Diracova notace (nebo take Diracova symbolika ) je zp?sob zapisu vektor? b??n? pou?ivany v kvantove mechanice a kvantove teorii pole . Jde o zapis vektor? v Hilbertov? prostoru , ktery zavedl P.A.M. Dirac . Symbolika je te? znama jako braketova .

Definice [ editovat | editovat zdroj ]

Vektor a je ozna?ovan symbolem ${\displaystyle |a\rangle }$. Proto?e jsme v prostoru se skalarnim sou?inem ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$, je dob?e definovan dualni vektor ${\displaystyle \mathbf {a} ^{*}=(\mathbf {a} ,\cdot )}$ a zna?i se ${\displaystyle \langle a|}$. Vektory se nazyvaji ket-vektory a dualni vektory bra-vektory . Jde o slovni h?i?ku, proto?e akce bra -vektoru ${\displaystyle \langle a|}$ na ket -vektor ${\displaystyle |b\rangle }$ je podle definice jejich skalarni sou?in ${\displaystyle \langle a|b\rangle =(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$, co? se anglicky ?ika bracket (zavorka) (obvykle uva?ujeme komplexni prostory a od skalarniho sou?inu o?ekavame linearitu v b a anti-linearitu v a ). Pokud sou?adnice vektoru ${\displaystyle |a\rangle }$ jsou v n?jake ortonormalni bazi

${\displaystyle |a\rangle ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},}$

pak sou?adnice vektoru ${\displaystyle \langle a|}$ v dualni bazi jsou ${\displaystyle \langle a|=(a_{1}^{*},a_{2}^{*},\cdots ,a_{n}^{*})}$ (* ozna?uje komplexni sdru?eni ). Za danych p?edpoklad? m??eme take ?ict, ?e ${\displaystyle \langle a|}$ je hermiteovsky sdru?eny vektor k ${\displaystyle |a\rangle }$.

Pou?iti [ editovat | editovat zdroj ]

Diracova symbolika je vyhodna proto, ?e je mo?ne zapsat operator , jeho vlastni ?isla a vektory pomoci jednoho symbolu, nap?.

${\displaystyle {\hat {L}}|L\rangle =L|L\rangle }$,

kde ${\displaystyle {\hat {L}}}$ je operator, ${\displaystyle L}$ p?edstavuje jeho vlastni ?islo a ${\displaystyle |L\rangle }$ jeho vlastni vektor.

V p?ipad? diskretnich vlastnich hodnot ma p?edchozi vztah tvar

${\displaystyle {\hat {L}}|L_{n}\rangle =L_{n}|L_{n}\rangle =L_{n}|n\rangle }$

Pro hermiteovsky operator ${\displaystyle {\hat {A}}}$, tzn. ${\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}}$, pro ktery plati

${\displaystyle {\hat {A}}|f\rangle =|g\rangle }$

pak take plati

${\displaystyle \langle g|={(|g\rangle )}^{+}={({\hat {A}}|f\rangle )}^{+}={(|f\rangle )}^{+}{\hat {A}}^{+}=\langle f|{\hat {A}}}$

Hermiteovske operatory tedy p?sobi na ket-vektory zleva a na bra-vektory zprava a tyto akce jsou stejne (ve smyslu ztoto?n?ni vektor? a dual?).

Mnoho formuli z linearni algebry se da v Diracov? notaci zapsat velmi p?ehledn?. Nap?iklad operator ortogonalni projekce na prostor, ktery ma ortonormalni bazi ${\displaystyle |e_{1}\rangle ,\ldots ,|e_{k}\rangle }$ se da napsat jako ${\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|}$ (sou?in ket -vektoru a bra -vektoru je linearni operator).

Odkazy [ editovat | editovat zdroj ]

Souvisejici ?lanky [ editovat | editovat zdroj ]

• Vektor
• Hilbert?v prostor
• Operator

Externi odkazy [ editovat | editovat zdroj ]

• Obrazky, zvuky ?i videa k tematu Diracova notace na Wikimedia Commons
• Diracova notace v encyklopedii MathWorld (anglicky)