Статистика Максвелла ? Больцмана  ? статистичний метод опису ф?зичних систем, що м?стять велику к?льк?сть невза?мод?йних частинок, що рухаються за законами класично? механ?ки (тобто класичного ?деального газу ); запропонована в 1871 р. австр?йським ф?зиком Л. Больцманом .

?з загального розпод?лу ??ббса . Розглянемо систему частинок, що знаходиться в однор?дному пол?. В такому пол? кожна молекула ?деального газу ма? повну енерг??ю

${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{kin}+u(x,y,z)}$, де

${\displaystyle \varepsilon _{kin}}$ ? к?нетична енерг?я ?? поступального руху , а ${\displaystyle ~u}$ ? потенц?йна енерг?я в зовн?шньому пол?, яка залежить в?д ?? положення.

П?дставимо цей вираз для енерг?? у розпод?л ??ббса для молекули ?деального газу ${\displaystyle \left(\mathrm {d} w={\frac {1}{z}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon (p,q)}{\theta }}\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}\right)}$ (де ${\displaystyle ~\mathrm {d} w}$ ? ймов?рн?сть того, що частка перебува? в стан? з? значеннями координат ${\displaystyle ~q}$ ? ?мпульс?в ${\displaystyle ~p}$, в ?нтервал? ${\displaystyle ~\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}$)

ма?мо:

${\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{zh^{3}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}$,

де статистичний ?нтеграл р?вний:

${\displaystyle z=\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT}}\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}}$

?нтегрування ведеться по вс?х можливих значень зм?нних. Дал? статистичний ?нтеграл можна написати у вигляд?:

${\displaystyle z={\frac {1}{h^{3}}}\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT}}\right)\mathrm {d} V=\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT}}\right)\mathrm {d} V}$,

ми знаходимо, що нормоване на одиницю розпод?л ??ббса для молекули газу при наявност? зовн?шнього поля ма? вигляд:

${\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot {\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\qquad \qquad (1)}$.

Отриманий розпод?л ймов?рностей, що характеризу? ймов?рн?сть того, що молекула ма? даний ?мпульс ? знаходиться в даному елемент? об'?му, носить назву розпод?л Максвелла ? Больцмана .

При розгляд? розпод?лу Максвелла ? Больцмана, кида?ться в оч? важлива властив?сть ? його можна представити як добуток двох множник?в:

${\displaystyle \mathrm {d} w=\left[{\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\right]\cdot \left[{\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\right]\qquad \qquad (2)}$.

Перший множник ? не що ?нше, як розпод?л Максвелла, воно характеризу? розпод?л ймов?рностей по ?мпульсах. Другий множник залежить лише в?д координат частинок ? визнача?ться видом ?? потенц?йно? енерг??. В?н характеризу? ймов?рн?сть виявлення частки в обсяз? dV.

Зг?дно з теор??ю ймов?рностей , розпод?л Максвелла ? Больцмана можна розглядати як добуток ймов?рностей двох незалежних под?й ? ймов?рн?сть даного значення ?мпульсу та даного положення молекули. Перша з них:

${\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}}$

представля? розпод?л Максвелла, друга ймов?рн?сть:

${\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}}$

? розпод?л Больцмана. Очевидно, що кожне з них нормовано на одиницю.

Розпод?л Больцмана ? окремим випадком канон?чного розпод?лу ??ббса для ?деального газу в зовн?шньому потенц?альному пол?, так як за в?дсутност? вза?мод?? м?ж частками розпод?л Г?ббса розпада?ться на тв?р розпод?л?в Больцмана для окремих частинок.

Незалежн?сть ймов?рностей да? важливий результат: ймов?рн?сть даного значення ?мпульсу абсолютно не залежить в?д положення молекули ?, навпаки, ймов?рн?сть положення молекули не залежить в?д ?? ?мпульсу. Це означа? що розпод?л часток по ?мпульсах (швидкостям) не залежить в?д поля, ?ншими словами залиша?ться тим же самим в?д точки до точки простору, в якому укладений газ. Зм?ню?ться лише ?мов?рн?сть виявлення частки або, що те ж саме, число частинок.

• Статистика Ферм??Д?рака
• Розпод?л Больцмана
• Статистика Бозе?Ейнштейна
• Розпод?л ??ббса

• Елементи ф?зики твердого т?ла ^{[ недоступне посилання з червня 2019 ]}

Це незавершена стаття з ф?зики . Ви можете допомогти про?кту, виправивши або дописавши ?? .