Ця стаття ? сирим перекладом з англ?йсько? мови . Можливо, вона створена за допомогою машинного перекладу або перекладачем, який недостатньо волод?? обома мовами. Будь ласка, допомож?ть пол?пшити переклад . (жовтень 2021)

Заперечення в лог?ц?  ? унарна операц?я над судженнями , результат яко? ? судження (у в?домому сенс?) ≪протилежне≫ початковому. Познача?ться знаком ￢ перед або рискою над судженням. Синон?м: лог?чне ≪НЕ≫.

Як у класичн?й, так ? в ?нту?ц?он?стськ?й лог?ц? ≪подв?йне заперечення≫ ￢￢A ? насл?док судження A, тобто ма? м?сце тавтолог?я : ${\displaystyle A\rightarrow \neg \neg A}$.

В класичн?й лог?ц? заперечення зазвичай ?нтерпретують як функц?ю , що переводить ?стину в хибн?сть ? навпаки. А в ?нту?ц?он?стськ?й лог?ц? зазвичай п?д запереченням твердження ${\displaystyle P}$ прийма?ться спростування ${\displaystyle P}$. Обернене твердження ${\displaystyle \neg \neg A\rightarrow A}$ правильне в класичн?й лог?ц? ( закон подв?йного заперечення ), але не ма? м?сця в ?нту?ц?он?стськ?й. Тобто, заперечення шуканого твердження не може бути ?нту?ц?он?стським доказом, на в?дм?ну в?д класично? лог?ки. Цю в?дм?нн?сть двох лог?чних систем зазвичай уважають головною.

У лог?ц? й математиц? заперечення ще назива?ться лог?чним доповненням. Це операц?я на пропозиц??, ?стинност? значення, або семантичн? значення в ц?лому. ?нту?тивно зрозум?ло, що заперечення ?стинне, коли твердження ? хибним, ? навпаки. У класичн?й лог?ц? заперечення, як правило, ототожню?ться з ?стиною функц??, яка прийма? ?стину хибн?стю та навпаки. У семантиц? Кр?пке , заперечення ? це теоретико-множинне доповнення .

Множиною ?стини заперечення судження ? доповнення множини ?стини самого судження до ун?версально? множини , з яко? вибираються елементи.

${\displaystyle A}$	${\displaystyle {\bar {A}}}$
0	1
1	0

Мнемон?чне правило для заперечення звучить так: На виход? буде:

• ≪1≫ тод? ? лише тод?, коли на вход? ≪0≫,

• ≪0≫ тод? ? лише тод?, коли на вход? ≪1≫

Класичне заперечення ? це операц?я на одне лог?чне значення, як правило, значення пропозиц??, яке виробля? значення ?стини, якщо його операнд ? хибним, ? помилкове значення, якщо його операнд ? ?стинним. Таким чином, якщо судження в?рно, то ￢ A (вимовля?ться як ≪не А≫), буде помилковим, ? навпаки.

Класичне заперечення може бути визначене в терм?нах ?нших лог?чних операц?й. Наприклад, ￢ р може бути визначене як р → F, де ≪→≫ ? лог?чним насл?дком ? F ? це абсолютна хибн?сть. ? навпаки, можна визначити як F & P ￢ р для будь-яких р пропозиц?й, де ≪&≫ ? лог?чне множення. ?дея поляга? в тому, що будь-яка суперечн?сть ? хибна. Також ми отрима?мо подальшу ?дентичн?сть: P → Q може бути визначене як ￢ P ∨ Q, де ≪∨≫ ? лог?чне додавання: ≪Не р або q≫. Алгебра?чно, класичне заперечення в?дпов?да? доповненню в булев?й алгебр? . Ця алгебра забезпечу? семантику для класично? лог?ки.

Заперечення висловлювання р ? заф?ксованим по-р?зному в р?зних контекстах обговорення та област? застосування. Серед цих вар?ант?в ? наступн?:

Позначення	Вимовлення
￢ p	не p
? p	не p
~ p	не p
${\displaystyle p'\!}$	p просте число, p доповнення
${\displaystyle !p\!}$	не p

В теор?? множин також використову?ться для позначення 'не ? членом': U \ A, де U не ? членом А. Незалежно в?д того, чи ? в?н заф?ксованим або символом, заперечення ￢ р /-р може бути прочитане як ≪це не той випадок, що р≫, ≪не те, що р≫, або зазвичай прост?ше (хоча ? не граматично) як ≪не р≫ .

В систем? класично? лог?ки, подв?йного заперечення , тобто заперечення a пропозиц?? р, лог?чно екв?валентний р. Виражений в символ?чному план?, ￢￢p ⇔ p. В ?нту?ц?йн?й лог?ц?, пропозиц?я ? його подв?йне заперечення, але не навпаки. Це знамену? одна важлива в?дм?нн?сть м?ж класичним та ?нту?ц?йним запереченням. Алгебра?чно класичне заперечення назива?ться ?нволюц?я пер?оду два.

Проте, в ?нту?ц?йн?й лог?ц? ? екв?валентн?сть  ￢￢￢ p  ? ￢ p .

Закони де Моргана забезпечу? спос?б поширення заперечення над диз'юнкц??ю та кон'юнкц??ю:

${\displaystyle \neg (a\vee b)\equiv (\neg a\wedge \neg b)}$,  and

${\displaystyle \neg (a\wedge b)\equiv (\neg a\vee \neg b)}$.

В булево? алгебри, л?н?йна функц?я ? одна з таких, що: Якщо ?сну? a ₀ , a ₁ , …, a _n ${\displaystyle \in }$ {0,1} що f(b ₁ , …, b _n ) = a ₀ ? (a ₁ ${\displaystyle \land }$ b ₁ ) ? … ? (a _n ${\displaystyle \land }$ b _n ), для вс?х b ₁ , …, b _n ${\displaystyle \in }$ {0,1}.

?нший спос?б виразити це, що кожна зм?нна завжди робить р?зницю в ?стинност? вартост? операц?? або вона н?коли не робить р?зницю. Заперечення ? це л?н?йний лог?чний оператор.

В булев?й алгебр? подв?йна функц?я ? одн??ю з таких, що: f(a ₁ , …, a _n ) = ~f(~a ₁ , …, ~a _n ) для вс?х a ₁ , …, a _n ${\displaystyle \in }$ {0,1}.

Заперечення ? самоподв?йним лог?чним оператором.

? число екв?валентних способ?в сформулювати правила для заперечення. Один звичайний спос?б сформулювати класичне заперечення в установц? природного вирахування прийняти як прим?тивн? правила виведення заперечення введення (з висновку p, щоб обидва q ? ￢q, висновок ￢p; це правило також називають доведення до абсурду), заперечення усунення (з p ? ￢p висновок q; це правило також називають подв?йним усуненням заперечення). Один отриму? правило ?нту?ц?йного заперечення так само, але з винятком л?кв?дац?? подв?йного заперечення.

Заперечення введення стверджу?, що якщо абсурд можна зробити як висновок в?д p, то p не повинно бути справою (тобто. p неправдиве (класично), або опроверж?не (?нту?цион?стському) або т.п..). ?нод? усунення заперечення формулю?ться за допомогою прим?тивного абсурду (знак ⊥). В цьому випадку правило говорить, що з p ? ￢p сл?ду? абсурд. Разом з л?кв?дац??ю подв?йного заперечення можна зробити висновок нашому спочатку сформульовану правилу, саме що-небудь з абсурду.

Зазвичай ?нту?ц?йне заперечення ￢p з p визнача?ться як р → ⊥. Тод? заперечення впроваджу? та усува? лише окрем? випадки ?мпл?кац?? введення (умовний доказ) та л?кв?дац?? (модус поненс).

Як ? в математиц?, заперечення використову?ться в ?нформатиц? для побудови лог?чного висловлювання.

    if
 (
!
(
r
 ==
 t
))

    {

         /*...statements executed when r does NOT equal t...*/

    }

≪ ! ≫ означа? лог?чне НЕ в B , C , ? мов, таких як C++ , Java , JavaScript , Perl , ? PHP . ≪ NOT ≫ ? оператором використову?ться в ALGOL 60 ^[en] , BASIC , ? мови разом з ALGOL- або BASIC-inspired синтаксису, таких як Pascal , Ada , Eiffel ? Seed7. Деяк? мови (C++, Perl, ? т. д.) забезпечують б?льше н?ж один оператор для заперечення. А к?лька мов, як PL/I ? Ratfor використовують ￢ для заперечення. Деяк? сучасн? комп'ютери та операц?йн? системи будуть в?дображати ￢ як ! на в?дтворення файл?в в ASCII .  Б?льш?сть сучасних мов дозволяють вищевказану заяву щоб скоротити в?д if (!(r == t)) до if (r != t) , яка дозволя? ?нод?, коли комп?лятор/?нтерпретатор не може оптим?зувати його, швидше програм.

В ?нформатиц? ? також поб?тове заперечення. Це прийма? значення цього та перемика? вс? б?нарн? 1s до 0s ? 0s до 1s. Дивись операц?ю поб?тового. Це часто використову?ться для створення зворотнього коду або ≪ ~ ≫ в C або C++ ? в додатковому (просто спрощена до ≪ - ≫ або в?д'?мний знак, оск?льки це р?внозначно тому, що приймаючи в?д'?мне значення арифметичне в?д к?лькост?), як це здеб?льшого створю? протилежне (в?д'?мне значення екв?валентного), або математичний додаток до значення (де обидва значення додаються разом вони створюють в ц?лому).

Щоб одержати абсолютне (позитивний екв?валент) значення даного ц?лого числа в наступному буде працювати як ≪ - ≫ зм?ню? його з негативного на позитивний (в?н негативний, оск?льки ≪ x < 0 ≫ ?стина)

    unsigned
 int
 abs
(
int
 x
)

    {

        if
 (
x
 <
 0
)

            return
 -
x
;

        else

            return
 x
;

    }

Щоб продемонструвати лог?чне заперечення:

    unsigned
 int
 abs
(
int
 x
)

    {

        if
 (
!
(
x
 <
 0
))

            return
 x
;

        else

            return
 -
x
;

    }

Звертаючи стан ? повернути назад результат створю? код, який лог?чно екв?валентний вих?дному коду, тобто будуть мати однаков? результати для будь-якого входу (зверн?ть увагу, що в залежност? в?д використовуваного комп?лятора, фактичн? ?нструкц??, виконуван? комп'ютером, можуть в?др?знятися).

Ця конвенц?я ?нод? поверхнева в письмов?й мов?, як у комп'ютерн?й сфер? сленгу для н?. Фраза !voting , наприклад, означа? ≪ не беруть участь у голосуванн?≫.

В семантиц? Кр?пке, де семантичн? значення формули набору можливих св?т?в, заперечення може бути доставлене на уваз? теоретико-множинно? Комплементац??.

• Кон'юнкц?я
• Диз'юнкц?я (лог?ка)
• Стр?лка П?рса
• Подв?йне заперечення
• Семантика можливих св?т?в

• Gabbay, Dov, and Wansing, Heinrich, eds., 1999. What is Negation? , Kluwer.
• Horn, L., 2001. A Natural History of Negation , University of Chicago Press.
• G. H. von Wright, 1953?59, ≪On the Logic of Negation≫, Commentationes Physico-Mathematicae 22 .
• Wansing, Heinrich, 2001, "Negation, " in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic , Blackwell.
• Marco Tettamanti, Rosa Manenti, Pasquale A. Della Rosa, Andrea Falini, Daniela Perani, Stefano F. Cappa and Andrea Moro (2008). ≪Negation in the brain: Modulating action representation≫, NeuroImage Volume 43, Issue 2, 1 November 2008, pages 358?367, http://dx.doi.org/10.1016/j.neuroimage.2008.08.004/

• NOT [ Арх?вовано 28 жовтня 2014 у Wayback Machine .] , on MathWorld
• Weisstein, Eric W. Заперечення (англ.) на сайт? Wolfram MathWorld .

п о р Лог?чн? операц?? Тавтолог?я ( ${\displaystyle \top }$ ) NAND ( ${\displaystyle \uparrow }$ )   · Обернена ?мпл?кац?я ( ${\displaystyle \leftarrow }$)   · ?мпл?кац?я ( ${\displaystyle \rightarrow }$)   · OR ( ${\displaystyle \lor }$) Заперечення ( ${\displaystyle \neg }$)   · XOR ( ${\displaystyle \oplus }$)   · Екв?валентн?сть ( ${\displaystyle \leftrightarrow }$)   · Твердження ( Цифровий буфер [en] ) NOR ( ${\displaystyle \downarrow }$)   · Не?мпл?кац?я ( ${\displaystyle \nrightarrow }$)   · Обернена не?мпл?кац?я ( ${\displaystyle \nleftarrow }$)   · AND ( ${\displaystyle \land }$) Суперечн?сть ( ${\displaystyle \bot }$)