У функц?ональному анал?з? функц?онал М?нковського використову? л?н?йну структуру простору для введення тополог?? на ньому. Названий на честь н?мецького математика Германа М?нковського .

Для будь-якого векторного простору X (д?йсного або комплексного) ? його п?дмножини K визначимо функц?онал М?нковського

${\displaystyle \ \mu _{K}:X\rightarrow [0,\infty )}$

як

${\displaystyle \mu _{K}(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}.}$

Передбача?ться, що 0 ∈ K ? множина { r > 0: x ∈ r K } непорожня. При додаткових умовах на K функц?онал буде мати властивост? нап?внорми , а саме:

• ?з опуклост? й симетричност? K виплива? субадитивн?сть ${\displaystyle \mu _{K}}$, тобто

  ${\displaystyle \ \mu _{K}(\alpha x+\beta y)\leq \alpha \mu _{K}(x)+\beta \mu _{K}(y)}$

• Однор?дн?сть ( μ _K ( α x ) = | α | μ _K ( x ) для вс?х α) досяга?ться, якщо K ? збалансована множина , тобто α K ⊂ K для вс?х | α | ≤ 1.

Функц?онал М?нковського можна використовувати для задання тополог?? в простор?, так як для опуклих замкнених множин K , що м?стять 0, в?н ма? властивост? нап?внорми. В?н також дозволя? встановити в?дпов?дн?сть (один ?з прояв?в дво?стост? М?нковського) м?ж множинами в X ? X ^* , оск?льки волод?? властивостями опорно? функц?? в зв'язаному простор?. Нехай X ? ск?нченновим?рний евкл?д?в прост?р . Для будь-яко? множини K з X визначимо спряжену множину K ^* з X ^* як множину, опорна функц?я s (p, K ^* ) яко? на векторах p з X зб?га?ться з p _K :

${\displaystyle \forall p\in X~s(p,K^{*})=\mu _{K}(p)}$

При цьому для будь-якого опуклого замкнутого збалансованого K

${\displaystyle \ K^{**}=K}$

Це визначення також можна поширити на неск?нченновим?рн? рефлексивн? простори. При цьому, однак, виника? деяка складн?сть, так як прост?р X ** м?стить елементи, що не лежать в X . Можна довизначити опорну функц?ю на K *, поклавши ?? для таких вектор?в р?вною 0. Тод? при природному вкладенн? X в X ** образ K зб?га?ться з K ** (при опуклост? ? збалансованост?).

?нш? прояви дво?стост? М?нковського:

• Перетворення Лежандра

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. ? М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. ? 416 с. ? ISBN 5-9221-0499-3 .