Математичний анал?з → Комплексний анал?з
Комплексний анал?з
Комплексн? числа
Д?йсн? числа Уявне число Комплексна площина Спряжен? числа
Комплексн? функц??
Комплекснозначна функц?я Анал?тична функц?я Голоморфна функц?я Умови Кош? ? Р?мана Формальний степеневий ряд
Основна теор?я
?нтегральна теорема Кош? ?нтегральна формула Кош? ?ндекс замкнуто? криво? Ряд Лорана ?зольована особлива точка Теорема про лишки Конформне в?дображення Лема Шварца Гармон?чна функц?я Р?вняння Лапласа
Люди
О?юстен-Лу? Кош? Леонард Ейлер Карл Фр?др?х Гаусс Жак Соломон Адамар Бернгард Р?ман Карл Ве?рштрас
п о р

Компле?ксний ана?л?з , або тео?р?я фу?нкц?? компле?ксно? зм??нно? (ТФКЗ) ? розд?л математики , що вивча? функц?? , як? залежать в?д комплексно? зм?нно?. Використову?ться у багатьох розд?лах математики, зокрема у теор?? чисел , прикладн?й математиц? та ф?зиц? . По?дну? у соб? математичний анал?з функц?й д?йсних зм?нних , диференц?альн? р?вняння ? багато ?нших розд?л?в математики.

Головною задачею ТФКЗ ? вивчення анал?тичних функц?й , як? залежать в?д комплексно? зм?нно? (або мероморфних функц?й ). Оск?льки д?йсна та уявна частина будь-яко? анал?тично? функц?? повинн? п?дкорюватися р?внянню Лапласа , комплексний анал?з ма? широке застосування у поверхневих задачах ф?зики.

Комплексною назива?ться функц?я, в як?й аргумент та залежна зм?нна ? комплексними числами . Або точн?ше, комплексна функц?я ? це функц?я, область визначення яко? D ? п?дмножиною комплексно? площини , ? область значень функц?? E також п?дмножина комплексно? площини.

Для будь-яко? комплексно? функц??, аргумент та залежна зм?нна повинн? мати д?йсну та уявну частини:

${\displaystyle z=x+iy\,}$ та

${\displaystyle f(z)=U(x,y)+iV(x,y)\,}$

де ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \,}$ та ${\displaystyle U(x,y),V(x,y)\,}$ ? це функц??, визначен? на множин? д?йсних чисел.

?ншими словами, компоненти функц?? f ( z ),

${\displaystyle U=V(x,y)\,}$ та

${\displaystyle V=V(x,y),\,}$

можуть бути подан? як функц??, визначен? на множин? д?йсних чисел, але залежн? в?д двох зм?нних х та у .

Таким чином, на комплексн?й множин? можна використовувати звичайн? д?йсн? функц??: тригонометричн? та обернен? ?м , г?пербол?чн? , логарифм?чн? тощо. Окр?м цього ц? функц?? можна розповсюдити на комплексну множину ? обчислювати ?х значення для комплексних чисел.

Комплексний анал?з, як класичний розд?л математики, почав зароджуватися у середин? 19 стор?ччя. Його розвиток пов'язаний з ?менами Ейлера , Гаусса , Р?мана , Кош? , Вей?рштрасса та багатьох ?нших математик?в. Прийнято вважати, що ТФКЗ ? частиною теор?? конформного в?дображення , ? ма? багато застосувань у ф?зиц? та анал?тичн?й теор?? чисел . У сучасност? особливого розвитку отримала комплексна динам?ка ^[en] та зображення фрактал?в , як? ? результатом ?нтегрування голоморфних функц?й , найв?дом?шим з яких ? множина Мандельброта . ?нш? важлив? сучасн? застосування ТФКЗ зустр?чаються у теор?? струн та квантово? теор?? поля .

Кожна комплексна функц?я ${\displaystyle w=f(z)=f(x+iy)}$ може розглядатися як пара д?йсних функц?й в?д двох зм?нних: ${\displaystyle f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)}$, що визначають ?? д?йсну й уявну частину в?дпов?дно. Функц?? ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ називають компонентами комплексно? функц?? ${\displaystyle f(z)}$.

Дал? всюди, де йдеться про обмежен?сть комплексно? функц??, ма?ться на уваз? обмежен?сть ?? модуля (з чого виплива? обмежен?сть у звичайному сенс? обох компонент).

Поняття границ? для посл?довност? ? функц?? вводиться так само, як ? в випадку д?йсних чисел, з зам?ною абсолютно? величини на комплексний модуль. Якщо ${\displaystyle \lim _{z\to a+bi}f(z)=A+Bi}$, то ${\displaystyle \lim _{x\to a,\;y\to b}u(x,\;y)=A}$ ? ${\displaystyle \lim _{x\to a,\;y\to b}v(x,\;y)=B}$. Правильно ? зворотне: з ?снування границь компонент виплива? ?снування границ? само? функц?? та компонентами границ? будуть границ? компонент?в. Неперервн?сть комплексно? функц?? теж визнача?ться так само, як у випадку д?йсних чисел, ? вона р?вносильна неперервност? обох ?? компонент ^[1] .

Вс? основн? теореми про границ? ? неперервн?сть д?йсних функц?й мають м?сце ? в комплексному випадку, якщо це розширення не пов'язане з пор?внянням комплексних величин на б?льше-менше . Наприклад, в?дсутн?й прямий аналог теореми про пром?жн? значення неперервно? функц??.

${\displaystyle \varepsilon }$-ок?л числа ${\displaystyle z_{0}}$ визнача?ться як множина точок ${\displaystyle z}$, в?ддалених в?д ${\displaystyle z_{0}}$ менше н?ж на ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle |z-z_{0}|<\varepsilon }$

На комплексн?й площин? ${\displaystyle \varepsilon }$-ок?л явля? собою середину кола рад?уса ${\displaystyle \varepsilon }$ з центром в ${\displaystyle z_{0}}$.

У комплексному анал?з? часто корисно розглядати повну комплексну площину ^[2] , доповнену в пор?внянн? ?з звичайною неск?нченно в?ддаленою точкою : ${\displaystyle z=\infty }$. При такому п?дход? посл?довн?сть, що необмежено зроста? (за модулем), вважа?ться зб?жною до неск?нченно в?ддалено? точки. Алгебричн? операц?? з неск?нченн?стю не виконуються, хоча к?лька алгебричних сп?вв?дношень мають м?сце:

• ${\displaystyle {\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )}$
• ${\displaystyle z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)}$

${\displaystyle \varepsilon }$-околом неск?нченно в?ддалено? точки вважа?ться множина точок ${\displaystyle z}$, модуль яких б?льший, н?ж ${\displaystyle {\dfrac {1}{\varepsilon }}}$, тобто зовн?шня частина ${\displaystyle {\dfrac {1}{\varepsilon }}}$-околу початку координат.

Пох?дна для комплексно? функц?? одного аргументу ${\displaystyle w=f(z)}$ визнача?ться так само, як ? для д?йсно? ^[3] :

${\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {df}{dz}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}}$

(тут ${\displaystyle h}$ ? комплексне число). Якщо ця границя ?сну?, функц?я назива?ться диференц?йовною або голоморфною . При цьому

${\displaystyle f(z+h)-f(z)={\frac {df}{dz}}\cdot h+o(h).}$

Сл?д враховувати одну важливу особлив?сть: оск?льки комплексна функц?я задана на площин?, ?снування наведено? границ? означа?, що вона однакова при наближенн? до ${\displaystyle z}$ з будь-якого боку. Цей факт наклада? сутт?в? обмеження на вигляд функц?й-компонент ${\displaystyle u,\;v}$ ? визнача? ?х жорсткий вза?мозв'язок ( умови Кош? ? Р?мана , вони ж умови Ейлера ? Даламбера):

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

Зв?дси виплива?, що диференц?йовност? компонент ${\displaystyle u}$ ? ${\displaystyle v}$ недостатньо для диференц?йовност? само? функц??.

Б?льше того, мають м?сце так? властивост?, що в?др?зняють комплексний анал?з в?д д?йсного:

• Кожна диференц?йовна в деякому окол? точки ${\displaystyle z}$ комплексна функц?я диференц?йовна необмежену к?льк?сть раз?в ? анал?тична , тобто ?? ряд Тейлора зб?га?ться до дано? функц?? у вс?х точках цього околу (в л?тератур? поряд з терм?ном анал?тична функц?я використовуються його синон?ми ≪голоморфна функц?я≫ , ≪регулярна функц?я≫ ).
• ( Теорема Л?ув?ля ): якщо функц?я диференц?йовна на вс?й комплексн?й площин? ? не ? константою, то ?? модуль не може бути обмежений.
• Обидв? компоненти комплексно? диференц?йовано? функц?? ? гармон?йними функц?ями , тобто задовольняють р?внянню Лапласа :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0;\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.}$

• Будь-яка гармон?йна функц?я може бути як д?йсною, так ? уявною компонентою диференц?йовно? функц??. При цьому ?нша компонента визнача?ться однозначно (з умов Кош? ? Р?мана), з точн?стю до константи-доданка.

Таким чином, будь-яка диференц?йовна комплексна функц?я ? це функц?я виду ${\displaystyle u+iv}$, де ${\displaystyle u,\;v}$ ? вза?мопов'язан? гармон?йн? функц?? двох аргумент?в.

Нехай функц?? ${\displaystyle f(z)}$ ? ${\displaystyle g(z)}$ диференц?йовн? в област? ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$. Тод? ${\displaystyle f(z)\pm g(z)}$ ? ${\displaystyle f(z)\cdot g(z)}$ також диференц?йовн? в ц?й област?. Якщо ${\displaystyle g(z)}$ в област? ${\displaystyle G}$ не перетворю?ться в нуль, то ${\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}}$ буде диференц?йовною в ${\displaystyle G.}$ Композиц?я функц?й ${\displaystyle f(g(z))}$ диференц?йовна скр?зь, де вона визначена. Якщо пох?дна функц?? ${\displaystyle w=f(z)}$ в област? ${\displaystyle G}$ не перетворю?ться в нуль, то ?сну? обернена до не? функц?я ${\displaystyle z=\varphi (w)}$? вона буде диференц?йовною.

Пох?дна суми, р?зниц?, добутку, частки в?д д?лення, композиц?? функц?й та обернено? функц?? обчислю?ться за тими ж формулами, що ? в д?йсному анал?з?.

Кожна комплексна функц?я ${\displaystyle w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)}$ визнача? деяке в?дображення комплексно? площини з координатами ${\displaystyle (x,\;y)}$ на ?ншу комплексну площину з координатами ${\displaystyle (u,\;v)}$. При цьому вираз

${\displaystyle \left|{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\right|=k(h)}$

при малому ${\displaystyle h}$ геометрично можна витлумачити як коеф?ц??нт масштабування , яке викону? дане в?дображення при переход? в?д точки ${\displaystyle z}$ до точки ${\displaystyle z+h}$. ?снування меж? ${\displaystyle \lim _{h\to 0}k(h)}$, тобто модуля пох?дно? ${\displaystyle |f^{\prime }(z)|=k}$, означа?, що коеф?ц??нт масштабування однаковий в будь-якому напрямку в?д точки ${\displaystyle z}$, тобто не залежить в?д напрямку. Взагал? кажучи, коеф?ц??нт масштабування зм?ню?ться в?д точки до точки ^[4] .

Якщо коеф?ц??нт масштабування ${\displaystyle k>1}$, то в окол? точки ${\displaystyle z}$ в?дстан? м?ж точками зб?льшуються, ? коеф?ц??нт масштабування називають коеф?ц??нтом розтягування . Якщо коеф?ц??нт масштабування ${\displaystyle k<1}$, то в окол? точки ${\displaystyle z}$ в?дстан? м?ж точками зменшуються, ? коеф?ц??нт масштабування називають коеф?ц??нтом стиснення . Приклад для функц?? ${\displaystyle f(z)=z^{2}+2z-1}$: у точц? ${\displaystyle z=1}$ пох?дна дор?вню? 4, тому вс? довжини зб?льшуються в чотири рази.

Що стосу?ться аргументу пох?дно?, то в?н визнача? кут повороту гладко? криво?, що проходить через дану точку ${\displaystyle z}$. Вс? гладк? крив? при такому в?дображенн? повертаються на один ? той же кут. В?дображення, що збер?гають кути, називаються конформними ; таким чином, будь-яка диференц?йована комплексна функц?я визнача? конформне в?дображення (в т?й област?, де ?? пох?дна не перетворю?ться в нуль) ^[5] . З цим фактом пов'язане широке застосування комплексних функц?й у картограф?? та г?дродинам?ц? ^[6] .

Поняття перв?сно? комплексно? функц?? (невизначеного ?нтеграла) вводиться так само, як у д?йсному випадку. Однак аналог визначеного ?нтеграла в ?нтервал? в?д ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$ на комплексн?й площин?, взагал? кажучи, не ?сну?, оск?льки шлях в?д початково? точки до к?нцево? неоднозначний. Тому основним видом комплексного ?нтеграла ? кривол?н?йний ?нтеграл , що залежить в?д конкретного шляху. Нижче будуть вказан? умови, за виконання яких ?нтеграл не залежить в?д шляху, ? тод? ?нтеграл ≪в?д точки до точки≫ може бути визначений коректно.

Нехай р?вняння ${\displaystyle z=z(t),\;a\leqslant t\leqslant b}$ визнача? деяку кусково-гладку криву ${\displaystyle \gamma }$ у комплексн?й площин?, а функц?я ${\displaystyle f(z)}$ визначена в точках ц??? криво?. Под?лимо ?нтервал задання параметра на ${\displaystyle n}$ р?вних частин: ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b}$ розглянемо ?нтегральну суму:

${\displaystyle \sum _{1\leqslant k\leqslant n}f(z(t_{k}))(z(t_{k})-z(t_{k-1})).}$

Границя ц??? суми при необмеженому зростанн? ${\displaystyle n}$ назива?ться (комплексним) ?нтегралом по крив?й ${\displaystyle \gamma }$ в?д дано? функц?? ${\displaystyle f(z)}$; вона познача?ться:

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz.}$

Для будь-яко? функц?? ${\displaystyle f(z)}$, неперервно? вздовж ${\displaystyle \gamma }$цей ?нтеграл ?сну? ? може бути обчислений через звичайний д?йсний ?нтеграл за параметром:

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz=\int \limits _{a}^{b}\!f(z(t))z'(t)\,dt=\int \limits _{\gamma }\!(u\,dx-v\,dy)+i\int \limits _{\gamma }\!(v\,dx+u\,dy).}$

Тут ${\displaystyle u,\;v}$ ? компоненти ${\displaystyle f(z)}$. З цього подання зразу ж виплива?, що властивост? комплексного ?нтеграла аналог?чн? властивостям д?йсного кривол?н?йного ?нтеграла.

Особливий практичний ?нтерес являють ?нтеграли за (замкнутим) контуром, тобто за кусково-гладкою кривою без точок самоперетину, в як?й початкова точка зб?га?ться з к?нцевою. Контур можна обходити у двох напрямках; додатним вважа?ться напрямок, за якого обмежена контуром область розташову?ться зл?ва по ходу руху.

Якщо крива ${\displaystyle \gamma }$ утворю? замкнутий контур, вжива?ться особливе позначення ?нтеграла:

${\displaystyle \oint \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz.}$

Ма? м?сце важлива ?нтегральна теорема Кош? : для будь-яко? функц?? ${\displaystyle f(z)}$, анал?тично? в однозв'язн?й област? ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} }$ ? для будь-якого замкнутого контуру ${\displaystyle \gamma \subset A}$ ?нтеграл за ним дор?вню? нулю:

${\displaystyle \oint \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz=0}$.

Насл?док: нехай функц?я ${\displaystyle f(z)}$, анал?тична в однозв'язн?й област? ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} }$, а точки ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ з област? ${\displaystyle A}$ з'?днан? деякою криво? ${\displaystyle \gamma }$. Тод? ?нтеграл ${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f(z)\,dz}$ залежить т?льки в?д точок ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$, але не в?д вибору криво? ${\displaystyle \gamma }$, що ?х з'?дну?, так що можна позначити його ${\displaystyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}}$? ма? м?сце теорема Ньютона ? Лейбн?ца :

${\displaystyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}=F(z_{2})-F(z_{1}),}$

де ${\displaystyle F(z)}$ ? перв?сна для ${\displaystyle f(z)}$.

?сну? узагальнення ?нтегрально? теореми Кош? для багатозв'язно? област?: якщо функц?я анал?тична в замкнут?й багатозв'язн?й област? , то ?нтеграл в?д не? за зовн?шн?м контуром област? дор?вню? сум? ?нтеграл?в за вс?ма внутр?шн?ми контурами (в тому ж напрямку, що й за зовн?шн?м) ^[7] . Це узагальнення зручно застосовувати, якщо область м?стить особливу точку функц?? (див. нижче), де функц?я не анал?тична або не визначена.

?нш? потужн? ?нструменти для досл?дження комплексних ? д?йсних ?нтеграл?в:

• ?нтегральна формула Кош? та ?? насл?дки: принцип максимуму модуля , теореми про середн?
• Основна теорема про лишки

Нулем функц?? ${\displaystyle f(z)}$ назива?ться точка ${\displaystyle z_{0}}$, в як?й функц?я зверта?ться в нуль: ${\displaystyle f(z_{0})=0}$.

Теорема про нул? анал?тично? функц?? . Якщо нул? функц?? ${\displaystyle f(z)}$, анал?тично? в област? ${\displaystyle D}$, мають граничну точку всередин? ${\displaystyle D}$, то функц?я ${\displaystyle f(z)}$ усюди в ${\displaystyle D}$ дор?вню? нулю.

Насл?док: якщо функц?я ${\displaystyle f(z)}$ анал?тична в област? ${\displaystyle D}$ ? не дор?вню? тотожно нулю, то в будь-як?й обмежен?й замкнут?й п?добласт? ${\displaystyle C\subset D}$ у не? може бути лише ск?нченне число нул?в.

Теорема ?диност? анал?тично? функц?? . Нехай ${\displaystyle \{z_{n}\}}$ ? зб?жна посл?довн?сть р?зних точок област? ${\displaystyle D}$. Якщо дв? анал?тичн? функц?? ${\displaystyle f(z),g(z)}$ зб?гаються в ус?х точках ц??? посл?довност?, то вони тотожно р?вн? в ${\displaystyle D}$.

Зокрема, якщо дв? анал?тичн? функц?? зб?гаються на деяк?й кусково-гладк?й крив?й в ${\displaystyle D}$, то вони зб?гаються всюди в ${\displaystyle D}$. Це означа?, що значення анал?тично? функц?? нав?ть на невелик?й д?лянц? област? повн?стю визначають повед?нку функц?? у вс?й област? ?? визначення. Задавши анал?тичну функц?ю на крив?й (наприклад, на д?йсн?й ос?), ми однозначно визнача?мо ?? розширення (якщо воно можливе) на б?льш широку область, яке назива?ться анал?тичним продовженням початково? функц??.

Вс? стандартн? функц?? анал?зу ? многочлен , дробово-л?н?йна функц?я , степенева функц?я , експонента , тригонометричн? функц?? , обернен? тригонометричн? функц?? , логарифм  ? допускають анал?тичне продовження на комплексну площину. При цьому для ?х анал?тичних продовжень будуть мати м?сце т? ж алгебра?чн?, диференц?альн? та ?нш? тотожност?, що й для д?йсного ориг?налу, наприклад:

${\displaystyle \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}}$

Визначення суми числового ряду та ознаки зб?жност? в комплексному анал?з? практично так? ж, як у д?йсному, з зам?ною абсолютно? величини комплексним модулем; виняток становлять ознаки зб?жност?, в яких в?дбува?ться пор?вняння на б?льше-менше самих елемент?в ряду, а не ?хн?х модул?в.

Кожна диференц?йовна в точц? ${\displaystyle z_{0}}$ функц?я розклада?ться в окол? ц??? точки в степеневий ряд Тейлора :

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$

Коеф?ц??нти ряду обчислюються за звичайними формулами. Цей ряд зб?га?ться до функц?? ${\displaystyle f(z)}$ у певному кол? рад?уса ${\displaystyle R}$ з центром у точц? ${\displaystyle z_{0}}$, яке служить аналогом ?нтервалу зб?жност? д?йсного ряду. У цьому кол? ряд абсолютно зб?га?ться, а поза ним ? розб?га?ться. При цьому можлив? 3 випадки.

1. Ряд зб?га?ться в кол? ск?нченного ? ненульового рад?уса.
2. Ряд зб?га?ться у вс?й комплексн?й площин?, тобто ${\displaystyle R=\infty }$. Так? функц?? називають ц?лими .
3. Ряд зб?га?ться лише в точц? ${\displaystyle z_{0}}$. Приклад: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!(z-z_{0})^{n}}$. Так? точки ${\displaystyle z_{0}}$ називаються особливими для функц?? ${\displaystyle f(z).}$ Неособлив? точки називаються правильними . Внутр?шн?сть круга зб?жност? склада?ться з правильних точок.

Межа кола зб?жност? м?стить хоча б одну особливу точку. Зв?дси виплива?, що рад?ус кола зб?жност? в точц? ${\displaystyle z_{0}}$ дор?вню? в?дстан? в?д ${\displaystyle z_{0}}$ до найближчо? до не? особливо? точки.

Теорема Абеля : якщо ${\displaystyle R}$ ? рад?ус кола зб?жност? степеневого ряду, то в будь-якому кол? з тим самим центром, але меншого рад?уса, ряд зб?га?ться р?вном?рно .

Явля? великий практичний ?нтерес досл?дження повед?нки функц?? поблизу ?зольовано? особливо? точки , тобто точки, навколо яко? функц?я анал?тична, але в сам?й точц? або не анал?тична, або не визначена. Степеневий ряд тут марний, тому вводиться загальний ряд Лорана :

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{-n}}{(z-z_{0})^{n}}}}$

Якщо область зб?жност? ряду Лорана не порожня, вона явля? собою кругове к?льце : ${\displaystyle r<|z-z_{0}|<R}$.

Основна теорема : якщо функц?я ${\displaystyle f(z)}$ анал?тична в круговому к?льц?, то вона може бути подана в цьому к?льц? зб?жним рядом Лорана, причому однозначно.

Як ? для степеневого ряду, меж? к?льця зб?жност? визначаються розпод?лом особливих точок функц??. За виглядом ряду Лорана можна зробити деяк? висновки про повед?нку функц?? поблизу точки ${\displaystyle z_{0}}$.

1. Усувна особлива точка : якщо ряд Лорана не м?стить елемент?в з в?д'?мними степенями ${\displaystyle z-z_{0}}$. Тод? це просто степеневий ряд, що визнача? функц?ю в певному кол?, що оточу? ${\displaystyle z_{0}}$. Сума ряду в цьому кол? ск?нченна ? може в?др?знятись в?д ${\displaystyle f(z)}$ т?льки в точц? ${\displaystyle z_{0}}$, тому досить перевизначити ${\displaystyle f(z_{0})}$, щоб функц?я стала анал?тичною у всьому кол?. Ма? м?сце така ознака: якщо функц?я поблизу ${\displaystyle z_{0}}$ анал?тична ? обмежена, то ${\displaystyle z_{0}}$ ? усувна особлива точка.
2. Полюс : якщо ряд Лорана м?стить ск?нченне число елемент?в з в?д'?мними степенями ${\displaystyle z-z_{0}}$. У цьому випадку функц?я в точц? ${\displaystyle z_{0}}$ неск?нченна (за модулем).
3. Сутт?во особлива точка : якщо ряд Лорана м?стить неск?нченне число елемент?в з в?д'?мними степенями ${\displaystyle z-z_{0}}$. У цьому випадку функц?я в точц? ${\displaystyle z_{0}}$ не може бути коректно визначена так, щоб бути неперервною.

За допомогою теор?? лишк?в , що ? частиною ТФКЗ, обчислюються багато складних ?нтеграл?в за замкнутими контурами.

Засобами комплексного анал?зу пояснюються деяк? моменти, як? не п?ддаються простий ?нтерпретац?? в терм?нах речового анал?зу. Наведемо класичний приклад: функц?я

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

неперервна ? неск?нченно диференц?йовна на вс?й д?йсн?й прям?й. Розглянемо ?? ряд Тейлора

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots }$

Цей ряд зб?га?ться т?льки в ?нтервал? ${\displaystyle (-1;\;1)}$ хоча точки ${\displaystyle \pm 1}$ не ? якимись особливими для ${\displaystyle f(x)}$.

Положення проясню?ться при переход? до функц?? комплексно? зм?нно? ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$, у як?й виявляються дв? особлив? точки: ${\displaystyle \pm i}$. В?дпов?дно, цю функц?ю можна розкласти в ряд Тейлора т?льки в кол? ${\displaystyle \Delta =\{z\colon |z|<1\}}$.

• Долженко ?. П. , ?рмаков А. ?. Теор?я функц?? комплексно? зм?нно? та деяк? ?? застосування: Навчальний пос?бник. ? Луганськ: Вид-во СНУ ?м. В. Даля, 2003.
• Комплексний анал?з: П?друч. / А. А. Гольдберг, М. М. Шеремета, М. В. Заболоцький, О. Б. Скаск?в; Льв?в. нац. ун-т ?м. ?.Франка. ? Л. : Аф?ша, 2002. ? 204 c.
• Комплексний анал?з ? теч?? з в?льними границями / [в?дп. ред.: Ю. Б. Зел?нський , О. С. Лимарченко]. ? Ки?в: ?М НАН Укра?ни, 2010. ? 442 с. ? (Зб. праць / ?н-т математики НАН Укра?ни / голов. ред. А. М. Самойленко ; т. 7 ; № 2). ? Текст парал. укр., англ.
• Комплексний анал?з, теор?я потенц?алу ? застосування / [в?дп. ред.: Ю. Б. Зел?нський, С. А. Плакса]. ? Ки?в: ?М НАН Укра?ни, 2013. ? 574 с. ? (Зб. праць / ?н-т математики НАН Укра?ни / голов. ред. А. М. Самойленко ; т. 10 ; № 4-5). ? Текст парал. укр., англ.
• Лавренть?в М. О. Методы теории функций комплексного переменного. ? Москва: Физматгиз, 1973. (рос.)
• Швець В. Т. Вища математика: теор?я функц?й комплексно? зм?нно?. ? Одеса: ВМВ. ? 2014, 236 с.

• Комплексне число
• Анал?тична функц?я
• Лишок
• Голоморфна функц?я
• Кватерн?онний анал?з ^[ru]
• Багатовим?рний комплексний анал?з ^[ru]
• Моногенна функц?я ^[ru]
• Метод контурного ?нтегрування