Конус
Досл?джу?ться в	стереометр?я
П?дтриму?ться В?к?про?ктом	В?к?пед?я:Про?кт:Математика
Конус у В?к?сховищ?

Ко?нус ( лат. conus в?д дав.-гр. κ?νο?  ? ≪шпичак шолома≫, ≪шишка≫) ^[1] заст. круж??ль ^[2] ? геометричне т?ло , отримане шляхом об'?днання вс?х промен?в , що виходять з одн??? точки ? вершини конуса , ? таких що проходять через дов?льну плоску криву . ?нод? конусом називають частину такого т?ла , отриману об'?днанням ус?х в?др?зк?в , що з'?днують вершину ? точки пласко? поверхн? (яку в такому випадку називають основою конуса , а конус називають таким, що спира?ться на дану поверхню). Надал? буде розглядатися саме цей випадок, якщо не сказано про ?нше.

За ДСТУ : конус  ? узагальнений терм?н, п?д яким залежно в?д конкретних умов розум?ють кон?чну поверхню , кон?чну деталь чи кон?чний елемент ^[3] .

В?др?зок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також його довжина), назива?ться висотою конуса . Якщо площа основи ма? ск?нченне значення, то об'?м конуса також ма? ск?нченне значення ? дор?вню? третин? добутку висоти на площу основи. Таким чином вс? конуси, що спираються на дану основу, ? мають вершину в площин?, паралельн?й ц?й основ?, мають р?вний об'?м, оск?льки ?х висоти р?вн?. Якщо основою конуса ? многокутник, тод? конус ста? п?рам?дою . Таким чином п?рам?ди ? п?дмножиною конус?в.

В?др?зок, що сполуча? вершину конуса з точкою границ? його основи назива?ться тв?рною конуса . Множина вс?х тв?рних конуса назива?ться б?чною поверхнею конуса .

Якщо основа конуса ма? центр симетр?? (наприклад, ? ел?псом ) ? ортогональна про?кц?я вершини конуса на його основу зб?га?ться з цим центром, то конус назива?ться прямим. При цьому пряма, що сполуча? вершину конуса з центром його основи назива?ться в?ссю конуса. Якщо ж ортогональна про?кц?я вершини не зб?га?ться з центром основи, то такий конус назива?ться косим.

У курс? шк?льно? геометр?? розглядають конус (точн?ше, прямий круговий конус [ Арх?вовано 15 грудня 2019 у Wayback Machine .] ). Конусом (точн?ше, круговим конусом) назива?ться т?ло, яке склада?ться ?з круга ? основи конуса, точки, що не лежить в площин? цього круга, ? вершини конуса ? вс?х в?др?зк?в, як? з'?днують вершину конуса з точками основи.

Прямий круговий конус (часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катет?в , який таким чином стане в?ссю конуса. Конус обертання в прямокутн?й систем? координат опису?ться системою нер?вностей:

${\displaystyle \left\{{{x^{2}+y^{2}\leq \left({\frac {zr}{h}}\right)^{2}} \atop {0\leq z\leq h}}\right.}$

де ${\displaystyle r>0,\ h>0}$

З ус?х конус?в т?льки прямий круговий ? т?лом обертання.

Перетин площини з прямим круговим конусом ? одним з кон?чних перер?з?в (в невироджених випадках ? ел?псом, параболою чи г?перболою, в залежност? в?д розм?щення с?чно? площини).

Частина конуса, що лежить м?ж основою ? площиною, паралельною до основи ? знаходиться м?ж вершиною ? основою, назива?ться зр?заним конусом .

Конус, що спира?ться на ел?пс, г?перболу чи параболу назива?ться в?дпов?дно ел?птичним, г?пербол?чним чи парабол?чним конусом (останн? два мають неск?нченний об'?м).

Повна площа прямого кругового конуса

${\displaystyle S=\pi rl+\pi r^{2}}$ ,

де r та l  ? рад?ус кола основи та довжина тв?рно? б?чно? поверхн? в?дпов?дно.

Площа б?чно? поверхн? прямого кругового конуса

${\displaystyle S_{b}=\pi rl}$,

де r та l  ? рад?ус кола основи та довжина тв?рно? б?чно? поверхн? в?дпов?дно.

У загальному випадку:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh}$,

де S ? площа основи, h ? висота конуса.

Об'?м кругового конуса, в?дпов?дно:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$,

Формулу об'?му конуса легко отримати ?з використанням ?нтегрального числення. Ми зна?мо, що об'?м твердого т?ла дор?вню? ?нтегралу площ? його перер?зу вздовж певно? ос?. Отже, з точн?стю до стало?, це ?нтеграл ${\displaystyle \int x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}.}$

Цей терм?н означа? кут ${\displaystyle \alpha }$ при вершин? в осьовому перер?з? конуса.

${\displaystyle \alpha =2\operatorname {arctg} {\frac {r}{h}}}$

Конус можна описати навколо п?рам?ди, якщо ?? основа ? многокутник, навколо якого можна описати коло, а вершина п?рам?ди про?кту?ться в центр цього кола. Рад?ус конуса дор?вню? рад?усу цього кола; висоти конуса ? п?рам?ди зб?гаються.

Конус можна вписати в п?рам?ду, якщо ?? основа ? многокутник, у який можна вписати коло, а вершина п?рам?ди про?кту?ться в центр цього кола. Рад?ус конуса дор?вню? рад?усу цього кола; висота конуса ? п?рам?ди зб?гаються.

Кулю можна описати навколо дов?льного конуса. Коло основи конуса ? вершина конуса лежать на поверхн? кул?. Центр кул? лежить на ос? конуса ? зб?га?ться з центром кола, описаного навколо трикутника, який ? осьовим перер?зом конуса. Перер?з площиною, що проходить через в?сь конуса (осьовий перер?з). Об'?м кул?, описано? навколо прямого кругового конуса:

${\displaystyle V_{k}={1 \over 6}\pi {\frac {l^{6}}{(l^{2}-r^{2}){\sqrt {l^{2}-r^{2}}}}}}$, де ${\displaystyle l}$ ? тв?рна конуса; ${\displaystyle r}$ ? рад?ус основи конуса.

Рад?ус кул? R, рад?ус основи конуса r ? висота конуса H пов'язан? сп?вв?дношенням:

${\displaystyle R^{2}={\bigl (}H-R{\bigr )}^{2}+r^{2}}$

Це сп?вв?дношення справедливе зокрема для випадку, коли ${\displaystyle H\leq R}$.

Кулю можна вписати в дов?льний конус. Куля дотика?ться основи конуса в його центр? ? б?чно? поверхн? конуса по колу, що лежить в площин?, яка паралельна основ? конуса. Центр кул? лежить на ос? конуса ? зб?га?ться з центром кола, вписаного в трикутник, що ? осьовим перер?зом конуса. Рад?ус кул? R, рад?ус основи конуса r ? висота конуса H пов'язан? сп?вв?дношенням: ${\displaystyle {\frac {R}{H-R}}={\frac {r}{\sqrt {H^{2}+r^{2}}}}}$

Форму конус?в мають насипан? на горизонтальн?й поверхн? купи п?ску, зерна, вуг?лля, породи, щебеню тощо. Кожному такому матер?алу в?дпов?да? кут природного укосу ^[4] - кут нахилу тв?рно? до площини основи конуса. Для п?ску в?н дор?вню? приблизно 30°, для вуг?лля ? 42°, для породи ? 46°.

• Кон?чна поверхня
• Зр?заний конус
• Кон?чн? перетини
• ?нструментальний конус
• Конусн?сть
• Блазенський ковпак

• Геометр?я. 10-11 класи [Текст]: пробний п?дручник / Афанась?ва О. М. [та ?н.]. ? Терноп?ль: Навчальна книга- Богдан, 2003. ? 264 с. ? ISBN 966-692-161-8
• Геометр?я. 11 клас [Текст]: п?дручник для загальноосв?тн?х навчальних заклад?в: академ?чний р?вень, проф?л.р?вень / Бевз Г. П. [та ?н.]. ? Ки?в: Генеза, 2011. ? 336 с.
• Геометр?я: Стереометр?я: 10-11 класи [Текст]: п?дручник / Погор?лов О. В.  ? Ки?в: Осв?та, 2001. ? 128 с.
• Наочний дов?дник з геометр?? [Текст] / Генденштейн Л. Е., ?ршова А. П.  ? Харк?в ? Терноп?ль: Г?мназ?я ? П?дручники ? пос?бники, 1997. ? 96 с.

Словники та енциклопед?? Велика данська енциклопед?я · Велика норвезька енциклопед?я · BabelNet · Britannica (11-th) · Encyclopedie Larousse · Internetowa encyklopedia PWN Дов?дков? видання Brilliant.org · WordNet · WordNet · Nuovo soggettario Нормативний контроль Freebase :  /m/03bzp0 · GND :  4163534-6 · NKC :  ph973161