Ряд Фур'? ? спос?б представлення дов?льно? складно? функц?? сумою прост?ших. В загальному випадку к?льк?сть таких функц?й може бути неск?нченною, при цьому чим б?льше таких функц?й врахову?ться при розрахунку, тим вищою ста? к?нцева точн?сть представлення дано? функц??. Здеб?льшого як найпрост?ш? використовуються тригонометричн? функц?? синуса ? косинуса . В цьому випадку ряд Фур'? назива?ться тригонометричним , а обчислення такого ряду часто називають розкладом на гармон?ки .

Ряди назван? на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'? .

Тригонометричним рядом Фур'? називають функц?ональний ряд виду

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx){\big ]}}$

Якщо ряд зб?га?ться , то його сума дор?вню? пер?одичн?й функц?? ${\displaystyle \ f(x)}$ з пер?одом ${\displaystyle \ 2\pi }$, оск?льки ${\displaystyle \ \sin nx}$ та ${\displaystyle \ \cos nx}$ ? пер?одичними з пер?одом ${\displaystyle \ 2\pi }$.

Стал? числа ${\displaystyle \ a_{0},a_{n},b_{n}\;\;(n\in \mathbb {N} )}$ називаються коеф?ц??нтами тригонометричного ряду :

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,\qquad b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx.}$

Нехай дано ортонормований базис ${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...\}}$ у Г?льбертовому простор? ${\displaystyle R}$ та ${\displaystyle \ f}$ ? дов?льний елемент з ${\displaystyle R}$. Посл?довн?сть чисел

${\displaystyle c_{k}={\frac {\langle f,\varphi _{k}\rangle }{||\varphi _{k}||^{2}}}}$

назива?ться координатами , або коеф?ц??нтами Фур'? елемента ${\displaystyle f}$ по систем? ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$, а ряд

${\displaystyle \sum _{k}c_{k}\varphi _{k}}$

назива?ться рядом Фур'? елемента ${\displaystyle \ f}$ по ортогональн?й систем? ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$.

Справедлива так звана нер?вн?сть Бесселя :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leq ||f||^{2}.}$

Якщо викону?ться р?вн?сть Парсеваля

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}=||f||^{2}}$,

то нормована система ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$ назива?ться замкненою .

Справедливе твердження: в сепарабельному евкл?довому простор? ${\displaystyle R}$ будь-яка повна ортогональна нормована система ? замкненою ? навпаки.

Теорема:

Якщо пер?одична функц?я ${\displaystyle f(x)\!}$ з пер?одом ${\displaystyle 2\pi \!}$ ? кусково-монотонна ^[1] ? обмежена на в?др?зку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!}$, то тригонометричний ряд Фур'?, побудований для ц??? функц??, зб?га?ться у вс?х точках. Сума одержаного ряду ${\displaystyle s(x)\!}$ дор?вню? значенню функц?? ${\displaystyle f(x)\!}$ в точках ?? неперервност?. В точках розриву ${\displaystyle f(x)\!}$ сума ряду дор?вню? середньому арифметичному границь функц?? ${\displaystyle f(x)\!}$ справа ? зл?ва.

З ц??? теореми виплива?, що тригонометричн? ряди Фур'? застосовн? до достатньо широкого класу функц?й.

Теорема Д?р?хле . Якщо ${\displaystyle f(x)\!}$ пер?одична з пер?одом ${\displaystyle 2\pi \!}$, функц?я неперервна або ма? ск?нченну к?льк?сть точок розриву першого роду на в?др?зку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!}$ ? цей в?др?зок можна розбити на ск?нченну к?льк?сть частин, в кожн?й з яких ${\displaystyle f(x)\!}$ монотонна, то ряд Фур'? в?дносно функц?? зб?га?ться до ${\displaystyle f(x)\!}$ в точках неперервност? ? до середнього арифметичного односторонн?х границь в точках розриву першого роду.

Нехай f(x) - парна функц?я з пер?одом 2L , що задовольня? умов? f(-x) = f(x) .

Тод? для коеф?ц??нт?в ?? ряду Фур'? знаходимо формули:

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)dx={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(x)dx}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)\cos {\frac {\pi nx}{l}}dx={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(x)\cos {\frac {\pi nx}{l}}dx}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)\sin {\frac {\pi nx}{l}}dx=0}$, де ${\displaystyle n=1,2,...}$

Таким чином, в ряд? Фур'? для парно? функц?? в?дсутн? члени з синусами, ? ряд Фур'? для парно? функц?? з пер?одом ${\displaystyle 2L}$ вигляда? так:

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos {\frac {\pi nx}{l}}}$

Нехай тепер ${\displaystyle f(x)}$ ? непарна функц?я з пер?одом ${\displaystyle 2L}$, що задовольня? умов? ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$.

Тод? для коеф?ц??нт?в ?? ряду Фур'? знаходимо формули:

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(x)\sin {\frac {\pi nx}{l}}dx}$, де ${\displaystyle n=1,2,...}$

Таким чином, в ряд? Фур'? для непарно? функц?? в?дсутн?й в?льний член ? члени з косинусами, ? ряд Фур'? для непарно? функц?? з пер?одом ${\displaystyle 2L}$ вигляда? так:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {\pi nx}{l}}}$

Якщо функц?я ${\displaystyle f(x)}$ розклада?ться в тригонометричний ряд Фур'? на пром?жку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!}$ то

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$,

де ${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx}$

Якщо ${\displaystyle f(x)}$ розклада?ться в тригонометричний ряд Фур'? на ${\displaystyle [0,L]}$, то довизначивши задану функц?ю ${\displaystyle f(x)}$ в?дпов?дним чином на ${\displaystyle [-L,0]}$; п?сля чого пер?одично продовживши на ${\displaystyle (T=2L)}$, отрима?мо нову функц?ю, яку розклада?мо в новий ряд Фур'?.

Для розкладу в ряд Фур'? непер?одично? функц??, задано? на к?нцевому дов?льному пром?жку ${\displaystyle [a,b]}$, треба: довизначити ${\displaystyle [b,a+2L]}$ ? пер?одично продовжити, або довизначити на ${\displaystyle [b-2L,a]}$ ? пер?одично продовжити.

Вираз ${\displaystyle \sum _{-\infty }^{\infty }c_{n}e^{\frac {i\pi nx}{l}}}$ назива?ться комплексною формою ряду Фур'? функц?? ${\displaystyle f(x)}$, якщо визнача?ться р?вн?стю

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)e^{-{\frac {i\pi nx}{l}}}dx}$, де ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,...}$

Перех?д в?д ряду Фур'? в комплексн?й форм? до ряду в д?йсн?й форм? ? навпаки викону?ться за допомогою формул:

${\displaystyle c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}}$

${\displaystyle c_{0}={\frac {a_{0}}{2}}}$

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)dx}$

${\displaystyle a_{n}=2Rec_{n}}$

${\displaystyle b_{n}=-2Imc_{n}}$

${\displaystyle a_{0}=2c_{0}}$

${\displaystyle (n=1,2,...)}$

Зворотне перетворення Фур'?

${\displaystyle f(t_{k})={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}C_{k}^{\blacklozenge }e^{i{\frac {2\pi k}{T}}t_{n}}}$

${\displaystyle C_{n}^{\blacklozenge }=\sum _{n=0}^{\infty }f(x)e^{-in{\frac {2\pi }{T}}t_{n}}}$,

де ${\displaystyle n=1,2,...,k=1,2,...}$

Дискретним перетворенням Фур'? назива?ться N- вим?рний вектор ${\displaystyle (C_{0}^{\blacklozenge },...,C_{N-1}^{\blacklozenge })}$

${\displaystyle C_{n}^{\blacklozenge }=\sum _{n=0}^{N-1}f(t_{n})e^{{\frac {-i2\pi n}{T}}t_{n}}}$

при цьому, ${\displaystyle C_{n}={\frac {C_{n}}{N}}}$

• Гармон?чний ряд звук?в
• Перетворення Фур'?
• Ряд (математика)
• Теор?я ряд?в
• Тригонометричний многочлен
• Швидке перетворення Фур'?
• Теорема Персеваля

• Теор?я ряд?в : навч.-метод. пос?б. [для п?дгот. бакалавр?в за спец. "Ф?зика", "Прикладна ф?зика", "Астроном?я"] / С. А. Щогол?в ; М-во осв?ти ? науки Укра?ни, Одес. нац. ун-т ?м. ?. ?. Мечникова, ?н-т математики, економ?ки та механ?ки. ? Одеса  : ОНУ, 2015. ? 74 с. ? Б?бл?огр.: с. 73 (6 назв). ? ISBN 978-617-689-122-2
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. ? М.  : Высшая школа, 1989. ? Т. 3. ? 352 с.
• Никольский С. М. Курс математического анализа. ? М.  : Наука, 1983. ? Т. 2. ? 448 с.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. ? М.  : Наука, 1978. ? Т. 2. ? 576 с.
• Рудин У. Основы математического анализа. ? М.  : Мир, 1976. ? 320 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления . ? Москва : Наука , 1966. ? Т. 3. ? 656 с. (рос.)
• Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. ? М.  : Мир, 1985. ? 264+400 с.

• Ряди Фур’? // Вища математика в прикладах ? задачах  / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. ? 2-ге видання. ? К . : Центр учбово? л?тератури, 2009. ? С. 539. ? 594 с.
• Java-аплет, що демонстру? розклад на гармон?ки в ?нтерактивному режим?

1. ↑ Функц?я назива?ться кусково-монотонною на певному в?др?зку, якщо цей в?др?зок може бути розбитий на ск?нченне число ?нтервал?в так, що на кожному ?нтервал? функц?я буде неспадною або незростаючою (тобто монотонною).

Це незавершена стаття з математики . Ви можете допомогти про?кту, виправивши або дописавши ?? .

п о р Посл?довност? й ряди Посл?довност? Числова посл?довн?сть Фундаментальна посл?довн?сть Л?н?йна рекурентна посл?довн?сть Пер?одична посл?довн?сть Числа Ф?боначч? Ф?гурн? числа Фактор?ал Код Баркера Посл?довн?сть де Брейна Ряди, основне Сума ряду Залишок ряду Умовна зб?жн?сть Знакоперем?жний ряд Мультисекц?я ряду Числов? ряди ( д?? з числовими рядами ) Гармон?чний ряд Ряд Лейбн?ца Ряд обернених квадрат?в Ряд обернених до простих чисел Ряд Д?р?хле Ряд Меркатора Ряд Гранд? 1 ? 2 + 3 ? 4 + … 1 + 2 + 3 + 4 + ? Функц?ональн? ряди Ряд Тейлора Ряд Лорана Ряд Фур'? Тригонометричний ряд Ряд В?нера ?нш? види ряд?в Ряд Л?ув?лля ? Неймана Ряд Неймана Ряд Пю?зо