Вибран? статт? ?з
Числення
Фундаментальна теорема Границя функц?? Неперервн?сть Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функц?ю
Диференц?альне Визначення Пох?дна  ( Таблиця пох?дних ) Диференц?ал Поняття Нотац?я Друга пох?дна Третя пох?дна П?дстановка зм?нних Неявна функц?я Теорема Тейлора Правила та тотожност? Сума Добуток Частка [en] Степ?нь [en] Складена функц?я Обернена функц?я Формула Фаа д? Бруно
?нтегральне Таблиця ?нтеграл?в Визначення Перв?сна ?нтеграл  ( невласний Р?мана Лебега Ст?лть?са Дан?елла ) ?нтегрування частинами дисками [en] Методи ?нтегрування
Ряд?в Геометричн?  ( Арифметично-геометричн? [en] ) Гармон?чн? Знакоперем?жн? Степенев? Б?ном?альн? Тейлора Ознаки зб?жност? Л?м?т сумування д'Аламбера Радикальна ?нтегральна Теорема Лейбн?ца Д?р?хле Абеля
Вектор?в Град??нт Дивергенц?я Ротор Оператор Лапласа Пох?дна за напрямком Формули Теореми Град??нтна Гр?на Остроградського Стокса
Багатьох зм?нних Формал?зми Матриц? [en] Тензорний Зовн?шня пох?дна Визначення Часткова пох?дна Багатократний ?нтеграл Кривол?н?йний ?нтеграл Поверхневий ?нтеграл Якоб?ан Матриця Гессе
Спец?ал?зоване Дробове Стохастичне Вар?ац?йне
?нше ?стор?я Математичний анал?з Нестандартний анал?з
п о р

Вар?ац??йне чи?слення  ? це розд?л функц?онального анал?зу , який займа?ться диференц?юванням функц?онал?в .

Прим?тка: функц?онали можна також ?нтегрувати по простору функц?й. Цю операц?ю вперше застосував американський ф?зик Р?чард Фейнман , вв?вши поняття ?нтеграла функц?онала по тра?ктор?ях . Цей ?нтеграл виявля?ться зб?жним за умови, що п?д?нтегральний функц?онал досить швидко пряму? до нуля, коли осциляц?? аргументно? функц?? наростають.

Практичн? задач?, для яких потр?бне диференц?ювання функц?онал?в [ ред. | ред. код ]

Найважлив?шим для практики ? функц?онал вигляду:

${\displaystyle (1)\qquad S=S(x)=\int _{a}^{b}L(x,{\dot {x}})dt}$

для випадку функц?? скалярного аргументу ( ${\displaystyle x=x(t)}$), ?

${\displaystyle (2)\qquad S=\int L(x^{i},{\partial x^{i} \over \partial u^{j}})du^{1}du^{2}...du^{n}}$

для випадку вектор-функц?? к?лькох координат ( ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(u^{1},u^{2},...u^{n})}$).

До цих двох функц?онал?в приводять по-перше, задач? на м?н?мум/максимум в ф?зиц?, диференц?альн?й геометр?? , теор?? оптимального управл?ння . А по-друге, можлив?сть виводу р?внянь ф?зики ?з р?вност? нулю вар?ац?? функц?онала д??.

Зокрема, саме вар?ац?йне числення почалося ?з задач? про брах?строхрону ( криву л?н?ю , рухаючись по як?й без тертя матер?альна точка п?д д??ю сили тяж?ння найшвидше досягне ф?ксовано? ф?н?шно? точки). Якщо вибрати систему координат , направивши в?сь ${\displaystyle Oy}$ вертикально вниз, то швидк?сть матер?льно? точки буде ${\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}$, а час спуску по крив?й да?ться ?нтегралом:

${\displaystyle (3)\qquad T=\int {ds \over {\sqrt {2gy}}}=\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {1+y'^{2} \over 2gy}}dx}$

В задач? треба знайти таку функц?ю ${\displaystyle y=y(x)}$, заф?ксовану на к?нцях: ${\displaystyle y(0)=0}$, ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$, щоб даний ?нтеграл був м?н?мальним. Очевидно, що ?нтеграл (3) з точн?стю до зам?ни позначень зб?га?ться з функц?оналом (1). У диференц?альн?й геометр?? пошук геодезично? л?н?? (найкоротшо? л?н??, що з'?дну? дв? точки многовиду) приводить до функц?онала (1), де

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\sqrt {g_{ij}(x){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}}$

А пошук м?н?мальних многовид?в , натягнутих на ≪рамку≫, приводить до функц?онала виду (2).

Терм?нолог?я ? позначення [ ред. | ред. код ]

Функц?онал ? функц??ю, областю визначення яко? (аргументом) ? множина функц?й, а множиною значень  ? д?йсн? (чи комплексн? числа ). Очевидно, що якби не вводити спец?ального терм?ну ≪функц?онал≫, то була б терм?нолог?чна плутанина при м?ркуваннях про аргумент ? значення функц?оналу. Це ж зауваження стосу?ться ? диференц?ювання, адже аргумент функц?онала також можна диференц?ювати. Тому при розгляд? функц?онал?в малий прир?ст аргумента (?, в?дпов?дно, функц?онала) називають вар?ац??ю , ? позначають малою грецькою буквою ${\displaystyle \ \delta }$:

${\displaystyle \ \delta S=S(x+\delta x)-S(x)}$

Вар?ац?я ? аналогом поняття диференц?ала звичайних функц?й. Можна соб? уявляти вар?ац?ю ${\displaystyle \delta x}$, як функц?ю що ма? дуже малий розмах (≪ампл?туду≫), ? перетворю?ться на нуль на меж? област? ?нтегрування(тобто для функц?онала (1) ${\displaystyle \delta x|_{a}=\delta x|_{b}=0}$). В усьому ?ншому ця функц?я ма? дов?льну форму, що можна записати так: ${\displaystyle \delta x(t)=\varepsilon f(t)}$, де ${\displaystyle \varepsilon }$ ? неск?нченно мале додатне число .

Перша пох?дна функц?онала (р?вняння Ейлера-Лагранжа) [ ред. | ред. код ]

Обчислення вар?ац?й для функц?онал?в (1) ? (2) аналог?чне. Почнемо з прост?шого функц?онала (1). Ма?мо:

${\displaystyle (4)\qquad \delta S=\int _{a}^{b}\delta Ldt=\int _{a}^{b}\left({\partial L \over \partial x}\delta x+{\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}\delta {\dot {x}}\right)dt}$

В останньому доданку (в п?д?нтегральн?й функц??) ми можемо переставити взяття вар?ац?? ${\displaystyle \delta }$ ? взяття пох?дно? по ${\displaystyle d \over dt}$ для аргументно? функц?? ( ${\displaystyle {\tilde {x}}=x+\delta x}$):

${\displaystyle \delta {\dot {x}}={\dot {\tilde {x}}}-{\dot {x}}={d \over dt}({\tilde {x}}-x)={d \over dt}{\delta x}}$

Тепер ми можемо про?нтегрувати останн?й доданок в (4) частинами:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}{d\delta x \over dt}dt=\left({\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}\delta x\right)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\left({d \over dt}{\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}\right)\delta xdt}$

Оск?льки на к?нцях ?нтервала ?нтегрування вар?ац?я функц?? перетворю?ться в нуль ( ${\displaystyle \delta x=0}$ при ${\displaystyle t=a}$ ? при ${\displaystyle t=b}$), то для вар?ац?? функц?онала (4) ма?мо остаточно:

${\displaystyle (5)\qquad \delta S=\int _{a}^{b}\left({\partial L \over \partial x}-{d \over dt}{\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}\right)\delta xdt}$

Тепер ми можемо дати в?дпов?дь на питання: за яких умов вар?ац?я функц?онала (5) дор?вню? нулю. Оск?льки вар?ац?я ${\displaystyle \delta x}$ ? дов?льною функц??ю, ми можемо вибрати дов?льну точку ${\displaystyle t_{0}\in ]a,b[}$ всередин? област? ?нтегрування, а функц?ю ${\displaystyle \delta x=\delta x(t)}$ взяти такою, що вона додатня в малому окол? точки ${\displaystyle t_{0}}$, а в ус?х точках за межами цього околу ? перетворю?ться в нуль. Якщо вираз в дужках п?д ?нтегралом (5) буде в?дм?нним в?д нуля в точц? ${\displaystyle t_{0}}$, ? мало зм?нюватись у вибраному малому окол? (фактично вважатися константою в пор?внянн? з? швидк?стю зм?ни вар?ац?? ${\displaystyle \delta x(t)}$, яку ми можемо винести за знак ?нтеграла), то ?нтеграл (5) також буде в?дм?нним в?д нуля. Отже, щоб при будь-як?й вар?ац?? ${\displaystyle \delta x(t)}$ ми мали нульову вар?ац?ю функц?онала (5), треба щоб виконувалося р?вняння Ейлера-Лагранжа:

${\displaystyle (6)\qquad {\partial L \over \partial x}-{d \over dt}{\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}=0}$

Формула (6) легко поширю?ться на випадок (який в практичних задачах майже не зустр?ча?ться), коли функц?я Лагранжа ${\displaystyle L}$ залежить також в?д старших пох?дних аргументно? функц?? ${\displaystyle x(t)}$; ${\displaystyle L=L(x,{\dot {x}},{\ddot {x}},...)}$:

${\displaystyle {\partial L \over \partial x}-{d \over dt}{\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}+{d^{2} \over dt^{2}}{\partial L \over {\partial {\ddot {x}}}}-...=0}$

Формула (6) буде аналог?чною ? у випадку коли функц?онал залежить в?д вектор-функц?? скалярного аргумента ${\displaystyle \mathbf {x} (t)={x^{i}(t)}}$:

${\displaystyle (7)\qquad {d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}^{i}}={\partial L \over \partial x^{i}}}$

Тепер можна розглянути також ? диференц?ювання функц?онала (2). Обчислення виявляються аналог?чними, але при ?нтегруванн? частинами треба скористатися формулою Остроградського-Гауса , яка переводить ?нтеграл в?д дивегренц?? по об'?му в ?нтеграл по г?перповерхн? , що обмежу? цей об'?м (тут по однакових ?ндексах проводиться додавання зг?дно з правилом Ейнштейна):

${\displaystyle \int _{V}{\partial a^{i} \over \partial u^{i}}d\tau =\int _{S}a^{i}n_{i}d\sigma }$

Ма?мо (позначивши для короткост? елемент об'?му ${\displaystyle d\tau =du^{1}du^{2}...du^{n}}$):

${\displaystyle \delta S=\int ({\partial L \over \partial x^{i}}\delta x^{i}+{\partial L \over \partial ({\partial x^{i} \over \partial u^{j}})}\delta ({\partial x^{i} \over \partial u^{j}}))d\tau }$

Другий доданок ?нтегру?мо частинами, попередньо вид?ливши дивергенц?ю (першим доданком):

${\displaystyle {\partial L \over \partial ({\partial x^{i} \over \partial u^{j}})}\delta ({\partial x^{i} \over \partial u^{j}}))={\partial \over u^{j}}({{\partial L \over \partial ({\partial x^{i} \over \partial u^{j}})}\delta x^{i}})-({\partial \over \partial u^{j}}{\partial L \over \partial ({\partial x^{i} \over \partial u^{j}})})\delta x^{i}}$

?нтеграл в?д першого доданка перетворю?ться в ?нтеграл по поверхн?, зг?дно з формулою Остроградського-Гауса. В?н дор?внюватиме нулю, оск?льки вар?ац?я ${\displaystyle \delta x^{i}(u)}$ на меж? ?нтегрування перетворю?ться в нуль. Таким чином, ма?мо формулу першо? вар?ац??:

${\displaystyle (8)\qquad \delta S=\int ({\partial L \over \partial x^{i}}-{\partial \over \partial u^{j}}{\partial L \over {\partial ({\partial x^{i} \over \partial u^{j}})}})\delta x^{i}d\tau }$

? в?дпов?дне р?вняння Ейлера-Лагранжа:

${\displaystyle (9)\qquad {\partial L \over \partial x^{i}}-{\partial \over \partial u^{j}}{\partial L \over {\partial ({\partial x^{i} \over \partial u^{j}})}}=0}$

Друга пох?дна функц?онала [ ред. | ред. код ]

Функц?онал в окол? ф?ксовано? аргументно? функц?? можна розкласти в ряд Тейлора по степенях малост? вар?ац?? ${\displaystyle \delta x}$:

${\displaystyle (10)\qquad {\tilde {S}}=S(x+\delta x)=S+{1 \over 1!}\delta S+{1 \over 2!}\delta ^{2}S+...}$

Очевидно, що в локальному м?н?мум? функц?онала перша вар?ац?я вар?ац?я дор?вню? нулев?, а друга повинна бути додатньо-визначеною квадратичною формою в?д вар?ац?? аргумента ${\displaystyle \delta x}$ (? в?д'?мно визначеною в точц? локального максимума). Розглянемо випадок функц?онала в?д вектор-функц?? скалярного аргумента ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t)}$, введемо позначення швидкостей ${\displaystyle v^{i}={\dot {x}}^{i}}$. Тод? функц?я Лагранжа ${\displaystyle L}$ розклада?ться в ряд Тейлора (пох?дн? ${\displaystyle L}$ по аргументах позначатимемо ?ндексами внизу):

${\displaystyle {\tilde {L}}=L+{1 \over 1!}(L_{x^{i}}\delta x^{i}+L_{v^{i}}\delta v^{i})+{1 \over 2!}(L_{x^{i}x^{j}}\delta x^{i}\delta x^{j}+2L_{x^{i}v^{j}}\delta x^{i}\delta v^{j}+L_{v^{i}v^{j}}\delta v^{i}\delta v^{j})+...}$

Отже друга вар?ац?я функц?онала дор?вню?:

${\displaystyle (11)\qquad \delta ^{2}S=\int _{a}^{b}(L_{x^{i}x^{j}}\delta x^{i}\delta x^{j}+2L_{x^{i}v^{j}}\delta x^{i}\delta v^{j}+L_{v^{i}v^{j}}\delta v^{i}\delta v^{j})dt}$

Вар?ац?йний п?дх?д до розв'язку операторних р?внянь [ ред. | ред. код ]

Нехай ма?мо операторне р?вняння ${\displaystyle Au=b}$.

Де оператор А д?? з г?льбертового простору H в H ? ? л?н?йним, неперервним ? самоспряженим .

Розглянемо функц?онал : ${\displaystyle J(u)={\frac {1}{2}}(Au,u)-(b,u)}$.

Знайдемо його град??нт ${\displaystyle J'(u)}$.

Означення 1. Л?н?йний, неперервний функц?онал J(u) назива?ться град??нтом функц?оналу J(u) в точц? x, якщо ${\displaystyle \Delta J(u)=J(x+\Delta x)-J(x)=<J'(x),\Delta x>+o(\parallel \Delta x\parallel )}$. Де через ${\displaystyle <J'(x),\Delta x>}$ позначено д?ю функц?оналу J'(x) на елемент? ${\displaystyle \Delta x}$.

Отже: ${\displaystyle \Delta J=({\frac {(A+A^{*})u}{2}}-b,\Delta u)+{\frac {1}{2}}(A\Delta u,\Delta u)}$.

З нер?вност? Кощ?-Буняковського ? обмеженост? (неперервност?) оператора A ма?мо:

${\displaystyle |{\frac {1}{2}}(A\Delta u,\Delta u)|\leq {\frac {1}{2}}\parallel A\Delta u\parallel \cdot \parallel \Delta u\parallel \leq {\frac {\parallel A\parallel }{2}}\parallel \Delta u\parallel ^{2}=C\parallel \Delta u\parallel ^{2}=o(\parallel \Delta u\parallel )}$.

Отже, J'(u)=Au ? b - град??нт нашого функц?оналу.

Тепер в?дзначимо важливу р?ч: якщо наш функц?онал J(u) в деяк?й точц? x прийма? екстремальне значення ( м?н?мум , максимум ), то град??нт в ц?й точц? р?вний нулю (це необх?дна умова екстремуму). А це означа?, що x буде задовольняти J'(x) = 0 = Ax ? b . А отже буде розв'язком р?вняння Au ? b = 0. Таким чином, вдалося операторне р?вняння звести до пошуку екстремальних точок функц?оналу J(u). Це ? ? вар?ац?йний п?дх?д.

Якщо тепер припустити, що оператор A додатньо визначений, тобто ?сну? додатня стала ${\displaystyle \mu }$ така, що ${\displaystyle (Au,u)\geq \mu \parallel u\parallel ^{2}}$, то функц?онал J(u) буде сильно опуклим на H ? на всьому простор? буде досягати сво?? нижньо? меж? р?вно в одн?й точц?.

Тобто, для того щоб розв'язати операторне р?вняння нам достатньо знайти точку в як?й J(u) набува? нижньо? меж?. При припущеннях що були зроблен? така точка ?сну? ? ?дина.

Див. також [ ред. | ред. код ]

В?к?цитати м?стять висловлювання на тему: Вар?ац?йне числення

• Принцип найменшо? д??
• Механ?ка Лагранжа
• Вар?ац?йний метод

Л?тература [ ред. | ред. код ]

• Вар?ац?йне числення : навч. пос?б. для студ. ф?з. спец. ун-т?в / В. М. Адамян, М. Я. Сушко ; Одеський нац?ональний ун-т ?м. ?.?.Мечникова. - О. : Астропринт, 2005. - 128 с.: рис. - ISBN 966-318-340-3
• Вар?ац?йне числення та методи оптим?зац?? : п?дручник / О. М. П?ддубний, Ю. ?. Харкевич ; Сх?дно?вроп. нац. ун-т ?м. Лес? Укра?нки. - Луцьк : Гадяк Ж. В., 2015. - 331 с. - ISBN 978-617-7129-36-2
• Вступ до математично? ф?зики . Вар?ац?йне числення та крайов? задач? : навч. пос?б. для студент?в ф?з. та ?нж.-ф?з. спец. ВНЗ / В. М. Адамян, М. Я. Сушко ; Одес. нац. ун-т ?м. ?. ?. Мечникова. - Одеса  : Астропринт, 2014. - 376 с. : рис. - ISBN 978-966-190-912-9
• Диференц?альн? р?вняння, вар?ац?йне числення та ?х застосування : навч. пос?б. / [Ф.Г. Гаращенко, В.Т. Матв??нко, В.В. П?чкур, ?.?. Харченко]. ? К. : Ки?вський ун-т, 2015. ? 271 с.
• Класичн? та сучасн? методи вар?ац?йного числення : навч. пос?б. для студ. вищ. навч. закл. / Г. ?. Кошовий, В. М. Павленко, Б. Л. Гол?нський ; ?н-т ?нновац. технолог?й ? зм?сту осв?ти, Нац. аерокосм. ун-т ?м. М. ?. Жуковського "Харк. ав?ац. ?н-т". - Х. : ХА?, 2011. - 303 с. : рис. - ISBN 978-966-662-246-7
• Математичне програмування та елементи вар?ац?йного числення : навч.-метод. пос?б. / Ф. Г. Ващук, О. Г. Лавер, Н. Я. Шумило ; Ужгород. держ. ?н-т ?нформатики, економ?ки ? права. - Ужгород, 2001. - 169, [1] с. : рис., табл. - ISBN 966-7186-55-5
• Моклячук М. П. Вар?ац?йне числення. Екстремальн? задач? . ? К.  : ВПЦ "Ки?вський ун?верситет", 2010. ? 399 с.
• Основи вар?ац?йного числення : навч. пос?б. для студ. вищих навч. закл., як? навч. за напрямом п?дгот. "Механ?ка" / Е. Л. Гарт ; Дн?пропетровський нац?ональний ун-т ?м. Олеся Гончара. - Д., 2009. - 176 с.: рис. - ISBN 978-966-551-287-5
• Перестюк М. О. , Станжицький О. М., Капустян О. В., Ловейк?н Ю. В. Вар?ац?йне числення та методи оптим?зац?? . ? К.  : ВПЦ "Ки?вський ун?верситет", 2010. ? 144 с.
• Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. ? М.  : ГИТТЛ, 1955. ? 248 с.
• Гельфанд И. М. , Фомин С. В. Вариационное исчисление. ? М.  : ГИФМЛ, 1961. ? 228 с.
• Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. ? М.  : ИЛ, 1953. ? 310 с.
• Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. ? М.  : ГИТТЛ, 1951. ? Т. 1. ? 476 с.
• Морс М. Вариационное исчисление в целом. ? Ижевск : РХД, 2010. ? 512 с.
• Clegg J. C. Calculus of Variations. ? Interscience Publishers Inc, 1968.
• Forsyth A. R. Calculus of Variations. ? Dover, 1960.
• Fox C. An Introduction to the Calculus of Variations. ? Dover, 1987.
• Jost J., Li-Jost X. Calculus of Variations. ? Cambridge University Press, 1998.
• Lebedev L. P., Cloud M. J. The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics. ? World Scientific, 2003.
• Sagan H. Introduction to the Calculus of Variations. ? Dover, 1992.
• Weinstock R. Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering. ? Dover, 1974.

Посилання [ ред. | ред. код ]

• Johan Bystrom, Lars-Erik Persson, and Fredrik Stromberg, Chapter III: Introduction to the calculus of variations (undated).
• Calculus of variations example problems.
• Chapter 8: Calculus of Variations , from Optimization for Engineering Systems , by Ralph W. Pike, Louisiana State University