Варт?сть грошей у час?  ? базова концепц?я ф?нансово? математики , метод пор?вняння двох чи б?льше грошових величин з р?зних момент?в часу. Ця концепц?я використову?ться у т?й чи ?нш?й форм? в б?льшост? ф?нансових розрахунк?в, нп., при обчисленн? в?дсотк?в з депозиту , розрахунку кредитних платеж?в , обчисленн? вартост? ц?нних папер?в та ?н. Концепц?я базу?ться на спостереженн?, що одна гривня (чи ?нша грошова одиниця ) сьогодн? варту? б?льше н?ж одна гривня за р?к. Залежно в?д ситуац?? цей факт може бути насл?дком одн??? чи к?лькох причин:

• знец?нення грошей з приводу ?нфляц?? ,
• можлив?сть досягнення прибутку (?нвестування грошей доступних сьогодн?),
• ризик неотримання грошей у майбутньому,
• надання переваги споживанню тепер над споживанням у майбутньому чи схильн?сть до л?кв?дност? у випадку п?дпри?мницько? д?яльност?.

Незалежно в?д причин, зм?на вартост? грошей у час? опису?ться за допомогою процентно? ставки з застосуванням найчаст?ше складних в?дсотк?в . ^[1] У найпрост?шому вар?ант? метод зводиться до обчислення приведено? ^{[2] [3] [4]} та майбутньо? вартост? окремого платежу, ану?тету чи ?ншого грошового потоку . ^[5] У б?льш загальному вар?ант? ? актуал?зац?я грошово? суми в?домо? в один момент часу на будь-який ?нший момент часу в майбутньому чи минулому.

• Приведена варт?сть майбутньо? (за ${\displaystyle n}$ пер?од?в) грошово? суми ${\displaystyle FV}$ при процентн?й ставц? ${\displaystyle i}$

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {FV}{(1+i)^{n}}}}$

• Приведена варт?сть звичайного ану?тету (постнумерандо) з? сталою величиною платежу ${\displaystyle A}$

${\displaystyle PV\,=\,A\cdot {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}}}$

У випадку ану?тету пренумерандо результат треба домножити на ${\displaystyle (1+i)}$

• Приведена варт?сть дов?чного ану?тету (постнумерандо) з? сталою величиною платежу ${\displaystyle A}$

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {A}{i}}}$

• Приведена варт?сть дов?льного грошового потоку ${\displaystyle CF_{0},CF_{1},...,CF_{n}}$

${\displaystyle PV\,=\,\sum _{j=0}^{n}{\frac {CF_{j}}{(1+i)^{j}}}}$

назива?ться його чистою поточною варт?стю .

Приведена варт?сть 1000 гривень, як? повинн? бути виплачен? за р?к, при в?дсотков?й ставц? 12% становить

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {1000}{(1+0,12)}}\,=\,{\frac {1000}{1,12}}\,=\,892,86}$ гривн?.

Натом?сть, привдена варт?сть 1000 гривень, як? повинн? бути виплачен? за 3 роки, при т?й же в?дсотков?й ставц? становить

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {1000}{(1+0,12)^{3}}}\,=\,{\frac {1000}{1,40493}}\,=\,711,78}$ гривн?.

Максимальний кредит який протягом двох рок?в може сплатити особа при щом?сячних платежах 1000 гривень, р?чн?й ном?нальн?й ставц? 15% та щом?сячн?й кап?тал?зац?? ? приведеною варт?стю ану?тету. К?льк?сть платеж?в становить 24, м?сячна процентна ставка 15%/12=1,25%. Закладаючи, що перший плат?ж в?дбудеться за м?сяць п?сля надання кредиту (ану?тет постнумерандо):

${\displaystyle PV\,=\,1000\cdot {\frac {1-\left(1+0,0125\right)^{-24}}{0,0125}}\,=\,1000\cdot 20,62423\,=\,20624,23}$ гривн?.

• Майбутня варт?сть сьогодн?шньо? грошово? суми ${\displaystyle PV}$ за ${\displaystyle n}$ пер?од?в при процентн?й ставц? ${\displaystyle i}$

${\displaystyle FV\,=\,PV\cdot (1+i)^{n}}$

• Майбутня варт?сть звичайного ану?тету (постнумерандо) з? сталою величиною платежу ${\displaystyle A}$

${\displaystyle FV\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}}$

У випадку ану?тету пренумерандо результат треба домножити на ${\displaystyle (1+i)}$

• Майбутня варт?сть дов?льного грошового потоку ${\displaystyle CF_{0},CF_{1},...,CF_{n}}$

${\displaystyle FV\,=\,\sum _{j=0}^{n}CF_{j}(1+i)^{n-j}}$

Обчислення приведено? та майбутньо? базуються на умовних початковому та к?нцевому моментах анал?зу вартост? грошей. Узагальнюючи, якщо в момент ${\displaystyle t_{0}}$ в?дома сума грошей ${\displaystyle V(t_{0})}$, то варт?сть грошей в дов?льному момент? ${\displaystyle t}$ можна обчислити за формулою

${\displaystyle V(t)\,=\,V(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{0}}}$,

де ${\displaystyle r}$ ? р?чна ефективна процентна ставка . Метод абстрагу?ться в?д пер?одичност? кап?тал?зац?? в?дсотк?в, експоненц?йний р?ст вартост? ? неперервним в час?. Р?зниця ${\displaystyle t-t_{0}}$ ? це час (к?льк?сть рок?в), який минув в?д моменту ${\displaystyle t_{0}}$ до моменту ${\displaystyle t}$. Якщо ця р?зниця додатня, то актуал?заця вартост? грошей в?дбува?ться на п?зн?ший момент, а якщо в?д'?мна ? на ран?ший момент ( дисконтування ).

Якщо грошов? суми ${\displaystyle V_{1}(t_{1})}$ ? ${\displaystyle V_{2}(t_{2})}$ мають однакову варт?сть, то при ${\displaystyle t_{1}\ \neq \ t_{2}}$ в?дпов?дна процентна ставка визнача?ться за формулою

${\displaystyle r\,=\,\left({\frac {V_{2}(t_{2})}{V_{1}(t_{1})}}\right)^{\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}-1}$

Властивост?:

• Адитивн?сть: якщо в момент ${\displaystyle t_{0}}$ грошова сума склада?ться з двох частин:

${\displaystyle V(t_{0})\,=\,V_{1}(t_{0})+V_{2}(t_{0})}$,

? варт?сть обох складових зм?ню?ться за однаковою в?дсотковою ставкою ${\displaystyle r}$, то варт?сть суми зм?ню?ться за ц??ю ж в?дсотковою ставкою ?, в дов?льний момент ${\displaystyle t}$, величина ${\displaystyle V(t)}$ дор?вню? сум? величин ${\displaystyle V_{1}(t)}$ та ${\displaystyle V_{2}(t)}$.

Доведення зводиться до простого перетворення

${\displaystyle V(t)\,=\,V(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{0}}\,=\,(V_{1}(t_{0})+V_{2}(t_{0}))\cdot (1+r)^{t-t_{0}}\,=\,V_{1}(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{0}}+V_{2}(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{0}}\,=\,V_{1}(t)+V_{2}(t)}$.

• Незалежн?сть в?д моменту в?дл?ку: результат не залежить в?д того чи актуал?зац?я в?дбува?ться безпосередньо з моменту ${\displaystyle t_{0}}$ на момент ${\displaystyle t}$, чи через пром?жний пункт ${\displaystyle t_{1}}$. Це виника? з властивост? показниково? функц??:

${\displaystyle V(t_{1})\,=\,V(t_{0})\cdot (1+r)^{t_{1}-t_{0}}}$,

отже

${\displaystyle V(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{0}}\,=\,V(t_{0})\cdot (1+r)^{(t_{1}-t_{0})+(t-t_{1})}\,=\,V(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{1}}\cdot (1+r)^{t_{1}-t_{0}}\,=\,V(t_{1})\cdot (1+r)^{t-t_{1}}}$

Пор?вняння л?во? ? право? частини доводить наявн?сть властивост?.

Кредит 20 тисяч ?вро п?д 12% р?чних буде сплачено двома платежами: за п?втора року та за 2,5 року в?д моменту надання кредиту. Перший плат?ж буде р?вний 15 тисяч ?вро. Величину другого платежу можна визначити анал?зуючи зм?ну вартост? грошей в час?. Варт?сть ${\displaystyle K(t)}$ суми кредиту у будь-який момент часу ${\displaystyle t}$ повинна бути р?вна сум? вартостей платеж?в ${\displaystyle R_{1}(t)}$ та ${\displaystyle R_{2}(t)}$ у цей момент часу:

${\displaystyle K(t)\,=\,R_{1}(t)+R_{2}(t)}$.

Приймаючи момент надання кредиту за початок в?дл?ку часу та актуал?зуючи суму кредиту та перший плат?ж на момент другого платежу ${\displaystyle t=2,5}$:

${\displaystyle K(2,5)\,=\,K(0)\cdot (1+r)^{2,5-0}\,=\,20000\cdot (1+0,12)^{2,5}\,=\,26550,64}$ ?вро,

${\displaystyle R_{1}(2,5)\,=\,R_{1}(1,5)\cdot (1+r)^{2,5-1,5}\,=\,15000\cdot (1+0,12)\,=\,16800,00}$ ?вро,

отрима?мо другий плат?ж

${\displaystyle R_{2}(2,5)\,=\,K(2,5)-R_{1}(2,5)\,=\,26550,64-16800,00\,=\,9750,64}$ ?вро.

Зм?на вартост? грошей у час? з застосуванням складних в?дсотк?в з неперервною кап?тал?зац??ю ? особливо зручною в теоретичних застосуваннях як? вимагають обчислення швидкост? зм?ни, тобто, обчислення пох?дно? за часом. Якщо в?дсоткова ставка при неперервн?й кап?тал?зац?? ${\displaystyle r_{c}}$ та ефективна в?дсоткова ставка ${\displaystyle r}$ пов'язан? сп?вв?дношенням

${\displaystyle e^{r_{c}}\,=\,1+r}$,

то фомулу актуал?зац?? вартост? кап?талу можна записати у вигляд?

${\displaystyle V(t)\,=\,V(t_{0})\cdot e^{r_{c}(t-t_{0})}}$.

Наприклад,

• приведена варт?сть майбутньо? (за ${\displaystyle n}$ пер?од?в) грошово? суми ${\displaystyle FV}$

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {FV}{e^{nr_{c}}}}}$,

• майбутня варт?сть сьогодн?шньо? грошово? суми ${\displaystyle PV}$ за ${\displaystyle n}$ пер?од?в

${\displaystyle FV\,=\,PV\cdot e^{nr_{c}}}$.

Оск?льки вар?ант з неперервною кап?тал?зац??ю ? т?льки ?ншою формою запису зм?ни вартост? грошей у час?, то автоматично волод?? властивостями адитивност? та незалежност? в?д моменту в?дл?ку.