Р?вняння Клейна ? ?ордона
Названо на честь	Оскар Клейн , Вальтер Гордон , Фок Володимир Олександрович ? Ерв?н Шред?нгер
Формула	${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0}$
П?дтриму?ться В?к?про?ктом	В?к?пед?я:Про?кт:Математика

Р?вня?ння Кле?йна ? ?о?рдона ^[1] (?нод? Кле?йна ? ?о?рдона ? Фо?ка ^{[2] [3]} ) ? лоренц-?нвар?антне хвильове р?вняння , що опису? рух квантового скалярного або псевдоскалярного поля , квантом якого ? безсп?нова частинка.

Це р?вняння не можна безпосередньо ?нтерпретувати як р?вняння Шред?нгера для квантового стану, оск?льки воно м?стить другу пох?дну за часом ? не забезпечу? ск?нченну нев?д'?мну густину ймов?рност?, що збер?га?ться. Тим не менш, за належного трактування р?вняння Клейна ? ?ордона опису? квантову ампл?туду знаходження точково? частинки в деякому м?сц? ? релятив?стську хвильову функц?ю, однак, частинка може рухатися як вперед, так ? назад у час?. Будь-який розв'язок р?вняння Д?рака одночасно задовольня? ? р?вняння Клейна ? ?ордона, однак, зворотне твердження не викону?ться.

Р?вняння Клейна ? ?ордона запису?ться таким чином:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +\mu ^{2}\psi =0,}$

або, в скороченому вигляд?:

${\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,}$

де ${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}}$, ψ  ? хвильова функц?я , ${\displaystyle \hbar }$ ? зведена стала Планка , m  ? маса частинки, c  ? швидк?сть св?тла , ${\displaystyle \Box }$ ? оператор д'Аламбера , або даламберт?ан , що запису?ться так:

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.}$

Найчаст?ше р?вняння записують у природних одиницях :

${\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }$

Форма р?вняння визначена таким чином, щоб розв'язки у вигляд? плоско? хвил?:

${\displaystyle \psi =e^{-i\omega t+i{\vec {k}}{\vec {x}}}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}}$

в?дпов?дали в?дношенню енерг??-?мпульса спец?ально? теор?? в?дносност?:

${\displaystyle -p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}.}$

На в?дм?ну в?д р?вняння Шред?нгера , р?вняння Клейна ? ?ордона допуска? по два значення ${\displaystyle \omega }$ для кожного ${\displaystyle k}$, одне в?д'?мне й одне нев?д'?мне. Лише за допомоги розд?лення частин ?з в?д'?мними та нев?д'?мними частотами можна отримати р?вняння, що опису? релятив?стську хвильову функц?ю. У стац?онарному випадку р?вняння Клейна ? ?ордона виглядатиме:

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0,}$

що в?дпов?да? екранованому р?внянню Пуассона .

Р?вняння Клейна ? ?ордона ? релятив?стським екв?валентом р?вняння Шред?нгера , однак воно не годиться для опису електрона , який ? ферм?оном ? ма? сп?н 1/2 (див. р?вняння Д?рака ). Р?вняння Клейна ? ?ордона опису? рух п?она .

Р?вняння Кляйна-?ордона виплива? ?з зв'язку м?ж енерг??ю та ?мпульсом частинки в теор?? в?дносност? :

${\displaystyle E^{2}=c^{2}(p^{2}+m^{2}c^{2})}$.

Зам?няючи в цьому сп?вв?дношення E на ${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$ ? ${\displaystyle \mathbf {p} }$ на ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$, отримують р?вняння Клейна ? ?ордона.

Вперше р?вняння Клейна ? ?ордона запропонував Ерв?н Шред?нгер в 1926 роц? як релятив?стське узагальнення р?вняння Шред?нгера . Незалежно в?д нього ? шведський ф?зик Оскар Клейн , радянський ф?зик Володимир Фок та н?мецький ф?зик Вальтер ?ордон . Анал?з р?вняння показав, що його розв'язок принципово в?др?зня?ться за сво?м ф?зичним зм?стом в?д звичайних хвильових функц?й, як ампл?туд ймов?рност? знаходження частки в заданому м?сц? простору в заданий момент часу. Функц?я ${\displaystyle \Psi (x,y,z,t)\ }$ не визнача?ться однозначно значеннями ${\displaystyle \Psi \ }$ в початковий момент часу. Б?льше того, вираз ймов?рност? стану поряд з позитивними значеннями може набувати також ? позбавлених ф?зичного зм?сту в?д'?мних значень. Тому спершу в?д р?вняння Клейна ? ?ордона в?дмовились. Проте в 1934 роц? Вольфганг Паул? та В?ктор Вайскопф знайшли ≪правильну≫ ?нтерпретац?ю цього р?вняння в рамках квантово? теор?? поля (вони розглянули його як р?вняння поля, аналог?чно до р?внянь Максвелла для електромагн?тного поля, ? проквантували; при цьому ${\displaystyle \Psi \ }$ стало оператором).

Р?вняння Клейна ? ?ордона для в?льно? частинки запису?ться таким чином:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi }$

?з таким самим розв'язком, що й у нерялятив?стському випадку:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)},}$

але з накладеною умовою, в?домою, як дисперс?йне в?дношення:

${\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.}$

Як ? для нерелятив?стсько? частинки, ма?мо так? вирази для енерг?? та ?мпульсу:

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\left\langle \psi \left|-i\hbar \mathbf {\nabla } \right|\psi \right\rangle =\hbar \mathbf {k} ,}$

${\displaystyle \langle E\rangle =\left\langle \psi \left|i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right|\psi \right\rangle =\hbar \omega .}$

Кр?м того, ми можемо в?дновити зв'язок м?ж енерг??ю й ?мпульсом для релятив?стських масивних частинок, п?дставивши до дисперс?йного в?дношення отриман? вирази для ${\displaystyle k}$ ? ${\displaystyle \omega }$:

${\displaystyle \langle E\rangle ^{2}=m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} \rangle ^{2}c^{2}.}$

Для безмасових частинок необх?дно в отриманих виразах покласти ${\displaystyle m=0}$, тод?:

${\displaystyle \langle E\rangle =\langle |\mathbf {p} |\rangle c.}$

Також р?вняння Клейна ? ?ордона можна отримати з такого функц?оналу д??:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\partial _{\nu }\psi -mc^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x,}$

де ${\displaystyle \psi }$ ? поле Клейна ? ?ордона, ${\displaystyle m}$ ? його маса. Комплексне спряження ${\displaystyle \psi }$ позначено як ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$. Якщо скалярне поле д?йсне, то, очевидно, ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi }$.

Зв?дси можна отримати тензор енерг??-?мпульсу скалярного поля:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\psi }}\partial _{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\psi }}\psi .}$

У загальн?й теор?? в?дносност? врахову?ться наявн?сть грав?тац??, ? р?вняння Клейна ? ?ордона ма? такий вигляд:

${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,}$

або,

${\displaystyle 0=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,}$

де ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ? зворотн?й метричний тензор , який репрезенту? грав?тац?йне потенц?альне поле, ${\displaystyle g}$ ? детерм?нант метричного тензора, ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$ ? ковар?антна пох?дна та ${\displaystyle \Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }}$ ? символ Кр?стоффеля , який репрезенту? грав?тац?йне силове поле.

• Квантова теор?я поля
• Р?вняння Д?рака
• Р?вняння синус-?ордона
• Р?вняння Рар?ти ? Шв?н?ера

• Вакарчук ?. О. Квантова механ?ка. ? 4-е видання, доповнене. ? Л.  : ЛНУ ?м. ?вана Франка, 2012. ? 872 с.
• Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров . ? М.  : Советская энциклопедия, 1983. ? 944 с.
• Вихман Э. Квантовая физика // Берклеевский курс физики. ? М.  : Наука, 1986. ? 392 с.
• Дайсон Ф. Релятивистская квантовая механика. ? Ижевск : РХД, 2009. ? 248 с.
• Кузьмичёв В. Е. Законы и формулы физики. ? К.  : Наукова думка, 1989. ? 864 с.