Границя  ? одне з основних понять математики , яке означа?, що деякий об'?кт, зм?нюючись, неск?нченно наближа?ться до певного сталого значення. Точний зм?ст отриму? лише при наявност? коректного визначення поняття близькост? м?ж елементами ( точками ) множини , в як?й вказана величина набува? значення.

Основн? поняття математичного анал?зу  ? неперервн?сть , пох?дна , ?нтеграл  ? визначають через границю.

Стале число ${\displaystyle a}$ називають границею посл?довност? ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, якщо для кожного додатного числа ${\displaystyle \varepsilon }$, ск?льки б малим воно не було, ?сну? такий номер ${\displaystyle N}$, що вс? значення ${\displaystyle x_{n}}$, в яких номер ${\displaystyle n>N}$, задовольняють нер?вн?сть

${\displaystyle |x_{n}-a|<\varepsilon }$

Той факт, що ${\displaystyle a}$ ? границею посл?довност?, позначають так: ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a}$ або просто ${\displaystyle \lim x=a}$ чи ${\displaystyle x_{n}\rightarrow a,n\rightarrow \infty }$. Номер ${\displaystyle N}$ залежить в?д вибору числа ${\displaystyle \varepsilon }$. При зменшенн? ${\displaystyle \varepsilon }$ число ${\displaystyle N}$ буде зб?льшуватись. Тобто, чим б?льш близьк? члени ${\displaystyle x_{n}}$ посл?довност? до ${\displaystyle a}$ вимагати, тим б?льш? значення ?х ?ндекс?в.

Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, причому ${\displaystyle A\neq \emptyset }$, ? ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$. У подальшому будемо розглядати функц?? ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$.

Число ${\displaystyle a}$ назива?ться границею функц?? ${\displaystyle f}$ в точц?   ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для кожного додатного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ ?сну? додатне число ${\displaystyle \delta }$ таке, що для дов?льного ${\displaystyle x\in A\cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\setminus \{x_{0}\}}$ викону?ться нер?вн?сть ${\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon .}$

Позначення:

${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}}$

або

${\displaystyle f(x)\to a}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$.

П?д ${\displaystyle \varepsilon }$ ? ${\displaystyle \delta }$ можна розум?ти як ≪похибку≫ та ≪в?дстань≫ в?дпов?дно. У цих позначеннях похибка ${\displaystyle \varepsilon }$ обчислення значення границ? зменшу?ться при зменшенн? в?дстан? ${\displaystyle \delta }$ до гранично? точки.

Число ${\displaystyle p}$ назива?ться границею функц?? ${\displaystyle f}$ в точц?   ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для дов?льно? посл?довност? ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A}$, ${\displaystyle x_{n}\neq x_{0}}$ при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, що зб?га?ться до числа ${\displaystyle x_{0}}$, в?дпов?дна посл?довн?сть значень функц?? ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ зб?жна ? ма? границею одне ? теж саме число  ${\displaystyle p}$.

Наприклад,

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}}$.

Як видно f (1) не визначено, але коли x наближа?ться до 1, то f ( x ) в?дпов?дно наближа?ться до 2:

Таким чином, f ( x ) можна зробити як завгодно близьким до границ? 2, просто зробивши x досить близьким до 1. Тобто

${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}$

Це також можна обчислити алгебра?чно як ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$ для вс?х д?йсних чисел x ≠ 1 .

Оск?льки x + 1 визначене при , то можна п?дставити 1 зам?сть x , що приведе до р?вност?

${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}$

На додаток до границь з? ск?нченними значеннями, функц?? також можуть мати границ? в неск?нченност?. Наприклад, розглянемо функц?ю

${\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x}}}$,

для яко?

• f (100) = 1.9900
• f (1000) = 1.9990
• f (10000) = 1.9999

Коли x ста? надзвичайно великим, значення f ( x ) наближа?ться до 2, а значення f ( x ) можна наблизити до 2, зробивши x достатньо великим. Отже, у цьому випадку границя f ( x ) при x , що пряму? до плюс неск?нченност?, дор?вню? 2, або в математичному запис?

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.}$

Границю ?нод? може бути важко обчислити. ?снують граничн? вирази, модуль зб?жност? ^[en] яких нерозв’язний . У теор?? обчислюваност? гранична лема ^[en] показу?, що нерозв’язн? задач? можна кодувати, використовуючи границ?. ^[1]

• Границя функц?? в точц?
  • Одностороння границя : будь-яка з двох границь функц?? д?йсно? зм?нно? x , коли x пряму? до точки зл?ва або справа
  • Список границь : список границь поширених функц?й
  • Стискна теорема : знаходить границю функц?? шляхом пор?вняння ?? з двома ?ншими функц?ями
• Верхня ? нижня границ?
• Швидк?сть зб?жност?
• Асимптотичний анал?з : метод опису гранично? повед?нки
  • Нотац?я Ландау : використову?ться для опису гранично? повед?нки функц??, коли аргумент пряму? до певного значення або неск?нченност?
• Фундаментальна посл?довн?сть
  • Повний метричний прост?р
• Р?вном?рна зб?жн?сть
• Зб?жн?сть майже всюди
• Зб?жн?сть за м?рою
• Зб?жн?сть випадкових величин
• Границя в теор?? категор?й
  • ?ндуктивна границя
  • Про?ктивна границя
• Межа (значення)

• Бурбак? Н. Загальна тополог?я: Основн? структури . ? 3-е. ? М. : Наука, 1968. ? С. 276. ? ( Елементи математики ) (рос.)
• Григор?й Михайлович Ф?хтенгольц . Курс диференц?ального та ?нтегрального числення . ? 2024. ? 2100+ с. (укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний анал?з. Частина 1 . ? К.  : Либ?дь , 1993. ? 320 с. ? ISBN 5-325-00380-1 . (укр.)