ime jako ${\displaystyle A=\{1,2,5,8\}}$. P?i zadani mno?iny vy?tem prvk? nezale?i na po?adi prvk?, tzn. mno?ina ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ je toto?na s mno?inou ${\displaystyle \{c,b,a\}}$.

P?i definovani mno?iny pomoci charakteristicke vlastnosti ur?ime vlastnost, ktera je charakteristicka pro prvky, ktere pat?i do dane mno?iny. Nap?. mno?inu ${\displaystyle A}$ obsahujici samohlasky latinske abecedy m??eme zapsat jako ${\displaystyle A=\{x|x\;je\;samohl{\acute {a}}skou\;latinsk{\acute {e}}\;abecedy\}}$. Takova mno?ina pak obsahuje prvky ${\displaystyle \{a,e,i,o,u,y\}}$ (tento zapis, ktery je ekvivalentni p?edchozimu, zadava mno?inu ${\displaystyle A}$ vy?tem prvk?). U takove definice mno?iny (charakteristickou vlastnosti) musime v?ak byt opatrni, proto?e m??eme snadno dostat paradox . Nap?iklad mno?ina v?ech takovych mno?in, ktere neobsahuji sama sebe, je zjevn? nesmysl, proto?e z definice se ma sama obsahovat prav? kdy? se sama neobsahuje.

Prav? takove d?vody vedly na za?atku 20. stoleti ke vzniku axiomaticke teorie mno?in , ve ktere jsou polo?ena p?esna pravidla o tom, co mno?ina je a co neni. V sou?asnosti je takovych axiomatickych teorii n?kolik, nejpou?ivan?j?i je Zermelo-Fraenkelova teorie mno?in (ZF).

V takovych axiomatizovanych teoriich mno?in , obvykle nesmi mno?ina obsahovat jine prvky, ne? zase jenom mno?iny a nic jineho. K sestaveni dal?ich mno?in nam posta?i prazdna mno?ina. M??eme tak ziskat nap?iklad mno?iny:

${\displaystyle \{\emptyset \}}$ je mno?ina obsahujici prazdnou mno?inu. Vzhledem k tomu, ?e obsahuje prav? jen jeden objekt (toti? prazdnou mno?inu), jde o jednoprvkovou mno?inu.

${\displaystyle \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}}$ je mno?ina obsahujici prazdnou mno?inu a mno?inu obsahujici prazdnou mno?inu. Jde tedy o dvouprvkovou mno?inu.

Pokud nam to axiomy dane teorie mno?in dovoli, m??eme zkonstruovat i nekone?ne mno?iny , nap?iklad:

${\displaystyle \{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\{\emptyset \}\},\{\{\{\emptyset \}\}\},...,\{...\{\emptyset \}...\},...\}}$

Zakladni mno?inove operace [ editovat | editovat zdroj ]

• 
  Pr?nik dvou mno?in
  ${\displaystyle ~A\cap B}$
• 
  Sjednoceni dvou mno?in
  ${\displaystyle ~A\cup B}$
• 
  Rozdil mno?in A (vlevo) a B (vpravo)
  ${\displaystyle A^{c}\cap B~=~B\setminus A}$
• 
  Symetricka diference dvou mno?in
  ${\displaystyle A~\triangle ~B}$
• 
  Dopln?k A v U
  ${\displaystyle A^{c}~=~U\setminus A}$

Mno?ina (prosta) nem??e obsahovat ?adne prvky vicekrat. Pokud je pot?eba pracovat se souhrny obsahujicimi vice ?stejnych“ p?edm?t? (nap?. st?l a ?ty?i ?idle), je lep?i pou?ivat pojem multimno?ina nebo kolekce , zavedeny v informatice . Pokud se prvky mohou opakovat a zale?i na jejich po?adi (jako nap?. u pismen ve slov? ABBA ), jedna se o posloupnost .

Mno?inou neni ka?dy soubor prvk?, by? v b??nem jazyce se to tak chape. V matematice vede vytva?eni libovolnych souhrn? prvk? k paradox?m , nap?iklad neexistuje mno?ina obsahujici v?echny mno?iny, jak ?ika Russellova antinomie . Proto jsou libovolne souhrny nazyvany t?idou a jenom n?ktere t?idy jsou potom mno?inami. Mno?ina je takovy souhrn prvk?, ktery je sam prvkem n?jake t?idy.

Mohutnost mno?in [ editovat | editovat zdroj ]

Podle po?tu prvk? se mluvi o mohutnosti mno?in. Nelze tedy hovo?it o velikosti, jde o jinou veli?inu, s jinou definici. Zakladni stupn? mohutnosti jsou tyto:

• mno?iny kone?ne mohutnosti neboli kone?ne mno?iny, maji kone?ny po?et prvk?,
• mno?iny nekone?ne mohutnosti neboli mno?iny nekone?ne,
• mno?iny spo?etne ? nekone?ne mno?iny, jejich? prvky jsou ozna?itelne p?irozenymi ?isly, v?echny tedy maji shodny po?et prvk?, nap?. cela ?isla, cela kladna (p?irozena), racionalni ?isla atp.,
• kontinuum , mohutnosti kontinua ? maji po?et prvk? spojit? nekone?ny, tj. nekone?n? mohutn?j?i, ne? spo?etne mno?iny, nap?. interval mezi dv?ma ?isly, realna ?isla, komplexni ?isla, body use?ky, body roviny.

Souvisejici ?lanky [ editovat | editovat zdroj ]

• Disjunktni mno?iny
• Geometricky utvar
• Mno?ina v?ech bod? dane vlastnosti
• Mno?ina (datova struktura)
• Nekone?na mno?ina
• Podmno?ina
• Prazdna mno?ina
• Stirlingova ?isla
• Uspo?adana mno?ina
• Vyhledavaci operatory

Odkazy [ editovat | editovat zdroj ]

Externi odkazy [ editovat | editovat zdroj ]

• Obrazky, zvuky ?i videa k tematu mno?ina na Wikimedia Commons
• Slovnikove heslo mno?ina ve Wikislovniku
• Mno?ina v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Teorie mno?in
Axiomy	axiom vyb?ru ? axiom spo?etneho vyb?ru ? axiom zavisleho vyb?ru ? axiom extenzionality ? axiom nekone?na ? axiom dvojice ? axiom poten?ni mno?iny ? Axiom regularnosti ? axiom sumy ? schema nahrazeni ? schema axiom? vyd?leni ? hypoteza kontinua ? Martin?v axiom ? velke kardinaly
Mno?inove operace	dopln?k ? de Morganovy zakony ? kartezsky sou?in ? poten?ni mno?ina ? pr?nik ? rozdil mno?in ? sjednoceni ? symetricka diference
Koncepty	bijekce ? kardinalni ?islo ? konstruovatelna mno?ina ? mohutnost ? ordinalni ?islo ? prvek mno?iny ? rodina mno?in ? transfinitni indukce ? t?ida ? Venn?v diagram
Mno?iny	Cantorova diagonalni metoda ? fuzzy mno?ina ? kone?na mno?ina ? nekone?na mno?ina ? nespo?etna mno?ina ? podmno?ina ? prazdna mno?ina ? rekurzivni mno?ina ? spo?etna mno?ina ? tranzitivni mno?ina ? univerzalni mno?ina
Teorie	axiomaticka teorie mno?in ? Cantorova v?ta ? forsing ? Kelleyova?Morseova teorie mno?in ? naivni teorie mno?in ? New Foundations ? paradoxy naivni teorie mno?in ? Principia Mathematica ? Russell?v paradox ? Suslinova hypoteza ? Von Neumannova?Bernaysova?Godelova teorie mno?in ? Zermelova teorie mno?in ? Zermelova?Fraenkelova teorie mno?in ? alternativni teorie mno?in
Lide	Abraham Fraenkel ? Bertrand Russell ? Ernst Zermelo ? Georg Cantor ? John von Neumann ? Kurt Godel ? Lotfi Zadeh ? Paul Bernays ? Paul Cohen ? Petr Vop?nka ? Richard Dedekind ? Thomas Jech ? Willard Quine