Mersenne-primtal
er
primtal
pa formen 2
n
-1. Dvs. alle de primtal der kan skrives som en potens af 2 minus 1. De er opkaldt efter den franske munk
Marin Mersenne
(1588?1648), som undersøgte disse
tal
, herunder specielt hvorvidt de var
primtal
.
En nødvendig (men ikke tilstrækkelig) betingelse for, at
2
n
-1 er primtal, er, at
n
selv er et primtal, idet hvis
p
er en ægte
divisor
i
n
, sa er 2
p
-1 en ægte divisor i 2
n
-1.
Der findes forholdsvis simple metoder til at beregne, om et mersennetal er et primtal.
Lucas?Lehmer-testen
kan bevise, at mersennetallet er primisk ved hjælp af kun
n
operationer. Dette betyder, at verdens største kendte primtal som regel er mersenneprimtal.
Marin Mersenne pastod, at mersennetallene var primiske for
n
= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257 og sammensatte for øvrige værdier af
n
.
Senere undersøgelser har vist, at
n
= 67 og 257 ikke giver primtal, og at
n
= 61, 87 og 107 giver mersenneprimtal.
Der formodes at være uendeligt mange mersenneprimtal, men dette er ikke bevist.
Fra et mersenneprimtal kan man konstruere et
fuldkomment tal
(
Euklid
), og alle
lige
fuldkomne tal fremkommer pa denne made (
Euler
).
GIMPS
er en gruppe pa
Internettet
, som bruger deres ledige computertid til at finde nye og større mersenneprimtal. I
december
2018
kendtes der i alt 51 mersenneprimtal hvoraf GIMPS havde fundet de 17 største:
*
Det er endnu ikke bevist at der ikke eksisterer andre mersenneprimtal mellem det 48. og 51. mersenneprimtal. Nummereringen er derfor kun foreløbig.