Гам?льто?нова меха?н?ка  ? одне з формулювань закон?в механ?ки, загалом аналог?чне законам Ньютона, але зручне для узагальнень, використання в статистичн?й ф?зиц? й для переходу до квантово? механ?ки .

Функц?я Гам?льтона [ ред. | ред. код ]

Функц?я Гам?льтона ${\displaystyle {\mathcal {H}}(q_{i},p_{i},t)\,}$ визнача?ться через узагальнен? координати ${\displaystyle q_{i}\,}$ ? узагальнен? ?мпульси ${\displaystyle p_{i}\,}$ виходячи з функц?? Лагранжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)\,}$ наступним чином:

Узагальнен? ?мпульси вводяться як

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$.

Функц?я Гам?льтона визнача?ться формулою

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\mathcal {L}}}$.

П?сля цього вс? узагальнен? швидкост? ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ виражаються через узагальнен? ?мпульси й координати.

За сво?ю суттю функц?я Гам?льтона ? енерг??ю системи, вираженою через координати й ?мпульси.

У випадку стац?онарних зв'язк?в ? потенц?йних зовн?шн?х сил

${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V\,}$,

тобто функц?я Гам?льтона ? сумою потенц?йно? ? к?нетично? енерг?й, але при цьому к?нетична енерг?я повинна бути виражена через ?мпульси, а не через швидкост?.

Канон?чн? р?вняння Гам?льтона [ ред. | ред. код ]

Р?вняння еволюц?? динам?чно? системи записуються в Гам?льтонов?й механ?ц? у вигляд?

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}}$,

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}}$.

Ц? р?вняння називаються канон?чними р?вняннями Гам?льтона. Вони повн?стю визначають еволюц?ю системи з часом у тому сенс?, що знаючи значення узагальнених координат ? швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити ?хн? значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему р?внянь.

Практичн? використання [ ред. | ред. код ]

Функц?я Гам?льтона для заряду в електромагн?тному пол? [ ред. | ред. код ]

Загалом сила Лоренца не ? потенц?альною силою, оск?льки залежить в?д швидкост? руху заряду. Проте ?? можна включити в Гам?льтонову механ?ку записавши функц?ю Гам?льтона заряджено? частинки в наступн?й форм? (гаусова система одиниць):

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {(\mathbf {p} -e\mathbf {A} /c)^{2}}{2m}}+e\varphi }$

де ${\displaystyle e}$ ? заряд частинки, ${\displaystyle \varphi }$ ? електростатичний потенц?ал , ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ? векторний потенц?ал .

В релятив?стському випадку:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+(\mathbf {p} -e\mathbf {A} /c)^{2}}}+e\varphi }$.

Функц?я Гам?льтона в теор?? в?дносност? [ ред. | ред. код ]

Функц?ю Гам?льтона у релятив?стському випадку можна отримати шляхом стандартно? процедури, знаючи функц?ю Лагранжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ (див. "Механ?ку" Ландау):

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbf {v} {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}-{\mathcal {L}}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Як видно, ?? вираз повн?стю зб?га?ться ?з виразом для потенц?ально? енерг?? релятив?стсько? частки, ? не залежить у явн?й форм? в?д ?мпульса. Знаючи релятив?стський ?мпульс, цей вираз можна переписати у вигляд? квадратично? форми:

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}=c^{2}(p^{2}+m^{2}c^{2})}$,

з яко? ? отриму?мо загальновизнаний вираз для функц?? Гам?льтона:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=c{\sqrt {p^{2}+mc^{2}}}}$.

Цей вираз для функц?? Гам?льтона широко використову?ться в класичн?й та квантов?й механ?ц?.

Використання у квантов?й механ?ц? [ ред. | ред. код ]

У квантов?й механ?ц? оператор енерг?? ${\displaystyle {\hat {H}}}$ буду?ться ?з класично? функц?? Гам?льтона зам?ною узагальнених ?мпульс?в ${\displaystyle p_{i}}$ на оператори ?мпульсу ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial q_{i}}}}$, де ${\displaystyle \hbar }$ -- зведена стала Планка . Такий оператор назива?ться гам?льтон?аном , а процедура переходу в?д функц?? Гам?льтона до гам?льтон?ану назива?ться процедурою квантування .

Гам?льтон?ан ? головним оператором у квантов?й механ?ц?, оск?льки входить в головне р?вняння квантово? механ?ки ? р?вняння Шред?нгера .

Механ?чний осцилятор [ ред. | ред. код ]

У випадку класичного механ?чного осцилятора (без тертя) функц?я Гам?льтона ма? такий вигляд:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kx^{2}}{2}}={\frac {m{\dot {x}}^{2}}{2}}+{\frac {kx^{2}}{2}}}$

де ${\displaystyle k-}$ коеф?ц??нт жорсткост? , а ${\displaystyle m-}$ маса т?ла.

Перше диференц?йне р?вняння Гам?льтона буде:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}={\frac {p}{m}}}$,

Друге диференц?йне р?вняння Гам?льтона ма? вигляд:

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial x}}=-kx}$,

Зв?дси можна отримати р?вняння руху:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0}$.

Можна також привести значення "д??" на пром?жку одного пер?оду коливань:

${\displaystyle S=-\int _{0}^{T}{\mathcal {H}}(x,p,t)\,dt={\frac {1}{2}}ma^{2}\omega ^{2}T,}$

де ${\displaystyle a-}$ ампл?туда коливань, ${\displaystyle \omega ={\sqrt {k/m}}-}$ цикл?чна частота, а ${\displaystyle T=2\pi /\omega -}$ пер?од.

Електричний осцилятор [ ред. | ред. код ]

Для класичного ${\displaystyle LC-}$ контуру функц?я Гам?льтона ма? вигляд:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p_{M},t)={\frac {p_{M}^{2}}{2L}}+{\frac {q^{2}}{2C}}}$

де ${\displaystyle p_{M}=L{\dot {q}}-}$ "магн?тний ?мпульс" (фактично - магн?тний пот?к).

Можна також привести значення "д??" на пром?жку одного пер?оду коливань:

${\displaystyle S=-\int _{0}^{T}{\mathcal {H}}(x,p_{M},t)\,dt={\frac {1}{2}}Lq_{0}^{2}\omega ^{2}T,}$

де ${\displaystyle q_{0}-}$ ампл?тудне значення заряду, ${\displaystyle \omega ={\sqrt {1/LC}}-}$ цикл?чна частота, а ${\displaystyle T=2\pi /\omega -\ }$ пер?од коливань.

Див. також [ ред. | ред. код ]

• Механ?ка Лагранжа
• Р?вняння Гам?льтона-Якоб?
• Дужки Пуассона

Джерела [ ред. | ред. код ]

• ?жов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механ?ка. ? К.  : ВПЦ "Ки?вський ун?верситет", 2008. ? 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механ?ка. ? К.  : Вища школа, 1975. ? 516 с.
• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. ? М.  : Физматлит, 2007. ? Т. 1. ? 224 с.
• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Теория поля // Теоретическая физика. ? М.  : Физматлит, 2006. ? Т. 2. ? 536 с.
• тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. ? М.  : Наука, 1974. ? 224 с.

п о р Розд?ли ф?зики П?дрозд?ли Експериментальна ф?зика Прикладна ф?зика Теоретична ф?зика Енерг?я ? Рух Механ?ка Квантова механ?ка Класична механ?ка Механ?ка Гам?льтона Механ?ка Лагранжа Механ?ка суц?льних середовищ Г?дроаеромехан?ка Механ?ка деформ?вного твердого т?ла Ф?зична к?нетика Статистична механ?ка Термодинам?ка Поле ? Хвил? Грав?тац?я Електромагнетизм Електрика Магнетизм Квантова теор?я поля Теор?я в?дносност? Загальна теор?я в?дносност? Спец?альна теор?я в?дносност? Спец?ал?зован? Акустика Акустооптика Атомна, молекулярна ? оптична ф?зика Атомна ф?зика Молекулярна ф?зика Ф?зика пол?мер?в Обчислювальна ф?зика Оптика Геометрична оптика Квантова оптика Нел?н?йна оптика Ф?зична оптика Статистична ф?зика Ф?зика прискорювач?в Ф?зика конденсованих середовищ Ф?зика твердого т?ла Ф?зика елементарних частинок Феноменолог?я елементарних частинок Ф?зика плазми Цифрова ф?зика Ядерна ф?зика Сум?жн? Агроф?зика Ф?зика ?рунт?в Астроф?зика Ф?зика астрочастинок Гел?оф?зика Ф?зика Сонця Космолог?я Ф?зична космолог?я Небесна механ?ка Ф?зика косм?чно? плазми Ядерна астроф?зика Б?оф?зика Б?омехан?ка Б?оф?зика серця Медична ф?зика Нейроф?зика [en] Геоф?зика Г?дроф?зика Еконоф?зика [en] Математична ф?зика Матер?алознавство Кристалограф?я Кристалооптика Психоф?зика Рад?оф?зика Техн?чна ф?зика Ф?зика атмосфери [en] Х?м?чна ф?зика Портал:Ф?зика