Matematikte bir do?eme (veya karolama , susleme ), aralarında bo?luk bırakmadan veya ortu?meden bir duzlemi kaplayan duzlemsel ?ekiller kumesidir. Bu kavram daha yuksek boyutlar icin de genellenebilir, bu geni?letilmi? anlamı icin do?eme yerine tesselasyon terimi kullanılır. Tesselasyon M. C. Escher 'in eserlerinde sıkca gorulebilir. Tesselasyona sanat tarihi boyunca, antik mimariden modern sanata kadar rastlanabilir.

Latince tessella , mozaik yapmakta kullanılan kup ?ekilli bir kil, ta? veya cam parcasıdır. ^[1] "Tessella" sozcu?u (kare anlamına gelen "tessera"dan gelir, onun kayna?ı da "dort" anlamına gelen Yunanca sozcuktur) kucuk kare anlamına gelir. Gundelik dilde parke , karo veya cini do?eme, bu malzemelerin tesselasyon ?eklinde yere veya duvara do?enmesidir. Do?eme sozcu?u hem bu tur duzlem kaplayıcı cisim veya ?ekillere, hem de bu cisimlerle veya ?ekillerle kaplanmı? yuzey icin kullanılır. Anlam karga?asına yol acmamak icin, a?a?ıdaki metinde, duzlemi kaplayıcı ?ekiller icin karo terimi kullanılacaktır, ama "karo"nun gundelik dildeki anlamının aksine, tessalasyon yapmakta kullanılan ?ekillerin dortgen olma ?artı yoktur.

Duvar ka?ıdı grupları [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Oteleme simetrisi olan do?emeler " duvarka?ıdı grubu " olarak kategorilendirilebilir, bunlardan 17 tane vardır. El Hamra Sarayı 'nda bu oruntu tiplerinin her birinden bulunur. Duzgun (e?kenar cokgenlerden meydana gelen) do?emelerden ikisi p6m , biri p4m kategorisine aittir.

Tesselasyon ve renkler [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Renkli bir do?emeden bahsederken, yanlı? anlamaya yol acmamak icin, renklerin do?emenin parcası mı oldu?u yoksa sadece tekrar eden birim ?ekle mi ait oldu?unun belirtilmesi gerekir. Ayrıca bakınız simetri .

Dort renk teoremi , normal bir Oklid duzlemindeki her bir do?emesi icin, e?er dort renk kullanılırsa, her bir karonun kom?ularından farklı bir renkle boyanabilece?ini onerir; bu boyamada aynı renge sahip iki karo pozitif uzunlukla bir kenar ile birbirine dokunamaz. Ancak, dort renk kuramının garantiledi?i renklendirme genelde tesselasyonun meydana getirdi?i simetriyi muhafaza etmeyebilir. Tesselasyon simetrisine uyan bir renklendirme daha fazla sayıda renk gerektirebilir, sa?daki resimdeki ornekte gorulebilece?i gibi.

Dortgenlerle tesselasyon [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Herhangi bir dortgen karonun kopyaları kullanılarak elde edilecek do?emenin belli simetri ozellikleri vardır: 1) her bir dortgen kenarının orta noktasında ikili donel simetrisi vardır, 2) dortgenlerin gosterdi?i oteleme simetrisinin taban vektorleri ya a) dortgenin ko?egenleri veya b) ko?egenlerden biri ve iki ko?egenin toplamı veya farkıdır. Asimetrik bir dortgen karo do?emesi Duvarka?ıdı grubu p2 'ye aittir. Tekrarlanan temel ?ekil olarak dortgen vardır. Buna denk bir onerme olarak, dortgenin donel merkezinden ba?lamak uzere iki oteleme vektoru arasında yer alan bir paralelogram cizebiliriz, bunu bir ko?egen ile ikiy bolup yarım ?ekillerden (ucgenlerden) birini temel ?ekil olarak alabiliriz. Bu ucgenin alanı, ba?langıctaki dortgen ile aynı lana sahiptir ve kesip yapı?tırma yoluyla in?a edilebilir.

Duzgun ve yarı-duzgun tesselasyonlar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Duzenli tesselasyon , benzer duzgun cokgenlerden olu?mu? yuksek simetrili bir tesselasyondur. Sadece uc tane duzgun tesselasyon vardır: bunlar e?kenar u?genlerden, karelerden veya altıgenlerden meydana gelen do?emelerdir.

Yarı duzgun tesselasyonlar ce?itli duzgun cokgenlerden olu?ur; bunlardan sekiz sınıf vardır. Bu cokgenlerin her bir ko?edeki yerle?imi aynıdır. Kenar-kenara tesselasyonlar daha duzensizdir: tek ?art, biti?ik ?ekillerin tek bir kenarı payla?masıdır, yani bir ?ekil bir kenarının sadece bir kısmını ba?ka bir ?ekille payla?amaz. Ba?ka tur tesselasyonlar da mevcuttur, kullanılan ?ekil ve bunların oruntusune ba?lı olarak. Duzgun olan ve olmayan, periyodik ve aperiyodik (periyodik olmayan), simetrik ve asimetrik, ayrıca fraktal tesselasyonlar vardır, bunların yanı sıra ba?ka sınıflandırmalar da sayılabilir.

?ki farklı cokgen kullanan Penrose do?emesi aperiyodik oruntuler yaratan tesselasyonların en me?hur orne?idir. Bu do?emeler, ozyineleme kullanarak kendi kendini ureten cokgen kumelerinden in?a edilen aperiyodik do?emeler sınıfına aittir.

Monohedral kaplama , tum ?ekillerin birbirine benzer oldu?u bir tesselasyondur. Spiral monohedral do?emeler arasında Hans Voderberg tarafından 1936'da ke?fedilmi? olan Voderberg do?emesi ve Michael Hirschhorn tarafından 1970'lerde ke?fedilen Hirschhorn do?emesi bulunmaktadır. Voderberg do?emesinin birim ?ekli konveks olmayan bir dokuzgen , Hirschhorn do?emesinin birim ?ekli ise duzgun olmayan bir be?gendir .

Oz-cifte? tesselasyonlar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

E?er bir ?eklin kenarları ve ko?elerinin yer de?i?tirmesi halinde gene aynı ?ekil ortaya cıkarsa (kare gibi) bu ?eklin oz-cifte? ( self dual ) oldu?u soylenebilir. Duzgun do?emeler ve petekler oz-cifte? olabilir. Schlafli sembolu ile {4,3 ^{n ?2} ,4} olarak betimlenen tum n-boyutlu hiperkubik petekler oz cifte?tir.

Tesselasyonlar ve bilgisayar modeleri [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Bilgisayar grafi?i sahasında, cokgenlerden olu?an veri kumelerinin idaresi ve onların grafik sunumu ( rendering ) icin kullanı?lı yapılara bolunmesi icin sık sık tesselasyon teknikleri kullanılır. Normalde, en azından gercek zamanlı renderingde , goruntuyu olu?turan verilerin ucgenler halinde do?emsi yapılır, bu i?leme bazen ucgenleme denir. Tesselasyon, bilgisayar grafikleme arayuzlerinden DirectX 11 ve OpenGL 'nin temel ozelli?idir. ^[2]

Bilgisayar e?likli tasarımda olu?turulan tasarım, bir sınır temsil topoloji modeli ile temsil edilir. Bunda, yuzey ve kenarlar ile sınırlandırılmı? analitik uc boyutlu yuzey ve e?riler, 3 boyutlu bir cismin kesintisiz sınırını olu?turur. Herhangi bir 3 boyutlu cisim do?rudan analiz edilemeyecek kadar karma?ık olabilir. Bu cisimler, kolay analiz edilebilen kucuk 3-boyutlu hacim elemanlarından olu?an bir a? ile kaplanır, genelde bu a? ya duzensiz tetrahedronlar veya duzensiz heksahedronlardan olu?ur. Bu a?, sonlu eleman analizi icin kullanılır.

Bir yuzeyin a?ı genelde teker teker yuzey ve kenarlardan olu?turulur, oyle ki ki ozgun cismin yuzeyindeki limit noktalar a?ın parcası olur. Ozgun yuzeyin bu a? tarafından benzetilmesi, a?ı olu?turan fonksiyonun uc parametresi tarafından belirlenir.

• Gercek yuzey ile duzlemsel yakla?ıklık arasındaki en buyuk uzaklık ("sarkma" tabir edilir). Bu parametre a?ın ozgun yuzeye yeterince benzemesini sa?lar.
• Benzetme cokgeninin en buyuk boyu. Bu parametre daha ayrıntılı analiz icin yeterince detay kalmasını sa?lar.
• ?ki benzetme cokgeni arasındaki en buyuk duzlemsel acı. Bu parametre cok kucuk tumsek veya oyukların a? icinde kaybolmamasını saplar.

Bu parametreler a? ureten algoritmaların i?leyi?ini belirler. Bazı bilgisayar analizleri uyumsal (adaptif) a?lar gerektirir. Boyle durumlarda analizin gereksinimine gore a?, yerel olarak daha detaylı hale getirilebilir.

Bazı jeodesik kubbeler, mumkun oldu?unca e?kenarlı olan ucgenlerle bir kurenin yuzyeyini kaplayarak tasarlanır.

Do?ada tesselasyonlar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Bazaltik lav akıntıları katıla?tıktan sonra co?u zaman buzulme kuvvetlerinin etkisiyle sutunsal catlak yaparlar. Meydana gelen yaygın catlak a?ı genelde altıgensel lav sutunlar olu?turur. Bunun bir orne?i, Kuzey ?rlanda'daki Giant's Causeway 'deki sutun dizilimidir.

Tazmanya'daki mozaik kaldırım ta?ları , kayacların dortgen bloklar ?eklinde catlamı? oldu?u ender bir tortul kayac olu?umudur.

Bir cokgenin kenarları ile bir ko?ede birle?en kenar sayısı arasındaki ili?ki [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Sonsuz bir tesselasyonda, ${\displaystyle a}$ bir cokgenin ortalama kenar sayısı olsun, ${\displaystyle b}$ bir noktada birle?en kenarların ortalama sayısı olsun. Oyleyse ${\displaystyle (a-2)(b-2)=4}$

Orne?in, duzgun cokgenlerin tesselasyonları maddesindeki tesselasyonlar icin (a,b) ikilileri ?unlardır: ${\displaystyle (3,6),(3{\tfrac {1}{3}},5),(3{\tfrac {3}{4}},4{\tfrac {2}{7}}),(4,4),(6,3)}$.

Bir kenarın bir ko?eden oteye devam etmesi ayrı bir kenar olarak sayılır. Orne?in, resimdeki tu?lalar altıgen sayılırlar ve bu do?eme icin (6, 3) birle?imini elde edilir. Benzer ?ekilde, banyo zeminlerinde sık gorulen sepet orgusu oruntusu icin ${\displaystyle (5,3{\tfrac {1}{3}})}$ de?erleri kullanılır.

Kendini tekrar eden bir do?emede, tekrar eden kısım icin ortalamalar kullanılabilir. Genelde, bu ortalamalar tum duzleme yayılan bir bolgenin limit de?eri olarak sayılır. Sonsuz bir karo dizisi veya merkezden uzakla?tıkca kuculen karolar durumunda, tekrar eden ?eklin "dı?ındaki" bolge ihmal edilemez ve limit hesaplamasında o da bir parke olarak sayılmalıdır. Bazı a?ırı durumlarda limit de?erler yoktur veya bolgenin sonsuza do?ru nasıl geni?letildi?ine ba?lıdır.

Sınırlı bir tessalasyon ve cokgenler icin bu e?itlik vardır:

${\displaystyle (a-2)(b-2)=4\left(1-{\frac {\chi }{F}}\right)\left(1-{\frac {\chi }{V}}\right)}$

burada ${\displaystyle F}$ yuz sayısı ve ${\displaystyle V}$ ko?e sayısıdır, ${\displaystyle \chi }$ ise Euler karakteristik katsayısıdır (duzlemsel ve ici delik olmayan bir cokgen icin bu sayı 2'dir). Duzlemden soz ederken birim ?eklin "dı?ı" da bir yuz olarak sayılır.

Her yuzdeki kenarlar toplanınca elde edilen sayı tum tesselasyondaki kenar sayısının iki katıdır, bu sayı yuz sayısı ve ko?e sayısı cinsinden ifade edilebilir. Benzer ?ekilde, bir ko?ede birle?en kenarlar, tum ko?eler icin toplanınca, toplam kenar sayısının iki katını verir. Bu iki sonuctan kolaylıkla yukarıdaki formule varılabilir.

Co?u zaman bir yuzun kenar sayısı ile bir yuzun ko?e sayısı aynıdır ve bir ko?ede birle?en kenar sayısı ile bir ko?ede birle?en yuz sayısı aynıdır. Ancak, sadece bir ko?eden birbirine de?en iki kare durumunda orne?in, dı? yuzdeki kenar sayısı 8'dir, yani e?er ko?e sayısı sayılacaksa ortak ko?enin iki kere sayılması gerekir. Benzer ?ekilde, o ko?ede birle?en kenar sayısı 4'tur, dolayısıyla o ko?ede birle?en yuz sayısı iki kere sayılmalıdır.

?ci delik bir karonun ba?ka karolarla doldurulmu? olması yukarıda verilen denklem icin gecerli de?ildir cunku dı?arıdaki ve icerideki kenarların olu?turdu?u kenar a?ları birbirinden ayrıktır. Ancak, delikli karo kendi kendine dokunabilecek ?ekilde bir kesik olursa, yani "delik" ile dı? kenarı birle?tiren bir kenar olursa, denklem gecerlidir. Bu karonun kenar sayısını saymak icin kesi?in iki kere sayılması gerekir.

Yukarıdaki denklemi duzlemi kaplayan ?ekiller yerine Platonik cisimleri olu?turan ?ekiller icin uygulanırsa tam sayılar elde edilir cunku e?it sayıların ortalaması alınmı? olur: tetrahedron, kup ve dodekahedron icin, sırasıyla ${\displaystyle (a-2)(b-2)}$ icin 1,2 ve 3 de?erleri elde edilir.

Sonlu bir cokyuzlu icin denklem de?erlendirince, sonsuz bir cokyuzlu olarak bunu geni?letirken delik sayısının yuz ve ko?e sayısı ile orantılı olarak arttı?ını ve ${\displaystyle (a-2)(b-2)}$ limitinin 4'ten buyuk oldu?unu gorulebilir. Orne?in, kuplerden olu?an, tek kup kalınlı?ında bir tabaka du?enelim; her 2 × 2 kupten bir tanesi cıkartılmı? olsun, bu deliklerin her biri Euler karakteristik katsayısını -2 azaltır. Her delik icin 10 yuz ve 8 kenar oldu?u icin, boylesi bir yuzey (4, 5) kombinasyonuna sahiptir, cunku ${\displaystyle (a-2)(b-2)=6=4(1+2/10)(1+2/8)}$

Elde edilen sonuc, kenarların do?ru parcaları olmasına, yuzlerin de duzlem parcaları olmasına ba?lı de?ildir: kenarlar birer e?ri ve yuzler de birer e?ri yuzey olabilir (patolojik durumları cozmek icin kullanılacak matematik sadele?tirmeleri saymazsak).

Ba?ka uzaylarda tesselasyonlar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Bir kure yuzeyinin kesik ikozahedron ile kaplanması.

Bir simit , tekrarlayan bir izogonal dortgen matrisi ile kaplanabilir.

M.C.Escher, Circle Limit III (1959)

?ki boyutlu Oklid duzlemini do?emenin yanı sıra, ba?ka n -boyutlu uzayları da n -boyutlu politoplarla doldurarak "do?emek" mumkundur. Ba?ka uzayların tesselasyonları genelde petek olarak adlandırılır. Di?er uzayların tesselasyonlarına ornekler:

• n -boyutlu Oklid uzayının tesselasyonları. Orne?in, uc boyutlu Oklid uzayını kuplerle doldurarak kubik petek olu?turmak.
• n -boyutlu eliptik uzayın tesselasyonu, ya n -kureyi (kuresel do?eme, kuresel cokyuzlu) veya n -boyutlu gercek izdu?umsel uzayı (eliptik do?eme, izdu?umsel cokyuzlu ).

Duzgun bir dodekahedronun ona dı?tan te?et bir kure uzerindeki izdu?umu, iki boyutlu kurenin duzgun kuresel be?genlerden olu?an bir tesselasyonunu meydana getirir. Ko?elerin capucu ( antipodal ) haritasının (kuredeki her haritayı kurenin kar?ı tarafındaki izdu?umunun) bi?rlecimi ise yarı-dodekahedronu meydana getirir, bu izdu?umsel duzlemin bir do?emesidir.

• n -boyutlu hiperbolik uzayın tesselasyonları. Orne?in, M. C. Escher 'in Circle Limit III eseri, Poincare disk modelini kullanarak birbirine benzer, balık gibi ?ekiller ile hiperbolik duzlemin bir tesselasyonudur. Hiperbolik duzlem, e?er ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}<{\tfrac {1}{2}}}$ ise, p -kenarlı ?ekillerden q tanesinin birbirine de?di?i bir tesselasyona izin verir. Circle Limit III , ucluler halinde bir araya gelen sekizgenlerin bir do?emesi olarak anla?ılabilir, resimde kenarların her biri yerine puruzlu cizgiler yer almaktadır ve her sekizgen dort balı?a bolunmu?tur.

Katmanlı bir uzay ( manifold ) do?emesine kar?ılık gelmeyen soyut cokyuzluler de vardır, cunku bunlar yerel olarak kuresel de?ildir (yerel Oklitci, katmanlı bir uzay gibi), orne?in 11-goze ve 57-goze . Bunlar daha genel uzayların du?emeleri olarak gorulebilir.

Ayrıca bakınız [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Notlar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Kaynakca [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Dı? ba?lantılar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Wikimedia Commons'ta Tessellation ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

• Interaktif Girih karoları
• Tesselasyon dersleri 3 A?ustos 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• Do?eme ansiklopedisi 26 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• Math Forum Tesselasyon dersleri 15 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• M. C. Escher'in matematiksel sanatı 12 Ocak 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi . - sanatta tesselasyon
• Duzlemi kaplayan 14 tip konveks be?genler 17 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• Tiling Plane & Fancy 9 Kasım 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi . Southern Polytechnic State University
• Grotesque Geometry , Andrew Crompton 8 Eylul 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• Tessellations.org - sanatsal bakı? acılı pek cok ornek ve ders 26 A?ustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• Tessellation.info Sanatcı ve konuya gore kategorilendirilmi? 500 tesselasyonun veritabanı 16 Mart 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• do?emeler ve tesselasyonlar 6 ?ubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• Yarı duzenli bir oruntu - Bu oruntu gocen bir silindiri betimler
• Hyperbolik Tesselasyonlar 10 Eylul 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi ., David E. Joyce, Clark University
• Bazı ozel ı?ınsal ve spiral do?emeler