Квантова механ?ка
Вступ · ?стор?я Математичн? основи [en]
Основа Класична механ?ка · ?нтерференц?я · Нотац?я бра-кет · Гам?льтон?ан · Стара квантова теор?я
Фундаментальн? поняття Вектор стану · Хвильова функц?я · Суперпозиц?я · Заплутан?сть · Вим?рювання · Невизначен?сть · Виключення Паул? · Дуал?зм · Декогеренц?я · Теорема Еренфеста · Тунелювання
Експерименти Досл?д Дев?ссона ? Джермера · Досл?д Штерна ? Герлаха · К?т Шред?нгера · Досл?д Поппера [en] · Досл?д Юнга · Перев?рка нер?вностей Белла [en] · Фотоефект · Ефект Комптона · Ефект Рамзауера
Формулювання Картина Шред?нгера · Картина Гейзенберга · Картина вза?мод?? · Матрична квантова механ?ка · ?нтеграл вздовж тра?ктор?й
Р?вняння Р?вняння Шред?нгера · Р?вняння Паул? · Р?вняння Клейна ? ?ордона · Р?вняння Д?рака
?нтерпретац?? [en] Багатосв?това · Ба?с?вська · Бом?вська механ?ка · В?дносна · Копенгагенська · Об'?ктивний колапс · Статистична · Стохастична [en] · Теор?я прихованих параметр?в · Теор?я узгоджених ?стор?й [en] · Транзакц?йна [en]
Складн? теми Квантова теор?я поля · Квантова електродинам?ка · Квантова хромодинам?ка · Квантова грав?тац?я · ЕПР-парадокс · Теор?я всього
Наближен? методи Кваз?класичне наближення · Теор?я збурень · Вар?ац?йний метод
В?дом? науковц? Ааронов [en] · Белл · Блох · Бозе · Бом [en] · Бор · Борн · де Бройль · Вейль · В?гнер · Гейзенберг · Дебай · Д?рак · Еверетт · Ейнштейн · Зееман · Зоммерфельд · Йордан · Комптон · Крамерс · Ландау · фон Лауе · Лемб · фон Нейман · Паул? · Планк · Раб? · Фейнман · Ферм? · Фок · Шв?нгер · Шред?нгер
Див. також: Портал:Ф?зика
п о р

Стара? ква?нтова тео?р?я (?нод? стара? ква?нтова меха?н?ка ^[1] ) ? п?дх?д до опису атомних явищ, що був розвинутий у 1900?1924 роках ? передував квантов?й механ?ц? . Характерна риса теор?? ?використання класично? механ?ки та деяких припущень, що суперечили ?й. Основою старо? квантово? теор?? була модель атома Бора , до яко? п?зн?ше Арнольд Зоммерфельд ^[2] додав квантування z-компоненти кутового моменту , яке невдало назвали просторовим квантуванням . Квантування z-компоненти дало змогу ввести ел?птичн? електронн? орб?ти й запропонувати ?дею енергетичного виродження . Усп?хом старо? квантово? теор?? був коректний опис атома водню та нормального ефекту Зеемана .

Основний ?нструмент старо? квантово? теор?? ? квантування Бора ? Зоммерфельда , процедура, що форму? деякий дискретний наб?р стан?в ?нтегровного руху класично? системи й визнача? ?х як дозволен? стани ц??? системи, аналог?чно до дозволених орб?т у модел? Бора. Система може перебувати лише в цих станах ? в жодних ?нших. Ця теор?я неспроможна описувати хаотичний рух, оск?льки вимага? повно? замкненост? тра?ктор?й руху класично? системи.

Точкою в?дл?ку старо? квантово? теор?? (? квантово? механ?ки взагал?) вважа?ться поява роб?т Макса Планка з випром?нювання та поглинання св?тла на самому початку XX стол?ття ^{[3] [4]} . Безпосередня розробка квантово? теор?? почалася з впровадженням Ейнштейном квантово? модел? тепло?мност? твердого т?ла . У модел? Ейнштейна вважа?ться, що кожен атом у ?ратц? ? незалежним квантованим гармон?чним осцилятором, що да? можлив?сть пояснити поряд ?з класичним законом Дюлонга ? Пт? за високих температур пад?ння тепло?мност? за низьких. У такий спос?б квантов? принципи були поширен? на рух атом?в. П?зн?ше Дебай вдосконалив цю модель.

У 1913 роц? Н?льс Бор використав м?ркування, як? в?н згодом сформулював як принцип в?дпов?дност? , й розробив модель атома водню, що могла пояснити його дискретний спектр, сформулювавши два в?домих постулати . П?зн?ше Арнольд Зоммерфельд розвинув ?де? Бора, поширивши його модель на дов?льн? ?нтегровн? системи, використовуючи принцип ад?абатично? ?нвар?антност? квантових чисел. Модель Зоммерфельда була значно ближчою до сучасно? квантово? механ?ки, н?ж модель Бора.

Протягом 1910-х та на початку 1920-х рок?в за допомоги старо? квантово? теор?? було усп?шно розв'язано багато задач. Стала зрозум?лою природа коливальних та обертальних спектр?в молекул, в?дкритий сп?н електрона, що пояснило ?снування нап?вц?лих квантових чисел. Планк ув?в нульов? коливання , Зоммерфельд усп?шно застосував модель Бора до релятив?стського атома водню, а Гендр?к Крамерс пояснив ефект Штарка . Бозе та Ейнштейн запропонували квантову статистику для фотон?в .

Крамерс запропонував метод розрахунку ймов?рностей переходу м?ж квантовими станами з використанням фур'?-компонент руху, який в?н разом ?з Вернером Гейзенбергом розвинув п?зн?ше у матричне нап?вкласичне зображення ймов?рностей переходу. Пот?м на основ? цих ?дей Гейзенберг побудував матричну механ?ку  ? формулювання квантово? механ?ки на основ? матриць переходу.

У 1924 роц? Лу? де Бройль розробив хвильову теор?ю матер??, яку трохи п?зн?ше розвинув Ейнштейн, вив?вши нап?вкласичне р?вняння для хвиль матер??. У 1926 роц? Ерв?н Шред?нгер запропонував квантовомехан?чне хвильове р?вняння , що дало змогу з?брати докупи вс? результати старо? квантово? теор?? без будь-яких неузгодженостей. Хвильова механ?ка Шред?нгера розвивалася незалежно в?д матрично? механ?ки Гейзенберга, але в експериментах було видно, що обидва методи передбачають однаков? результати. Поль Д?рак у 1926 роц? показав, що обидв? картини ? екв?валентними ? вит?кають ?з б?льш загального методу ? теор?? представлень ^[5] .

Поява матрично? та хвильово? механ?ки ознаменували к?нець старо? квантово? теор??.

Основною ?де?ю старо? квантово? теор?? ? те, що рух атомно? системи ? квантованим (дискретним). Система п?дкоря?ться законам класично? механ?ки за ?диним винятком: не вс? рухи системи дозволен?, а лише т?, що в?дпов?дають такому правилу:

${\displaystyle \oint \limits _{{\mathcal {H}}(p,q)=E}p_{i}dq_{i}=n_{i}h,}$

де ${\displaystyle p_{i}}$ ? канон?чн? ?мпульси, ${\displaystyle q_{i}}$ ? спряжен? до них координати, ${\displaystyle n_{i}}$ ? квантов? числа, що ? ц?лими. ?нтеграл береться за замкненою тра?ктор??ю руху, що в?дпов?да? пост?йн?й енерг?? ${\displaystyle E}$ (яка опису?ться функц??ю Гам?льтона ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$). Кр?м того, ?нтеграл ? площею в фазовому простор? , яка в?дпов?да? класичн?й д?? . Але д?я ? квантованою в одиницях стало? Планка , тому часто сталу Планка називають квантом д?? .

Для того, щоб умова квантування мала сенс, класичний рух ма? в?докремлюватися, тобто мають ?снувати координати ${\displaystyle q_{i}}$ так?, що рух у таких координатах буде пер?одичним. Стара квантова теор?я п?дкорю?ться принципов? в?дпов?дност? , який оснований на тих спостереженнях, що величини, як? квантуються, мають бути ад?абатичними ?нвар?антами .

Одн??ю з головних задач ф?зики к?нця XIX стол?ття була проблема випром?нювання абсолютно чорного т?ла. Абсолютно чорне т?ло ? це ф?зична ?деал?зац?я; т?ло, що повн?стю поглина? падаюче випром?нювання будь-яких довжин хвиль. Найб?льш чорн? реальн? речовини, наприклад, сажа, поглинають до 99% падаючого випром?нювання у видимому д?апазон? довжин хвиль, однак ?нфрачервоне випром?нювання поглина?ться ними значно г?рше. Серед т?л Сонячно? системи абсолютно чорному т?лу найб?льш в?дпов?да? Сонце.

За класичною термодинам?кою спектральна ?нтенсивн?сть I ( ν ) випром?нювання ма? бути однаковою для будь-яких абсолютно чорних т?л, нагр?тих до однаково? температури. Таке передбачення п?дтверджу?ться експериментом. Спектральна ?нтенсивн?сть досяга? максимуму за деяко? частоти ν _max , а з обидвох бок?в в?д максимуму пада? до нуля. Частота максимуму ν _max , як ? його висота, зб?льшу?ться з температурою.

Спроби теоретично передбачити форму експериментально? криво? спектрально? ?нтенсивност? абсолютно чорного т?ла на основ? закон?в класично? ф?зики привели до формули Релея ? Джинса ^{[6] [7]} :

${\displaystyle I(\nu )={\frac {2\pi }{c^{2}}}kT\nu ^{2}.}$

Окр?м област? малих частот, закон формули Релея ? Джинса не узгоджу?ться з експериментом. В?н передбача?, що повна ?нтенсивн?сть випром?нено? енерг?? безмежно зроста? ( ультраф?олетова катастрофа ), але в д?йсност? повна ?нтенсивн?сть ск?нченна.

В 1900 роц? Макс Планк постулював ^[4] , що обм?н енерг??ю м?ж атомами й випущеним ними електромагн?тним випром?нюванням в?дбува?ться дискретними порц?ями енерг??, а найменша порц?я енерг?? при задан?й частот? ν дор?вню?:

${\displaystyle E=h\nu ,}$

де h  ? константа Планка. Т?льки ц?л? кратн? енерг?? hν можуть передаватися при вза?мод?? атом?в ? випром?нювання. Використовуючи цей постулат, Планк вив?в формулу для спектрально? ?нтенсивност? теплового р?вноважного електромагн?тного випром?нювання абсолютно чорного т?ла:

${\displaystyle I(\nu )={\frac {2\pi \nu ^{2}}{c^{2}}}{\frac {h\nu }{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}},}$

що прекрасно узгоджу?ться з експериментом. Таким чином, Планк розв'язав проблему випром?нювання абсолютно чорного т?ла, використовуючи суперечну класичн?й ф?зиц? ?дею про квантування енерг??.

Фотоефект ? явище випром?нювання речовиною електрон?в п?д д??ю св?тла (?, загалом кажучи, будь-якого електромагн?тного випром?нювання). Перш? систематичн? досл?дження фотоефекту виконав рос?йський ф?зик Стол?тов 1888 року, встановивши дек?лька важливих законом?рностей. Ключовим моментом виявився той факт, що енерг?я фотоелектрон?в абсолютно не залежить в?д ?нтенсивност? падаючого св?тла: п?двищення ?нтенсивност? лише зб?льшу? число електрон?в, але не ?хню швидк?сть. Проте виявилося, що швидк?сть електрон?в залежить в?д частоти випром?нювання, причому з? зб?льшенням частоти енерг?я фотоелектрон?в п?двищу?ться л?н?йно. Так? явища були незрозум?лими з позиц?? класично? електродинам?ки .

Теоретичне пояснення фотоефекту дав Альберт Ейнштейн у 1905 роц?. Використовуючи г?потезу Планка, в?н припустив, що св?тло не т?льки випром?ню?ться порц?ями ( квантами ), а й взагал? явля? собою пот?к квант?в ( фотон?в ) ?з енерг??ю hν . При фотоефект? частина падаючого св?тла в?дбива?ться в?д поверхн?, а ?нша частина проника? всередину поверхневого шару металу й поглина?ться там. Коли електрон поглина? фотон, в?н отриму? в?д нього енерг?ю ?, зд?йснюючи роботу виходу A _out , покида? метал. Отож ма?мо р?вняння Ейнштейна для фотоефекту:

${\displaystyle h\nu =A_{out}+P+eV,}$

де P  ? енерг?я ?он?зац?? (яку можна вважати для метал?в р?вною нулю, оск?льки метал ма? велику к?льк?сть в?льних електрон?в), eV  ? к?нетична енерг?я фотоелектрона.

Отже, явище фотоефекту ? експериментальним п?дтвердженням г?потези Планка та наявност? в св?тла корпускулярних властивостей .

Експеримент з непружного розс?яння електрон?в на атомах був поставлений у 1913?1914 роках Джеймсом Франком та Густавом Людвигом Герцом ^[8] . В?н п?дтвердив справедлив?сть постулат?в Бора .

У цьому досл?д? атоми або молекули б?льш-менш розр?дженого газу бомбардуються пов?льними електронами. При цьому досл?джу?ться розпод?л швидкостей до й п?сля з?ткнень. Якщо з?ткнення пружн?, то розпод?л швидкостей не зм?ню?ться, ? навпаки, у випадку непружних з?ткнень частина електрон?в втрача? свою енерг?ю, в?ддаючи ?? атомам, з якими вони зазнали з?ткнень, тож розпод?л швидкостей зм?ню?ться.

В результат? досл?ду Франка ? Герца виявилося, що:

• при швидкостях електрон?в, що менш? за деяку критичну швидк?сть, з?ткнення ? ц?лком пружним, тобто електрон не переда? атому свою енерг?ю, але в?дскаку? в?д нього, зм?нюючи лише напрям сво?? швидкост?;
• при швидкостях, що досягають критично? швидкост?, удар ? непружним, тобто електрон втрача? свою енерг?ю ? переда? ?? атому, який при цьому переходить до ?ншого стац?онарного стану, що характеризу?ться б?льшою енерг??ю.

Гармон?чний осцилятор  ? найпрост?ша система старо? квантово? теор??. Запишемо гам?льтон?ан :

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}.}$

Енергетичн? р?вн? системи визначаються орб?тами руху, а орб?ти в?дбираються за тим квантовим правилом, що площа в фазовому простор? , яку покрива? кожна орб?та, ма? бути ц?лою. Зв?дси виплива?, що енерг?я кванту?ться за правилом Планка:

${\displaystyle E_{n}=n\hbar \omega ,}$

в?домий результат, за яким формулю?ться правило квантування старо? квантово? теор??. Сл?д зазначити, що цей результат в?др?зня?ться в?д справжнього на ${\displaystyle \hbar \omega /2}$, оск?льки з квантово? механ?ки в?домо, що нульовий р?вень для гармон?чного осцилятора ма? енерг?ю ${\displaystyle \hbar \omega /2}$.

Термодинам?чн? величини для квантованого гармон?чного осцилятора можна визначити за допомогою усереднення енерг?? в кожному з дискретних стан?в:

${\displaystyle U={\frac {1}{Z}}\sum \limits _{n}n\hbar \omega e^{-{\frac {n\hbar \omega }{kT}}}={\hbar \omega e^{-{\frac {\hbar \omega }{kT}}} \over 1-e^{-{\frac {\hbar \omega }{kT}}}},}$

де ${\displaystyle k}$ ? константа Больцмана , ${\displaystyle T}$ ? абсолютна температура , яка вим?рю?ться у природн?ших енергетичних одиницях, ${\displaystyle Z=\sum \limits _{n}e^{-{\frac {n\hbar \omega }{kT}}}}$ ? статистична сума . Легко бачити, що при дуже низьких температурах (тобто, величина ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$ ? великою) середня енерг?я гармон?чна енерг?я гармон?чного осцилятора ${\displaystyle U}$ дуже швидко досяга? нуля ? експоненц?ально. Причина поляга? в тому, що ${\displaystyle kT}$ ? характерною енерг??ю дов?льного руху за температури ${\displaystyle T}$, ?, якщо вона ? меншою за ${\displaystyle \hbar \omega }$, ?? не вистача? для того, щоб передати осцилятору хоча б один квант енерг??. Тож гармон?чний осцилятор залиша?ться в основному стан?.

Це означа?, що за дуже низьких температур зм?на енерг?? в?дносно ${\displaystyle \beta }$ (?, зрозум?ло, температури) ? малою. Зм?на енерг?? в?дносно температури ? тепло?мн?стю, тож тепло?мн?сть ? малою за низьких температур, прямуючи до нуля як

${\displaystyle e^{-{\frac {\hbar \omega }{kT}}}.}$

За високих температур (тобто при малих ${\displaystyle \beta }$) середня енерг?я ${\displaystyle U}$ дор?вню? ${\displaystyle kT}$. Цей факт узгоджу?ться ?з законом р?внорозпод?лу класично? термодинам?ки: кожний гармон?чний осцилятор за температури ${\displaystyle T}$ ма? середню енерг?ю ${\displaystyle kT}$. Це означа?, що тепло?мн?сть осцилятора пост?йна (в класичн?й механ?ц?) й дор?вню? констант? Больцмана ${\displaystyle k}$. Для сукупност? атом?в, що з'?днан? пружинами (прийнятна модель твердого т?ла), повна тепло?мн?сть дор?вню? ${\displaystyle Nk}$, де ${\displaystyle N}$ ? к?льк?сть осцилятор?в. В ц?лому кожному атомов? з?ставляють три осцилятори, враховуючи три можлив? напрямки осциляц?й у трьох вим?рах. Тому тепло?мн?сть класичного твердого т?ла дор?вню? ${\displaystyle 3k}$ на атом або ${\displaystyle 3R}$ на моль.

Одноатомн? тверд? т?ла за к?мнатних температур мають приблизно таку саму тепло?мн?сть ? ${\displaystyle 3k}$ на атом, але за низьких температур це не так. З? зменшенням температури тепло?мн?сть також зменшу?ться ? досяга? нуля при абсолютному нул? температур. Цей факт справджу?ться для вс?х матер?альних систем ? склада? трет?й закон термодинам?ки . Класична механ?ка не може пояснити трет?й закон термодинам?ки, оск?льки в ?? рамках вважа?ться, що тепло?мн?сть не залежить в?д температури.

Це протир?ччя м?ж класичною механ?кою та тепло?мн?стю холодних т?л було пом?чене Максвеллом у XIX стол?тт?; усунення цього протир?ччя було складною задачею для тих, хто в?дстоював атомарну теор?ю матер??. Ейнштейн розв'язав цю проблему в 1906 роц?, запропонувавши ?дею квантування атомарного руху ( модель Ейнштейна ). Це було першим застосуванням квантово? теор?? до механ?чних систем. Трохи п?зн?ше Дебай розвинув к?льк?сну теор?ю тепло?мност? твердих т?л на основ? квантованих гармон?чних осцилятор?в ?з р?зними частотами ( модель Дебая ).

За будь-яко? енерг?? E можна легко знайти ?мпульс p за допомоги закону збереження енерг?? :

${\displaystyle p={\sqrt {2m(E-V(q))}}.}$

Цей вираз ?нтегру?ться за вс?ма значеннями q м?ж класичними точками повороту, де ?мпульс дор?вню? нулю.

Найпрост?ший випадок ? частинка в прямокутн?й потенц?альн?й ям? довжиною L , для яко? умова квантування ма? такий вигляд:

${\displaystyle 2\int _{0}^{L}pdq=nh,}$

зв?дки ?мпульс:

${\displaystyle p={\frac {nh}{2L}}.}$

?нтегруючи праву частину р?вняння для ?мпульсу, можна знайти енергетичн? р?вн?:

${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$

Розглянемо ?нший потенц?ал ? л?н?йний, який в?дпов?да? пост?йн?й сил? F . Така задача довол? складна в квантовомехан?чному формулюванн? й, на в?дм?ну в?д ?нших випадк?в, нап?вкласичний результат не ? точним, але наближа?ться до такого при зб?льшенн? значень квантових чисел. Ма?мо:

${\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {E}{F}}{\sqrt {2m(E-Fx)}}dx=nh,}$

що да? умову квантування:

${\displaystyle {4 \over 3}{\sqrt {2m}}{E^{3/2} \over F}=nh,}$

зв?дки можна визначити енергетичн? р?вн?:

${\displaystyle E_{n}=\left({\frac {3F}{4{\sqrt {2m}}}}nh\right)^{2/3}.}$

Нап?вкласичний результат ц??? задач? зб?га?ться ?з квантовомехан?чним у випадку обчислення енерг?? основного стану. Умова квантування матиме вигляд:

${\displaystyle 2\int _{-{\sqrt {\frac {2E}{k}}}}^{\sqrt {\frac {2E}{k}}}{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}kx^{2}\right)}}\ dx=nh,}$

зв?дки визнача?мо енергетичн? р?вн?:

${\displaystyle E=n{\frac {h}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}=n\hbar \omega ,}$

де ${\displaystyle \omega }$ ? кутова частота.

Ротатор склада?ться з т?ла маси M , що закр?плене на безмасовому жорсткому стрижн? довжиною R , та опису?ться наступним двовим?рним лагранж?аном :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2D}={\frac {MR^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}{2}},}$

з якого можна виразити кутовий момент ${\displaystyle L}$, що залежить в?д полярного кута ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle L=MR^{2}{\dot {\varphi }}.}$

Стара квантова теор?я вимага?, щоб кутовий момент був квантованим:

${\displaystyle L=n\hbar .}$

В модел? Бора тако? умови квантування, що наклада?ться на колов? орб?ти, вистача? для визначення енергетичного спектру.

Тривим?рний жорсткий ротатор опису?ться двома кутами θ ? φ сферично? системи координат в?дносно дов?льно обрано? ос? Oz. Знову до лагранж?ану входить лише к?нетична енерг?я:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3D}={\frac {MR^{2}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+{\frac {MR^{2}({\dot {\varphi }}\sin \theta )^{2}}{2}},}$

Канон?чн? ?мпульси матимуть вигляд:

${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }},}$

${\displaystyle p_{\varphi }={\dot {\varphi }}\sin ^{2}\theta .}$

Р?вняння для φ трив?альне, ${\displaystyle p_{\varphi }}$ ? константою:

${\displaystyle p_{\varphi }=l_{\varphi },}$

що дор?вню? z-компонент? кутового моменту. Дал?, з умови квантування виплива?, що п?сля ?нтегрування за кутом φ в?д 0 до 2π :

${\displaystyle l_{\varphi }=m\hbar ,}$

де m  ? так зване магн?тне квантове число. Назва походить в?д того, що z-компонента кутового моменту дор?вню? магн?тному моменту ротатора вздовж ос? Oz (очевидно, якщо частинка на к?нц? ротатора заряджена).

Повний кутовий момент тривим?рного ротатора квантований аналог?чно до двовим?рного. Дв? умови квантування визначають дов?льн? значення повного кутового моменту та його z-компоненти за допомоги квантових чисел l , m . Ц? умови присутн? й у квантов?й механ?ц?, але в часи панування старо? квантово? теор?? було незрозум?ло, як може бути квантованою ор??нтац?я кутового моменту в?дносно дов?льно обрано? ос? Oz. Здавалося, що зв?дси виплива? ?снування деякого вид?леного напрямку в простор?.

Це явище отримало назву просторового квантування , але здавалося несум?сним ?з ?зотропн?стю простору. В квантов?й механ?ц? кутовий момент кванту?ться таким самим чином, але його дискретн? стани вздовж одн??? ос? ? суперпозиц??ю стан?в вздовж ?нших осей, тому в процес? квантування не виника? деякий вид?лений напрям у простор?. Тому зараз терм?н просторового квантування не вжива?ться, зам?сть нього використовують терм?н квантування кутового моменту .

Кутова частина атома водню ? це ротатор, що характеризу?ться квантовими числами l , m . Залиша?ться нев?домою лише рад?альна координата, що зада?ться одновим?рним пер?одичним рухом.

При ф?ксованому значенн? повного кутового моменту L , функц?я Гам?льтона класично? задач? Кеплера ма? вигляд (тут зм?нн? обран? таким чином, щоб маса та енерг?я зникали з р?вняння):

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {l^{2}}{2r^{2}}}-{\frac {1}{r}}.}$

Ф?ксуючи енерг?ю як (в?д'?мну) константу та розв'язуючи отримане р?вняння в?дносно ?мпульсу p , ма?мо умову квантування:

${\displaystyle 2\int {\sqrt {2E-{\frac {l^{2}}{r^{2}}}+{\frac {2}{r}}}}\ dr=kh,}$

що визнача? нове квантове число k , яке в сукупност? з числом l визнача? енергетичн? р?вн?:

${\displaystyle E_{k,l}=-{\frac {1}{2(k+l)^{2}}}.}$

Легко бачити, що енерг?я залежить в?д суми квантових чисел k ? l , яку можна означити як ще одне квантове число n , яке назива?ться головним квантовим числом . Якщо k нев?д'?мне, то дозволен? значення числа l при заданому n можуть бути не б?льшими за дане значення n .

Нап?вкласичний атом водню ма? назву модел? Зоммерфельда, в як?й орб?ти ? ел?псами. Модель Зоммерфельда передбачала той факт, що магн?тний момент атома, який вим?рю?ться вздовж деяко? ос?, матиме лише дискретн? значення. Цей результат н?бито суперечив ?зотропност? простору, але був п?дтверджений досл?дом Штерна ? Герлаха . Теор?я Бора ? Зоммерфельда була одним ?з найважлив?ших етап?в розвитку квантово? механ?ки, оск?льки описувала можлив?сть розщеплення енергетичних р?вн?в атома в магн?тному пол? , тобто, пояснювала ефект Зеемана .

Релятив?стський розв'язок для енергетичних р?вн?в атома був отриманий Арнольдом Зоммерфельдом ^[2] . Запишемо релятив?стське р?вняння для енерг?? з електростатичним потенц?алом :

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)-k{\frac {Ze^{2}}{r}}}$

? зробимо зам?ну ${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=1+{\frac {E}{m_{0}c^{2}}}+k{\frac {Ze^{2}}{m_{0}c^{2}}}u.}$

Випишемо вирази для ?мпульс?в:

${\displaystyle p_{r}=m{\dot {r}},}$

${\displaystyle p_{\varphi }=mr^{2}{\dot {\varphi }},}$

тод? ?х в?дношення дор?внюватиме ${\displaystyle {\frac {p_{r}}{p_{\varphi }}}=-{\frac {du}{d\varphi }}}$, ? зв?дси можна отримати р?вняння руху ( р?вняння Б?не ):

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=-\left(1-k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}p_{\varphi }^{2}}}\right)u+{\frac {m_{0}kZe^{2}}{p_{\varphi }^{2}}}\left(1+{\frac {E}{m_{0}c^{2}}}\right)=-\omega _{0}^{2}u+K,}$

розв'язок якого ма? вигляд:

${\displaystyle u={\frac {1}{r}}=K+A\cos \omega _{0}\varphi .}$

Кутовий зсув перицентру за один пер?од склада?:

${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi \left({\frac {1}{\omega _{0}}}-1\right).}$

Умови квантування в нашому випадку матимуть такий вигляд:

${\displaystyle \oint p_{\varphi }d\varphi =2\pi p_{\varphi }=n_{\varphi }h,}$

${\displaystyle \oint p_{r}dr=p_{\varphi }\oint \left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}d\varphi =n_{r}h,}$

зв?дки можна обчислити енергетичн? р?вн?:

${\displaystyle {\frac {E_{n_{r},n_{\varphi }}}{m_{0}c^{2}}}=\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{(n_{r}+{\sqrt {n_{\varphi }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}})^{2}}}\right)^{-1/2}-1,}$

де ${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi ke^{2}}{hc}}}$ ? стала тонко? структури . Цей результат зб?га?ться з розв'язком р?вняння Д?рака ^[9] . Кр?м того, якщо зробити зам?ни квантових чисел ${\displaystyle n_{r}\to n_{r}+1/2}$ та ${\displaystyle n_{\varphi }\to l+1/2}$, то отримана формула зб?гатиметься з точним розв'язком р?вняння Клейна ? ?ордона ^[10] .

В 1905 роц? Ейнштейн пом?тив, що ентроп?я електромагн?тного поля в скриньц?, яке за Планком зобража?ться квантованими гармон?чними осциляторами, для випадку коротких хвиль дор?вню? ентроп?? газу точкових частинок у так?й сам?й скриньц?, причому к?льк?сть частинок дор?вню? к?лькост? квант?в. Тож Ейнштейн д?йшов висновку, що квант можна ?нтерпретувати як локал?зовану частинку ^[11] , частинку св?тла ? фотон .

Аргументац?я Ейнштейна ?рунтувалася на термодинам?ц?, на п?драхунку числа стан?в, тому була довол? непереконливою. Незважаючи на це, в?н висунув г?потезу про те, що св?тло ма? як хвильов?, так ? корпускулярн? властивост? , точн?ше, це стояча електромагн?тна хвиля з частотою ${\displaystyle \omega }$ та квантованою енерг??ю:

${\displaystyle E=n\hbar \omega ,}$

яку можна представити у вигляд? n фотон?в ?з енерг?ями ${\displaystyle \hbar \omega }$. Але Ейнштейн не м?г пояснити, яким чином фотони пов'язан? з хвилею.

Фотони мають енерг?ю та ?мпульс, що дор?вню? ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$, де ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ? хвильовий вектор електромагн?тно? хвил?. Цього вимага? теор?я в?дносност? , за якою ?мпульс та енерг?я утворюють 4-вектор , як ? частота з хвильовим вектором.

В 1924 роц? Лу? де Бройль висунув г?потезу про те, що матер?я, зокрема електрон, аналог?чно до фотона, опису?ться хвилею, що задовольня? наступне сп?вв?дношення:

${\displaystyle p=\hbar k,}$

або, записуючи хвильове число ${\displaystyle k}$ через довжину хвил? ${\displaystyle \lambda }$,

${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}.}$

Пот?м в?н пом?тив, що умова квантування:

${\displaystyle \int pdx=\hbar \int kdx=2\pi \hbar n}$

визнача? зм?ну фази хвил?, коли вона проходить уздовж класично? орб?ти. Тож число довжин хвиль, яке ум?ща?ться на класичн?й орб?т?, ма? бути ц?лим. Така умова поясню? факт, що орб?ти мають бути квантованими: хвил? матер?? утворюють стояч? хвил? т?льки при деяких дискретних частотах та енерг?ях.

Наприклад, для частинки, яка пом?щена до скриньки, стояча хвиля ма? ум?щувати ц?ле число довжин хвил? м?ж ст?нками скриньки. Тод? умова квантування ма? вигляд:

${\displaystyle n\lambda =2L,}$

тому ?мпульс кванту?ться так:

${\displaystyle p={\frac {nh}{2L}},}$

визначаючи тим самим енергетичн? р?вн?.

Ейнштейн розвинув цю г?потезу дал? й надав ?й б?льш математично? форми, пом?тивши, що фазову функц?ю для хвиль в механ?чн?й систем? сл?д ототожнити з розв'язком р?вняння Гам?льтона ? Якоб? . П?зн?ше на основ? цих ?дей Шред?нгер запропонував сво? квантовомехан?чне р?вняння , заклавши тим самим основи хвильово? механ?ки.

Стара квантова теор?я була сформульована лише для деякого класу механ?чних систем. Наприклад, вона не працювала з поглинанням та ем?с??ю випром?нення. Однак, Гендр?к Крамерс спробував знайти правила, за якими можна розраховувати поглинання та випром?нювання ^{[12] [13] [14]} .

Крамерс допустив, що орб?ту квантово? системи можна розкласти в ряд Фур'? за гармон?ками ?з кратними до частоти ${\displaystyle \omega }$ орб?ти частотами:

${\displaystyle X_{n}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ik\omega t}X_{nk}.}$

Тут п?д ?ндексом n ма?ться на уваз? наб?р квантових чисел, що характеризу? орб?ту ? ма? зб?гатися з набором n, l, m модел? Зоммерфельда. Частота ${\displaystyle \omega =2\pi /T_{n}}$ ? це кутова частота орб?ти, k  ? ?ндекс фур'?-компоненти. Бор допускав, що k -та гармон?ка класичного руху в?дпов?да? переходу з р?вня n на р?вень n-k .

Крамерс вважав, що перех?д м?ж станами аналог?чний до класично? ем?с?? випром?нення, що в?дбува?ться з частотами, кратними до орб?тальних частот. ?нтенсивн?сть випром?нювання буде пропорц?йною до ${\displaystyle |X_{k}|^{2}}$, як ? ма? бути в класичн?й механ?ц?. Але такий опис неточний, якщо частоти фур'?-компонент не в?дпов?дають точно енерг?ям переходу м?ж р?внями.

П?зн?ше ц? ?де? були розвинут? Гейзенбергом , Борном ? Йорданом ^{[15] [16] [17]} , що призвело до появи матрично? механ?ки .

Стара квантова теор?я ?, зокрема, модель Бора були важливим кроком у розвитку теор?? будови атома. На початку XX стол?ття, коли застосування квантових г?потез було радше мистецтвом, н?ж наукою, усп?хи старо? квантово? теор?? справляли глибоке враження. Вона показала незастосовн?сть класично? ф?зики до внутр?шньоатомних явищ та велике значення квантових закон?в на м?кроскоп?чному р?вн?. Але стара квантова теор?я ? лише перех?дним етапом до створення посл?довно? теор?? атомних явищ, оск?льки в ?? рамках можна розв'язати лише обмежене коло задач. Основними причинами кризи старо? квантово? теор??, яка призвела до необх?дност? будування ново? квантово? механ?ки, були ^[18] :

• внутр?шн? лог?чне протир?ччя: теор?я не ? ан? посл?довно квантовою, ан? посл?довно класичною;
• неспроможн?сть пояснити аномальний ефект Зеемана ;
• неможлив?сть розрахунку ?нтенсивност? спектральних л?н?й;
• неможлив?сть побудови теор?? багатоелектронного атома (зокрема, атома гел?ю ).

П?зн?ше стало зрозум?лим, що стара квантова теор?я фактично ? кваз?класичним наближенням р?вняння Шред?нгера ^[19] .

• Кваз?класичне наближення
• Квантова механ?ка
• Матрична механ?ка
• Постулати Бора

• Вакарчук ?. О. Квантова механ?ка. ? 4-е видання, доповнене. ? Л.  : ЛНУ ?м. ?вана Франка, 2012. ? 872 с.
• Бом Д. Квантовая теория = Quantum Theory. ? М.  : Наука, 1965. ? 728 с.
• Борн М. Атомная физика = Atomic Physics (Moderne Physik). ? М.  : Мир, 1970. ? 592 с.
• Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики = The Conceptual Development of Quantum Mechanics. ? М.  : Наука, 1985. ? 384 с.
• Клайн Б. В поисках: Физики и квантовая теория = The Questioners: Physicists and the Quantum Theory. ? М.  : Атомиздат, 1971. ? 288 с.
• Мессиа А. Квантовая механика = Mecanique quantique. ? М.  : Наука, 1978. ? Т. 1. ? 480 с.
• Типлер П. А., Ллуэллин Р. А. Современная физика = Modern Physics. ? М.  : Мир, 2007. ? Т. 1. ? 496 с.
• Трейман С. Этот странный квантовый мир = The Odd Quantum. ? Ижевск : РХД, 2002. ? 224 с.
• Шпольский Э. Атомная физика. ? М.  : Наука, 1974. ? Т. 1. ? 576 с.
• ter Haar D. The Old Quantum Theory. ? Pergamon Press, 1967.

Ця стаття належить до вибраних статей Укра?нсько? В?к?пед??.