En fisica l' accio es un atribut de la dinamica d'un sistema fisic . Es un funcional que pren la trajectoria , tambe anomenada cami o historia , del sistema com a argument, i te un nombre real com a resultat. L'accio te la dimensio d' energia × temps , i doncs la seva unitat es el joule· segon en el Sistema Internacional d'Unitats (SI).

Generalment, l'accio pren valors diferents per camins diferents. La mecanica classica postula que el cami real seguit per un sistema fisic es aquell en que l'accio pren un valor minim, o, mes estrictament, un valor estacionari. Les equacions del moviment classiques d'un sistema es poden obtenir d'aquest principi de la minima accio .

La formulacio de la mecanica classica amb aquest principi s'esten a la mecanica quantica en la formulacio del path integral o integral de camins de Feynman , on un sistema fisic segueix simultaniament tots els camins possibles amb amplituds de probabilitat determinades per l'accio classica. De fet, un dels postulats basics de la mecanica quantica es l'existencia d'una unitat natural d'accio, la constant de Planck ?, amb un valor d'uns 10 ^?34 J·s. La mateixa idea de la integral de camins permet formular les teories dels camps quantics i per tant el model estandard de la fisica de particules .

Sovint l'accio es pot representar com una integral presa al llarg del cami del sistema entre el temps inicial i el temps final:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,.}$

L'integrand, L , s'anomena lagrangiana del sistema, i depen en cada instant de l'estat fisic del sistema.

Antecedents [ modifica ]

Durant el desenvolupament del concepte, l' accio es va definir de diverses maneres, ara ja obsoletes:

• Gottfried Leibniz , Johann Bernoulli i Pierre Louis Maupertuis definiren l'accio per a la llum com la integral de la seva velocitat o la inversa de la seva velocitat inversa al llarg del seu cami.
• Leonhard Euler (i, possiblement, Leibniz) va definir accio per a una particula material com la integral de la velocitat de la particula al llarg del seu cami.
• Pierre Louis Maupertuis va presentar diverses definicions d'accio dins d'un mateix article, com energia potencial, com energia cinetica virtual, i com un hibrid que assegurava conservacio del moment en les col·lisions.

Conceptes basics [ modifica ]

Les lleis fisiques s'expressen sovint com equacions diferencials , que especifiquen com varia una quantitat fisica respecte a canvis infinitesimals del temps, la posicio o d'altres variables independents . Una equacio diferencial pot proporcionar el valor de la variable fisica en qualsevol punt del seu domini de definicio si se'n coneixen certes condicions inicials .

La definicio de l'accio, en canvi, fa us dels valors de la variable al llarg de tot un interval de temps, i en construeix una magnitud que assoleix un valor minim (o estacionari) nomes en el moviment real del sistema, es a dir, el moviment del sistema es la solucio d'un problema variacional . S'obte aixi una formulacio profunda, simple i elegant de les lleis de la mecanica analitica . Cal notar, pero, que aquesta formulacio nomes es valida per a sistemes mecanics conservatius .

L'equivalencia de les dues aproximacions es el principi de Hamilton o de l'accio estacionaria.

La descripcio de la fisica a traves del concepte d'accio s'aplica no solament a la mecanica classica , sino tambe als camps classics com l' electromagnetic i el gravitatori . La definicio de l'accio per a un sistema classic es tambe fonamental en la quantitzacio del sistema, tant en mecanica quantica com en teoria quantica de camps .

Definicio matematica [ modifica ]

Expressada en llenguatge matematic, utilitzant el calcul de variacions , l'evolucio temporal d'un sistema fisic, es a dir, com el sistema canvia d'un estat a un altre, correspon a un punt estacionari (normalment un minim ) de l'accio.

• L'accio es normalment una integral al llarg del temps. Tanmateix, per a l'accio corresponent a un camp , la integral s'efectua tambe sobre les variables espacials.
• L'evolucio d'un sistema fisic entre dos estats esta determinada exigint que l'accio tingui un minim o, mes generalment, un valor estacionari, per a petites pertorbacions de l'evolucio real del sistema. Aquest requisit condueix a equacions diferencials que descriuen l'evolucio real del sistema.
• Un principi d'accio es un metode per reformular l'equacio del moviment d'un sistema fisic en termes d'un problema variacional . El principi d'accio mes important es el principi de Hamilton .

Usos del terme en fisica classica [ modifica ]

En fisica classica , el terme "accio" apareix associat a diversos significats.

Accio (funcional) [ modifica ]

Normalment el terme accio s'utilitza per a un funcional ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, es a dir, una funcio real les variables de la qual son funcions. En mecanica classica , la funcio d'entrada es l'evolucio ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ del sistema entre dos instants prefixats ${\displaystyle t_{1}}$ i ${\displaystyle t_{2}}$, expressada en coordenades generalitzades . L'accio ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$ es defineix com la integral de la funcio lagrangiana ${\displaystyle L}$ al llarg de la trajectoria entre els dos instants:

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t]\,\mathrm {d} t}$

on els punts inicial i final evolucio son fixats, ${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})}$ i ${\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})}$. Segons el principi de Hamilton , l'evolucio veritable ${\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {ver} }(t)}$ es un punt estacionari de l'accio ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ en el sentit del calcul de variacions . Les equacions del moviment resultants son les equacions d'Euler-Lagrange de la mecanica lagrangiana .

Accio abreujada (funcional) [ modifica ]

L'accio abreujada ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$ es similar a l'accio pero considerant nomes la corba recorreguda, no la seva parametritzacio pel temps. (Per exemple, una orbita planetaria recorre una el·lipse, independentment de com es parametritza.) L'accio abreujada ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$ es defineix com la integral dels moments generalitzats al llarg d'un cami en les coordenades generalitzades

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q} =\int p_{i}\,\mathrm {d} q_{i}}$

Segons el principi de Maupertuis , el cami real es un cami per al qual l'accio abreujada ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$ es estacionaria.

La funcio principal de Hamilton [ modifica ]

La funcio principal de Hamilton apareix en l' equacio de Hamilton-Jacobi , que proporciona una formulacio alternativa de la mecanica classica . Aquesta funcio ${\displaystyle S}$ es relaciona amb el funcional ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ fixant temps i posicio inicials ${\displaystyle (t_{1},\mathbf {q} _{1})}$ i deixant temps i posicio finals ${\displaystyle (t_{2},\mathbf {q} _{2})}$ lliures; aquestes son les variables dependents de ${\displaystyle S}$.

La funcio caracteristica de Hamilton [ modifica ]

Quan l'energia total ${\displaystyle E}$ es conserva, l' equacio de Hamilton-Jacobi es pot resoldre per separacio de variables :

${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t}$,

on la funcio independent del temps ${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})}$ s'anomena funcio caracteristica de Hamilton , que tambe s'expressa

${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i}}$.

Accio d'una coordenada generalitzada [ modifica ]

Es una de les variables ${\displaystyle J_{k}}$ de les coordenades accio-angle , definida per la integral

${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\mathrm {d} q_{k}}$

al llarg d'un cami tancat en l' espai de les fases . La variable ${\displaystyle J_{k}}$ s'anomena l'"accio" de la coordenada generalitzada ${\displaystyle q_{k}}$; la variable canonica conjugada corresponent a ${\displaystyle J_{k}}$ es el seu "angle" ${\displaystyle w_{k}}$.

Equacions d'Euler-Lagrange per a la integral d'accio [ modifica ]

Aplicant el principi de Hamilton i les tecniques del calcul variacional, es prova que els camins estacionaris del funcional accio ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;L(t,q,{\dot {q}})\,\mathrm {d} t\,}$ amb els extrems fixats, son aquells que satisfan les equacions d'Euler-Lagrange :

${\displaystyle {\partial L \over \partial q^{i}}-{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {q}}^{i}}=0\,,}$

on ${\displaystyle q^{i}}$ son les coordenades generalitzades.

Per a un sistema conservatiu on L = T-V , essent T la funcio energia cinetica del sistema de particules i V la seva energia potencial, aquestes equacions son equivalents a les equacions de Newton o segona llei de Newton .

Principi d'accio per a la particula relativista [ modifica ]

Quan els efectes relativistes son significatius, l'accio d'una particula de massa m que recorre una linia d'univers C parametritzat pel temps propi ${\displaystyle \tau }$ es

${\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau }$.

Si en lloc del temps propi la trajectoria es parametritza amb el temps coordinat t llavors l'accio es ${\displaystyle \int _{t1}^{t2}L\,dt}$ on la lagrangiana es

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Una descripcio similar serveix per a una particula lliure en un camp gravitatori arbitrari: el seu moviment es en realitat una geodesica de la metrica lorentziana corresponent, i doncs es pot descriure amb un principi variacional on l'accio es proporcional a la longitud de la corba.

Principi d'accio per a camps classics [ modifica ]

El principi d'accio es pot estendre per a obtenir les equacions del moviment per a camps, com el camp electromagnetic o el gravitatori . En aquest darrer cas, l' equacio d'Einstein utilitza l' accio d'Einstein-Hilbert .

Principi d'accio en mecanica quantica i teoria de camps quantics [ modifica ]

En una interpretacio apropiada de la mecanica quantica , el sistema no segueix un cami unic l'accio del qual es estacionaria, sino que pot seguir multitud de camins amb diferents probabilitats que depenen de la seva accio. Aquestes accions, integrades en un espai de dimensio infinita a traves de la tecnica de la integral de camins de Feynman , donen les amplituds de probabilitat que permeten descriure l'evolucio del sistema. En aquest sentit, encara que des del punt de vista classic les lleis de Newton i el principi de l'accio estacionaria puguin donar resultats equivalents, l'us del principi d'accio permet anar molt mes enlla, fins al punt que te un paper central en la fisica moderna.

Principi d'accio i lleis de conservacio [ modifica ]

Les simetries d'un problema fisic es poden tractar millor amb el principi d'accio. N'es un exemple el teorema de Noether , que afirma que a cada simetria continua del sistema correspon una llei de conservacio , i viceversa.

Vegeu tambe [ modifica ]

• Mecanica hamiltoniana

Bibliografia [ modifica ]

• Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications, New York, 1986). ISBN 0-486-65067-7 .
• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics (curs de fisica teorica, vol. 1).
• L.D. Landau and E.M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields (curs de fisica teorica, vol. 2).
• JV Jose, EJ Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach (Cambridge University Press, 1998). ISBN 0-521-63636-1 .
• Thomas A. Moore, "Least-Action Principle" dins Macmillan Encyclopedia of Physics (Simon & Schuster Macmillan, 1996), Volume 2, ISBN 0-02-897359-3 , OCLC 35269891 , pp. 840 ? 842.
• Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom, Structure and Interpretation of Classical Mechanics (MIT Press, 2001).
• Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics , Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0 .
• Robert Weinstock, Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering (Dover Publications, 1974). ISBN 0-486-63069-2 .
• Wolfgang Yourgrau and Stanley Mandelstam, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory (Dover Publications, 1979).

Enllacos externs [ modifica ]

Vegeu accio en el Viccionari , el diccionari lliure. Viccionari

• Principle of Least Action (Edwin F. Taylor). Conte bibliografia anotada.