Припущення

Матер?ал з В?к?пед?? ? в?льно? енциклопед??.
Перейти до нав?гац?? Перейти до пошуку
Д?йсна (червоний) ? уявна частини (син?й) дзета-функц?? Р?мана на критичн?й прямий . Перш? нетрив?альн? нул? знаходяться в точках . Г?потеза Р?мана стверджу?, що вс? нетрив?альн? нул? дзета-функц?? знаходяться на критичн?й л?н??. Цей факт дозволя? зробити деяк? висновки про розм?щення простих чисел на д?йсн?й ос?.

Припущення (або г?потеза ) ? судження чи висловлювання , для якого не було знайдено доведення . [1] [2] [3] .

Г?потеза в математиц? ? твердження , яке на основ? доступно? ?нформац?? зда?ться з високою ймов?рн?стю правильним, але для якого не вда?ться отримати математичне доведення [4] [5] . Математична г?потеза ? в?дкритою математичною проблемою , ? кожну нерозв’язану математичну проблему, яка ? проблемою розв'язност? , можна сформулювати у форм? г?потези. Однак у вигляд? г?потези може бути сформульована не кожна математична проблема. Наприклад, конкретний розв’язок деяко? системи р?внянь або задач? оптим?зац?? для 2208 нев?домих передбачити неможливо, але такий розв’язок може бути не т?льки практичним, але ? власне математичним результатом [6]

Г?потеза Р?мана , Велика теорема Ферма , г?потеза Воринга ? деяк? ?нш? математичн? г?потези з?грали значну роль в математиц?, оск?льки спроби ?х довести привели до створення нових галузей ? метод?в досл?дження.

Математична ? природничо-наукова г?потеза [ ред. | ред. код ]

На в?дм?ну в?д природничо-науково? г?потези, математична г?потеза може бути лог?чно доведена в деяк?й систем? акс?ом , п?сля чого вона ста? теоремою, правильною при цих обмеженнях, ≪на вс? часи≫. Характерним прикладом ? наукова спадщина Ньютона , який заявляв, що в?н ≪г?потез не вигаду?≫, ? прагнув у ф?зиц? не виходити за рамки математично? модел? . Математичн? теореми Ньютона, як ? найдавн?ша теорема П?фагора , донин? залишаються в сил?, однак його класична механ?ка ? теор?я тяж?ння п?сля появи спец?ально? ? загально? теор?й в?дносност? стали спростованими ф?зичними г?потезами. Якщо розв'язна математична г?потеза може бути доведена або спростована, то для природничо-науково? г?потези в силу в?дносност? природничонаукового знання властивост? вериф?ковност? ? фальсиф?ковност? не виключають одна одну [7] . Механ?ка Ньютона незастосовна для швидкостей, близьких до швидкост? св?тла, але з дуже великою точн?стю опису? рух б?льшост? т?л Сонячно? системи. Тому в ф?зиц? зазвичай кажуть не про спростування г?потез, а про обмеження сфери застосування теор??.

Розв’язання математичних г?потез [ ред. | ред. код ]

Доведення [ ред. | ред. код ]

Математика заснована на формальних доведеннях. Наск?льки б переконливою г?потеза не здавалася, ск?льки б не було наведено приклад?в на ?? п?дтвердження, г?потеза може бути спростована одним контрприкладом. Сучасн? математичн? журнали ?нод? публ?кують результати досл?джень про д?апазон, в межах якого справедлив?сть г?потези перев?рена. Наприклад, г?потеза Коллатца перев?рена для вс?х ц?лих чисел аж до 1,2 × 10 12 , проте цей факт сам по соб? н?чого не да? для доведення г?потези.

Для доведення г?потези повинно бути надано математичне доведення , яке шляхом лог?чно бездоганного м?ркування на основ? деяко? системи акс?ом робить ?дино можливим твердження г?потези або лог?чно неможливим протилежне твердження.

Коли г?потезу доведено, то в математиц? вона ста? теоремою . Теоремою може стати ? спростування явно? або неявно? г?потези. В ?стор?? математики деяк? г?потези тривалий час ?снували в неявн?й форм? , ? численн? спроби знайти квадратуру кола або розв’язок алгебра?чного р?вняння п'ятого степеня в радикалах виходили з? спростованих згодом г?потез про те, що це можливо.

Спростування [ ред. | ред. код ]

Спростування г?потези також зд?йсню?ться за допомогою доведення, але з урахуванням типових формулювань спростування г?потез часто ? найпрост?шим видом доведення ? контрприкладом. Таке доведення ? найпрост?шим з лог?чно? точки зору, однак побудова прикладу в теор?? граф?в або пошук прикладу в теор?? чисел ( г?потеза Ейлера ) може бути справою дуже непростою. П?сля спростування г?потеза може стати фактом ?стор?? математики, а може трансформуватися в нову математичну г?потезу. Наприклад, г?потеза Ейлера п?сля спростування трансформувалася в г?потезу Ландера ? Парк?на ? Селфриджа [ru] . В цьому випадку процес под?бний до еволюц?? природничонаукових г?потез.

Нерозв'язн? г?потези [ ред. | ред. код ]

Не для будь-яко? г?потези можна довести ?? ?стинн?сть або хибн?сть у задан?й систем? акс?ом. Зг?дно з теоремою Геделя про неповноту , у будь-як?й достатньо складн?й акс?оматичн?й теор??, наприклад, в арифметиц? , ?снують твердження, як? не можна н? спростувати, н? довести в рамках само? теор??. Тому будь-яка математична теор?я, що м?стить арифметику, м?стить не спростовн? ? недов?дн? в ?? рамках г?потези.

Наприклад, було доведено, що континуум-г?потеза Кантора в теор?? множин не залежить в?д загальноприйнято? системи акс?ом Цермело ? Френкеля . Тому можна прийняти як акс?ому це твердження або його заперечення, не приходячи до суперечност? з ?ншими акс?омами ? без будь-яких насл?дк?в для доведених ран?ше теорем. В геометр?? з найдавн?ших час?в сумн?ви математик?в викликала акс?ома паралельност? Евкл?да . Сьогодн? в?домо, що якщо прийняти протилежну акс?ому, то можна побудувати несуперечливу геометр?ю Лобачевского , що включа? абсолютну геометр?ю , тобто ?з збереженням вс?х ?нших акс?ом.

Умовн? доведення [ ред. | ред. код ]

З? справедливост? деяких недоведених г?потез випливають важлив? насл?дки. Якщо ?сну? поширена думка, що г?потеза правильна, то математики ?нод? доводять теореми, як? правильн? т?льки за умови справедливост? тако? г?потези, в над?? що г?потезу буде доведено. Под?бн? доведення поширен?, наприклад, у зв'язку з г?потезою Р?мана.

Припущення ad hoc [ ред. | ред. код ]

Докладн?ше: Ad hoc

Припущення може тимчасово вважатися ?стинним з певною метою (ad hoc) , поки не доведена його хибн?сть (так звана одинична г?потеза ) [8] . Наприклад, для доведення в?д супротивного того, що к?льк?сть простих чисел неск?нченна , достатньо зробити припущення, що к?льк?сть простих чисел ск?нченна, ? шляхом умовиводу показати, що насл?дком цього припущення ? суперечн?сть :

Уяв?мо, що к?льк?сть простих чисел ск?нченна. Перемножимо ?х ? додамо одиницю. Отримане число не д?литься на жодне з? ск?нченного набору простих чисел, тому що остача в?д д?лення на будь-яке з них да? одиницю. Отже, добуток ма? д?литись на деяке просте число, не включене до цього набору. [9]

Дек?лька в?домих приклад?в [ ред. | ред. код ]

Тут наведен? твердження, як? справили великий вплив на математику, перебуваючи в статус? г?потез. Одн? з них залишаються г?потезами донин?, ?нш? були доведен? або спростован?.

Велика теорема Ферма [ ред. | ред. код ]

Докладн?ше: Велика теорема Ферма

В теор?? чисел Велика теорема Ферма стверджу?, що н? для яких для трьох натуральних чисел р?вн?сть не викону?ться, якщо ц?ле число перевищу? 2.

П'?р Ферма записав це припущення в 1637 роц? на полях ≪Арифметики≫ Д?офанта разом з твердженням, що ма? доведення, але воно занадто велике, щоб пом?ститися на цих полях. [10] Перше усп?шне доведення було отримане Джоном Вайлсом у 1994 роц? ? опубл?коване в 1995 роц?, п?сля 358 рок?в зусиль багатьох математик?в. Спроби розв’язати цю проблему в XIX стол?тт? призвели до розвитку алгебра?чно? теор?? чисел та доведення теореми про модулярн?сть у XX стол?тт?.

Г?потеза Пуанкаре [ ред. | ред. код ]

Докладн?ше: Г?потеза Пуанкаре

Г?потеза Пуанкаре стверджу?, що кожен однозв’язний компактний тривим?рний многовид без краю гомеоморфний тривим?рн?й сфер? . Анр? Пуанкаре сформулював цю г?потезу в 1904 роц?. П?сля майже стол?тн?х зусиль математик?в Григор?й Перельман дов?в цю г?потезу в трьох статтях, розм?щених у 2002 ? 2003 роках на сайт? arXiv . Доведення спиралось на пропозиц?ю Р?чарда Гам?льтона використовувати для розв’язування пот?к Р?чч? . [11] К?лька команд математик?в перев?рили доведення Перельмана ? п?дтвердили, що воно правильне. Ц?каво, що для сфер б?льшо? розм?рност? доведення були отриман? ран?ше.

Г?потеза Р?мана [ ред. | ред. код ]

Докладн?ше: Г?потеза Р?мана

Г?потеза Р?мана , запропонована в 1859 роц?, стверджу?, що вс? нетрив?альн? корен? дзета-функц?? Р?мана мають д?йсну частину, що дор?вню? 1/2. З? справедливост? г?потези Р?мана виплива? низка результат?в про розпод?л простих чисел . Деяк? математики вважають цю г?потезу найб?льш важливою нерозв’язаною проблемою в ≪чист?й математиц?≫ . Г?потеза Р?мана входить до списк?в проблем Г?льберта ? завдань тисячол?ття .

Р?вн?сть клас?в P ? NP [ ред. | ред. код ]

Докладн?ше: Р?вн?сть клас?в P ? NP

Питання про р?вн?сть клас?в P ? NP входить до списку завдань тисячол?ття ? ? одн??ю з головних проблем ?нформатики . Неформально, але досить точно питання зводиться до того, чи можна будь-яку задачу, надане р?шення яко? можна перев?рити за пол?ном?альний час, також розв’язати за пол?ном?альний час, використовуючи пол?ном?альну пам'ять. Сьогодн? переважа? думка, що це не так. Але якщо доведення ?стинност? ц??? г?потези може бути конструктивним (треба надати лише один алгоритм, що багато хто намага?ться зробити), то як доводити протилежне ? неясно. Ймов?рно, вперше проблему булу згадано в 1956 роц? у лист? Курта Геделя до Джона фон Неймана . [12] Точно проблему сформулював у 1971 роц? Ст?вен Кук [13] ? вона вважа?ться багатьма найважлив?шою в?дкритою проблемою в ц?й галуз? [14] .

Г?потеза Гольдбаха [ ред. | ред. код ]

Г?потеза Коллатца [ ред. | ред. код ]

Г?потеза Малдасени ( теор?я струн ) [ ред. | ред. код ]

Континуум-г?потеза [ ред. | ред. код ]

?стор?я [ ред. | ред. код ]

Давньогрецьк? математики часто застосовували в якост? методу математичного доведення уявний експеримент, що включав у себе висунення г?потез та виведення з них за допомогою дедукц?? насл?дк?в з метою перев?рки правильност? первинних здогадок. Сьогодн? так? м?ркування називаються методом доведення в?д супротивного . Платон розглядав г?потези як посилки розробленого ним анал?тико-синтетичного методу доведення, здатного забезпечити абсолютно ?стинний характер висновку. Проте г?потеза як метод досл?дження була в?дкинута Ар?стотелем , який в якост? посилок силог?стичного доведення мислив лише загальн?, необх?дн? ? абсолютн? ?стини. Це зумовило подальше негативне ставлення вчених до г?потез як форми недостов?рного або ймов?рного знання [15] . Подолати протиставлення г?потез ? абсолютно точного знання ?, як насл?док, зневажливе ставлення до г?потез вдалося лише в XIX стол?тт?. Зокрема, Енгельс , розглядаючи г?потезу як форму ≪розвитку природознавства≫ [16] , висунув положення про вза?мозв'язок г?потез з законами ? теор?ями як р?зними формами щодо ?стинного знання.

Прим?тки [ ред. | ред. код ]

  1. ↑ Oxford Dictionary of English (вид. 2010).
  2. ↑ Schwartz, JL (1995). Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics . с. 93. Арх?в ориг?налу за 20 травня 2019 . Процитовано 22 липня 2018 .
  3. ↑ Н. И. Кондаков. Логический словарь ? Москва: ≪Наука≫, 1971?656 с.
  4. ↑ Oxford Dictionary of English (вид. 2010).
  5. ↑ JL Schwartz (1995). Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics . с. 93.
  6. ↑ The Approximate Bilinear Algorithm of Length 46 for Multiplication of 4×4 Matrices [ недоступне посилання з кв?тня 2019 ]
  7. ↑ Г?потеза [ Арх?вовано 5 березня 2016 у Wayback Machine .] // Нова ф?лософська енциклопед?я
  8. ↑ Тофтул М. Г. Лог?ка: п?дручник, 2-ге вид., допов. / М. Г. Тофтул. ? К.: ВЦ ≪Академ?я≫, 2008. ? 400 с.
  9. ↑ ≪Начала Евкл?да≫ (книга IX, твердження 20).
  10. ↑ Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History , Dover, с. 203?204, ISBN   978-0-486-65620-5
  11. ↑ Hamilton, Richard S. (1997). Four-manifolds with positive isotropic curvature. Communications in Analysis and Geometry . 5 (1): 1?92. MR   1456308 . Zbl   0892.53018 .
  12. ↑ Juris Hartmanis 1989, Godel, von Neumann, and the P = NP problem [ Арх?вовано 26 лютого 2015 у Wayback Machine .] , Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101-107
  13. ↑ Cook, Stephen (1971). The complexity of theorem proving procedures. Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing . с. 151?158.
  14. ↑ Lance Fortnow, The status of the P versus NP problem [ Арх?вовано 24 лютого 2011 у wayback.archive-it.org] , Communications of the ACM 52 (2009), no. 9, pp. 78-86. DOI : 10.1145/1562164.1562186
  15. ↑ Г?потеза [ Арх?вовано 5 березня 2016 у Wayback Machine .] // Нова ф?лософська енциклопед?я
  16. ↑ Маркс К. ? Енгельс Ф. Соч., т. 20, с. 555

Див. також [ ред. | ред. код ]

Отримано з https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Припущення&oldid=37420885