Passive RC- und RL-Tiefpasse

Im Gegensatz zum ohmschen Widerstands R sind die Blindwiderstande eines Kondensators (Kapazitat) X C oder einer Spule (Induktivitat) X L immer von der Frequenz der angelegten Spannung abhangig. Dieses Kapitel beschreibt das Verhalten passiver RC- und RL-Reihenschaltungen an sinusformiger Spannung. Es handelt sich um frequenzabhangige Spannungsteiler. Entsprechende aktive Schaltungen sind an anderer Stelle als Integrierverstarker beschrieben. Beide Schaltungen haben mit dem kapazitiven oder induktiven Widerstand ein unabhangiges Speicherglied und werden als passive Filter 1. Ordnung bezeichnet.

Im niedrigen Frequenzbereich unterhalb 1 MHz konnen die meisten Bauformen ohmscher Widerstande (Wirkwiderstande R) als von der Frequenz unabhangig angenommen werden. Mit zunehmender Frequenz nimmt der Wert eines kapazitiven Blindwiderstands ab er beim induktiven Blindwiderstand großer wird. Am RC-Spannungsteiler ist daher die Spannung parallel zum Kondensator bei tiefen Frequenzen groß und bei hohen Frequenzen klein. An einer RL-Reihenschaltung wird der gleiche Effekt erzielt, wenn die Ausgangsspannung parallel zum Wirkwiderstand gemessen wird. Fur die folgenden Betrachtungen ist die Amplitude der Eingangsspannung fur alle Frequenzen konstant.

In der Elektronik werden Baugruppen entsprechend ihrer Funktion oft als Blocksymbole dargestellt. Die Darstellungsform, allgemein als Vierpol bezeichnet, ist fur diese Schaltungen ein Zweitor, da die Strome an den Eingangs- und Ausgangsklemmen gleich sind. Links ist das Eingangstor mit zwei Eingangspolen, rechts sind die zwei Pole des Ausgangstors. Liegen die unteren Pole auf einem gemeinsamen Potenzial, dem Massebezug der Schaltung, so konnen sie als ein Bezugspol dargestellt werden. Die eingetragenen Buchstaben oder Symbole kennzeichnen die Eigenschaften des Vierpols.

Die Grenzfrequenz

Im Zeigerdiagramm ist der Phasenwinkel zwischen der Realkomponente, die dem Wirkwiderstand R und der Blindkomponente fur X C oder X L immer 90°. Die Eingangsspannung liegt an beiden Widerstanden, der Impedanz an. Der Strom ist in der Reihenschaltung fur alle Bauteile gleich und die Bezugsgroße. Der Stromzeiger wird in die horizontale Richtung der Realwert-Achse gelegt. Am ohmschen Widerstand ist zwischen Strom und Spannung kein Phasenwinkel messbar. Der Zeiger fur die Spannung U R liegt horizontal. Am ideal angenommenen Blindwiderstand ist fur X C ein Phasenwinkel von 90° messbar, wobei die Spannung dem Strom nacheilt. Dieser Zeiger zeigt senkrecht nach unten. Am ideal angenommenen Blindwiderstand X L eilt die Spannung dem Strom um 90° voraus. Dieser Zeiger weist senkrecht nach oben.

Die Zeiger fur den Real- und Blindwert bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die geometrische Addition der Spannungszeiger ist die Hypotenuse deren Lange der Eingangsspannung entspricht. Da nur der Blindwiderstand von der Frequenz abhangig ist, werden bei nur einer bestimmten Frequenz beide Teilspannungen den gleichen Wert und die gleiche Zeigerlange haben. Wird fur diese Lange der Wert 1 gesetzt, also normiert, dann hat die Lange der Hypotenuse bei geometrischer Addition der Teilwerte den Wert √2. Der Lange des Summenzeigers entspricht der Eingangsspannung oder im Zeigerdiagramm der Widerstande dem Gesamtwiderstand, der Impedanz Z.

Wird auf die Eingangsgroße und damit auf den Summenzeiger normiert, so hat er den Wert 1 und die beiden Teilzeiger mussen durch √2 dividiert werden. Die Zeigerlangen der Realkomponente und der Blindkomponente haben dann den Wert 0,707. Nur fur diese eine Frequenz teilt der Summenzeiger den rechten Winkel zu je 45°. Fur die gleichen Spannungs- oder Widerstandswerte einer RC- oder RL-Reihenschaltung und dem Absolutwert des Phasenwinkel φ = 45° ist die Grenzfrequenz definiert. Beim Tiefpass wird der Frequenzbereich unterhalb der Grenzfrequenz als Durchlass- und daruber als Sperrbereich bezeichnet. Fur sinusformige Eingangsspannungen kann mit der Ubertragungsfunktion, dem Verhaltnis der Ausgangsspannung bezogen auf die Eingangsspannung, das von der Frequenz abhangige Verhalten der Schaltung beurteilt werden.

Herleitungen der Ubertragungsfunktionen

Ubertragungsfunktion fur einen RC-Tiefpass

Die Eingangsspannung U e liegt an der Impedanz Z der Reihenschaltung, die gleich der geometrischen Addition beider Teilwiderstande ist. Die Ausgangsspannung U a wird beim RC-Tiefpass parallel zum Blindwiderstand X c abgenommen. Das Spannungsverhaltnis wird auf die Ausgangsspannung normiert, sodass ihr Maximalwert nicht großer als 1 werden kann. Die Normierung vereinfacht den Vergleich unterschiedlich dimensionierter Schaltungen. Die Ubertragungsfunktion leitet sich mit wenigen Umformungen aus dem Spannungsverhaltnis her.

Ubertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

Oft sind die Berechnungen mithilfe der komplexen Wechselstromrechnung einfacher und ubersichtlicher und in vielen Veroffentlichungen zu diesem Themenkreis zu finden. In diesem Webprojekt sind Beschreibungen zum komplexen Achsensystem und zur komplexen Rechnung ebenso wie die Zusammenhange zwischen den Blindwiderstanden und ihren Operatoren und Leitwerten im Bereich der Fachmathematik zu finden.

Die Ubertragungsfunktion G (jω) oder G (s) wird auch als H (jω) oder H (s), geschrieben und mit den Operatoren aufgestellt. Die komplexen Großen sind mit einem Unterstrich gekennzeichnet. Die Normierung auf die Ausgangsspannung bleibt, sodass im Zahler der Wert 1 steht. In Veroffentlichungen gibt es unterschiedliche Vereinfachungen. Anstelle von RC wird die Zeitkonstante τ = R·C eingesetzt oder der Faktor j·ω wird durch s = j·ω ersetzt. Sehr oft wird auf die Grenzfrequenz normiert, sodass die Frequenzachse jetzt Werte fur Ω = f / f g den Bereich 0 ... ∞ durchlauft und bei Grenzfrequenz f g den Wert Ω = 1 hat. Es folgt die Herleitung fur einen RC-Tiefpass.

Fur Ω = 0 hat die Amplitude ihren Maximalwert 1 und der Phasenwinkel betragt φ = 0°. Bei der Grenzfrequenz mit Ω = 1 hat die Ausgangsamplitude den Wert 0,707 der Eingangsamplitude oder −3 dB erreicht. Der Phasenwinkel zwischen Ausgangs- und Eingangssignal betragt φ = -45°. Fur sehr hohe Frequenzen streben Ω gegen unendlich, die Ubertragungsfunktion gegen null und der Phasenwinkel gegen −90°. Das sind die charakteristischen Eckwerte einer RC-Tiefpassschaltung, die sich schnell und einfach mithilfe der Ubertragungsfunktion bestimmen lassen.

Ubertragungsfunktion fur einen RL-Tiefpass

Die Eingangsspannung liegt an der Gesamtimpedanz Z der Reihenschaltung aus R und L. Die Ausgangsspannung wird beim RL-Tiefpass parallel zum ohmschen Widerstand abgegriffen. Die nicht komplexe mathematische Herleitung der Ubertragungsfunktion entspricht angepasst den Schritten wie beim RC-Tiefpass.

Zur Darstellung des Amplituden-Frequenzgangs wird anstelle des Spannungsverhaltnisses oftmals das Pegelmaß verwendet. Weit oberhalb der Grenzfrequenz im Sperrbereich ist dann der Kurvenverlauf linear fallend. Das Dampfungsmaß errechnet sich aus der Steigung. Der charakteristische Wert fur einen passiven Tiefpass 1. Ordnung betragt 6 dB pro Oktave, im Bereich der Frequenzverdoppelung. Im linearen Abschnitt der Dampfung und dem Zehnfachen des Frequenzbereichs entspricht das dem Dampfungsmaß 20 dB pro Dekade.

Beim RC-Tiefpass wird die Ausgangsspannung am Kondensator abgegriffen.
Beim RL-Tiefpass wird die Ausgangsspannung am Widerstand abgegriffen.
Eingangssignale mit tiefen Frequenzen durchlaufen die Schaltung fast ungehindert.
Mit steigender Eingangsfrequenz wird die Ausgangsamplitude stetig kleiner.
Bei der Grenzfrequenz f g gilt U a  = 0,707·U e . Die Dampfung betragt 3 dB, die Verstarkung −3 dB.
Bei f g ist das Ausgangssignal um φ = −45° zum Eingangssignal phasenverschoben.
Bei f » f g betragt die Dampfung 6 dB/Oktave das entspricht 20 dB/Dekade.

Herleitung mit komplexer Wechselstromrechnung

Das Ausgangssignal wird am ohmschen Widerstand abgenommen und das Eingangssignal liegt an der Impedanz, der Reihenschaltung aus dem induktiven Blindwiderstand und dem Wirkwiderstand. Die Schritte der Herleitung sind vergleichbar zum RC-TP. Es wird auf das Ausgangssignal normiert, sodass der Zahler den Wert 1 hat. Es kann auf die Grenzfrequenz normiert werden, wodurch in den Diagrammen die Frequenzachse durch die dimensionslosen Werte fur Ω geteilt wird.

Die hergeleiteten Eigenschaften gelten einen unbelasteten Pass, wo praktisch weder der Innenwiderstand der Signalquelle noch der Eingangswiderstand einer Folgestufe berucksichtigt werden muss. In einer mehrstufigen Schaltung kann das durch vor- und nachgeschaltete Impedanzwandler erreicht werden. Sie werden zumeist als Pufferverstarker (engl. Buffer) bezeichnet. Ohne diese Entkopplung wird der Pass belastet, wobei die maximal erreichbare Ausgangsspannung geringer ist und die zuvor berechnete Grenzfrequenz einen anderen Wert annimmt. Auf der Seite zum belasteten RC-Pass werden diese Einflusse mit mathematischen Herleitungen beschrieben.